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第二章习题课 31 2 求 导 法 则求 导 法 则 求 导 法 则求 导 法 则 基本公式基本公式 基本公式基本公式 导数导数 导数导数 x y x 0 lim 微 分微 分 微 分微 分 xydy 关系关系 xodyydxydyy dx dy 高阶导数高阶导数 高阶导数高阶导数 高阶微分高阶微分 高阶微分高阶微分 一 主要内容 第二章习题课 31 3 1 导数的定义1 导数的定义 即或记为处的导数在点 并称这个极限为函数处可导在点 则称函数时的极限存在之比当与如果 取得增量相应地函数时内 仍在该邻域点处取得增量在当自变量 的某个邻域内有定义在点设函数 即或记为处的导数在点 并称这个极限为函数处可导在点 则称函数时的极限存在之比当与如果 取得增量相应地函数时内 仍在该邻域点处取得增量在当自变量 的某个邻域内有定义在点设函数 0 000 0 0 00 00 0 xxxxxx dx xdf dx dy yx xfyxxfy xxy xfxxfyy xxxxx xxfy 定义定义 limlim 00 00 0 x xfxxf x y y xx xx 第二章习题课 31 4 单侧导数单侧导数 1 左导数左导数 lim lim 00 0 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xxx 2 右导数右导数 lim lim 00 0 0 0 0 0 0 x xfxxf xx xfxf xf xxx 函数函数 xf在点在点 0 x处可导 左导数处可导 左导数 0 xf 和右 导数 和右 导数 0 xf 都存在且相等 都存在且相等 第二章习题课 31 5 2 基本导数公式2 基本导数公式 常数和基本初等函数的导数公式 常数和基本初等函数的导数公式 2 2 2 1 1 arctan 1 1 arcsin ln 1 log ln sec sec sec tan cos sin 0 x x x x ax x aaa xtgxx xx xx C a xx 2 2 2 1 1 1 cot 1 1 arccos 1 ln csc csc csc cot sin cos x x x x x x ee xctgxx xx xx xx xx arc 第二章习题课 31 6 3 求导法则3 求导法则 1 函数的和 差 积 商的求导法则函数的和 差 积 商的求导法则 设设 xvvxuu 可导 则 可导 则 1 vuvu 2 uCCu C是常数是常数 3 vuvuuv 4 0 2 v v vuvu v u 2 反函数的求导法则反函数的求导法则 1 y xf xfyyx 则有的反函数为如果函数则有的反函数为如果函数 第二章习题课 31 7 3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 xufxy dx du du dy dx dy xfyxuufy 或 的导数为则复合函数而设 或 的导数为则复合函数而设 4 对数求导法对数求导法 先在方程两边取对数先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法 求出导数 然后利用隐函数的求导方法 求出导数 适用范围 适用范围 的情形数多个函数相乘和幂指函的情形数多个函数相乘和幂指函 xv xu 第二章习题课 31 8 5 隐函数求导法则 5 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导 6 参变量函数的求导法则 6 参变量函数的求导法则 间的函数关系与确定若参数方程间的函数关系与确定若参数方程xy ty tx t t dt dx dt dy dx dy 32 2 t tttt dx yd 第二章习题课 31 9 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 4 高阶导数4 高阶导数 lim 0 x xfxxf xf x 二阶导数 记作 二阶导数 记作 2 2 2 2 dx xfd dx yd yxf或 或 3 3 dx yd yxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 记作阶导数的函数 阶导数的导数称为的函数一般地 记作阶导数的函数 阶导数的导数称为的函数一般地 1 nxf nxf n n n n nn dx xfd dx yd yxf或或 第二章习题课 31 10 5 微分的定义 微分的定义 定义定义 0 0 0 00 00 0 0 