高考英语 中点弦 问题的一种简捷解法论文 新人教版.pdf

中点弦 问题的一种简捷解法 中点弦 问题的一种简捷解法 所谓 中点弦 问题是关于圆锥曲线上两点的中点 已知或等求 一类问题的统称 在解 析几何中与 中点弦 有关的问题是一类很典型 很重要的问题 解决这类问题的方法比较多 但多数方法的计算量比较大 本人试图通过一些实例 介绍一种简捷的解法 供诸位读者参 考 例 椭圆 22 1 164 xy 的弦 AB 被点 2 1 平分 求弦 AB 所在的直线方程 分析 本题的关键是求出弦 AB 所在直线的斜率 解 方法 设直线的斜率为 k 显然 k 存在且不等于 0 则直线方程与椭圆方程联列有 22 12 1 164 yk x xy 消去变量 y 得方程 1481 21610kxkk xk k 22 中的两根 12 x x分别是直线上两点 A B 的横坐标 由已知条件有 12 2 8 1 2 1 2 2 142 kk xxk k 弦 AB 所在的直线方程为 240 xy 方法 设 A B 两点的坐标为 1122 A x yB xy代入椭圆方程 22 4xy4 中得 22 11 22 22 44 44 xy xy 两式相减得 12121212 40 xxxxyyyy 又 12 12 2 2 1 2 xx yy 1212 1212 1 42 AB yyxx k xxyy 中 点 弦 AB 所在的直线方程为 240 xy 注 以上两种解法中 方法 是解决 中点弦 问题的常规解法 思路清晰 但计算量大 方法 则采用 设而不求 的方法 面军是解决 中点弦 问题的典型解法 计算量较方法 要小 但笔者发现 有一种更简捷的方法 介绍给大家 如右图 点 M 是线段 AB 的 00 M xy 0 设 000 M A xm yyn nB xm 这时有两个非常简单有趣的结论 A B 1 22 2 2 ABmn m 解题时若能充分利用这两个结论 则可以轻松 快捷 准确地解决 中点弦 的有关问 题 解 方法 设 1 AB n k 2 1 2 1AmnBmn 代入曲线中 22 22 21 1 164 21 mn mn 则两式相减 1 164 84 0 mn 164 1n k 2m AB 弦 AB 所在的直线方程为 读者熟悉这种解法 例 2 过定点 A q 0 的动直线交抛物线 240 xy 下面再举几个例子 以期 2 20ypx p 于 M N 两点 求弦 MN 的中点 P 的 轨迹方程 解 设动点 P x yM xm ynN xm yn 把 M N 两点代入抛物线方程中 2 20ypx p 2 2 2 2 ynp xm ynp xm 44 MN np nypmk my 两式相减得 2 2 MNAP kk yx 又 py yp xq q 例 3 直线与椭圆 2 4yx 交于 A B 两点 且 AB 2 设线段 AB 的中点为 M 当运动时 求 中点的轨迹方程 解 设点 M x yA xm ynB xm yn 把点 A B 坐标代入椭圆方程中 得 2 2 4ynxm 4ynx m 两式相减得 两式相加得 28041nmxnmx 2222 288442yxmyxm 2222 11 16 44 myxnyx 由 1 2 得 2 x 注意到 22222 11 2216 44 ABmnyxyxx 2 2 3 所求的轨迹方程为 22 41 16yxx 4 4 双曲线例 22 22 1 ab 的离心率为2e xy A B是双曲线轴上关于x y均不对称的两点 线段 与 x 轴交于点AB 的中点为AB 的垂直平分线P 1 0 设 00 C xy求 0 x的值 解 由题意 可设 0000 A xm ynB xm yn 把 A B 两点坐标代入双曲线方程中 得 22 22 两式相减得 22 22 00 22 22 0 bxmayna b aynb 2 22 0 00 2 0 44 AB b xn b x ma y nk ma y 0 bxma AB CP 2 0