xAdy xdfdyx xxfyxAx xfyxA xoxAxfxxfy xx xxfy xx xx 即或记作的微分于自变量增量 相应在点为函数并且称可微在点 则称函数无关的常数是与其中成立 如果在这区间内 及在某区间内有定义设函数 即或记作的微分于自变量增量 相应在点为函数并且称可微在点 则称函数无关的常数是与其中成立 如果在这区间内 及在某区间内有定义设函数 的线性主部叫做函数增量微分的线性主部叫做函数增量微分ydy 微分的实质 微分的实质 第二章习题课 31 11 6 导数与微分的关系6 导数与微分的关系 00 0 xfAx xfxxf 且处可导在点 可微的充要条件是函数在点函数 且处可导在点 可微的充要条件是函数在点函数定理定理 7 微分的求法7 微分的求法 dxxfdy 求法 求法 计算函数的导数计算函数的导数 乘以自变量的微分乘以自变量的微分 第二章习题课 31 12 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 xdxxxdxdxxxd xdxxdxdxxd xdxxdxdxxd dxxxdCd cotcsc csctansec sec csc cotsec tan sin coscos sin 0 22 1 dx x xddx x xd dx x xddx x xd dx x xddx ax xd dxeedadxaad a xxxx 22 22 1 1 cot 1 1 arctan 1 1 arccos 1 1 arcsin 1 ln ln 1 log ln arc 第二章习题课 31 13 8 微分的基本法则8 微分的基本法则 函数和 差 积 商的微分法则函数和 差 积 商的微分法则 2 v udvvdu v u dudvvduuvd CduCuddvduvud 微分形式的不变性微分形式的不变性 的微分形式总是 函数是自变量还是中间变量无论 的微分形式总是 函数是自变量还是中间变量无论 xfyx dxxfdy 第二章习题课 31 14 二 典型例题 0 2 1 f nxxxxxf 求 设 求 设 例1例1 0 0 lim 0 0 x fxf f x 解解 2 1 lim 0 nxxx x 1 n n 第二章习题课 31 15 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 y x x xy 求 设 求 设例2例2 1 1 ln 4 1 arctan 2 1 u u uy则则解解 1 2 xu 设 设 1 1 1 1 4 1 1 2 1 2 uuu yu 4 1 1 u 2 1 42 xx 1 2 xux 1 2 x x 1 2 1 23 xxx yx 第二章习题课 31 16 5 2 0 2 t dx dy t tty ttx 求设求设例3例3 0的导数不存在时当的导数不存在时当tt 分析分析 解解 0不存在时当不存在时当 dt dy dt dx t 不能用公式求导不能用公式求导 tt ttt x y tx 2 5 limlim 2 00 sgn 2 sgn 5 lim 0 t tt t 0 0 0 t dx dy 故故 第二章习题课 31 17 0 0 2 2 dx yd yxxyxfy y x 求所确定 由方程设函数 求所确定 由方程设函数 例4例4 解解 两边取对数两边取对数 ln 1 ln 1 x y y x lnlnxxyy 即即 1ln ln1 xyy ln1 1ln y x y 2 ln1 1 1 ln 1 ln 1 y y y xy x y 3 22 1 ln 1 ln 1 ln yxy xxyy 第二章习题课 31 18 2 xfxxxxf 求设求设例5例5 解解 先去掉绝对值先去掉绝对值 2 2 20 2 0 2 2 2 2 xxx xxx xxx xf 0 0 f 0 0 0 ff 0时当时当 x 02时或当时或当 xx 43 2 xxxf 43 2 xxxf 20时当 时当 x 第二章习题课 31 19 2时当时当 x 2 2 lim 2 2 x fxf f x 2 2 lim 2 2 x xx x 4 2 2 lim 2 2 x fxf f x 2 2 lim 2 2 x xx x 4 2 2 ff 2 处不可导在 处不可导在 xxf 20 43 02 43 2 2 xxx xxxx xf 或或 第二章习题课 31 20 sin cos yxxy x 求设 求设例6例6 ln yyy 解解 sinlncos ln xxxy sin cos sinl

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