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平面连杆机构集成优化设计的数学模型 谢进 阎开印 陈永 西南交通大学 机械工程学院 成都 6 1 0 0 3 1 摘要 传统的 平面 连杆机构设计为 机 构的 运动 设计 机构的 动 力学 设计和 机构的 控制 器设计分别依次 进行 近十几年来 随着机电一体化 产品的应用日益 广泛和设计理论 方法的 不断 进步 提出了 机械装置运动 动 力和控制 集成设计的新的 设计方法 本文对平面连杆机构集成设计的数学 模型进行了 研究 关键词 连杆机构 集成设计 优化设计 数学模型 T h e m o d e l i n g o f C o m b i n e d O p t i m a l D e s i g n a n d C o n t r o l f o r P l a n e L i n k a g e s X i e J i n Y a n k a i 灿 C h e n Y o n g A b s t r a c t I t i s n e c e s s a ry t h a t b o t h m e c h a n i c a l a n d c o n t r o l d e s i g n s h o u l d b e o p t i m iz a t i o n i n t h e d e s i g n p r o c e s s o f p l a n e l i n k a g e s T h e y a r e c o n v e n t i o n a ll y d i v i d e d a n d p e r f o r m e d i n s e p a r a t e s t e p s B u t t h e s o lu t i o n s r e s u l t in g fr o m t h e s e p a r a t e d e s i g n a n d c o n t r o l o p t i m i z a t i o n s m a y n o t b e o p t im a l fr o m a n o v e r a ll s y s t e m s t a n d p o i n t I n t h i s p a p e r t h e s e p a r a t e p r o b l e m s a r e c o m b i n e d i n t o a s i n g l e d e c i s i o n a n d t h e m o d e l in g i s e s t a b li s h e d K e y w o r d s L i n k a g e C o m b i n e d o p t i m a l d e s i g n Mo d e l i n g 1 引言 关于平面连杆机构的 研究己 经有了 一个多世纪的历史 自E u l e r 提出运动学和动力学的 概念之后 机构的 研究就分 为机构运动设计 分析和机构动力分析 设计两个大的 领域 相应地 机构的设计过程通常为机构的结构设计 运动设计 动力设计等依次进行的几个阶段 各个阶段有不同的设计内 容 相互之间有一定的联系 但是 这种联系并没有引起人 们的 广泛关注 随着计算机和控制技术的发展 机电一体化产品的 应用 的日 益增多 可控机构和受控机构在生产和日 常生活中大量 涌现 在机电一体化产品 可控机构和受控机构中 机械的 零部件与非机械零部件之间存在着功能和信号之间的祸合和 交换 如果这类机构的设计还是采用机构的结构设计 运动 设计 动力设计和控制设计分阶段依次进行的方法的话 即 使是各个设计阶段都采用优化设计的方法 最终整体设计的 结果可能将不是最优的 有研究表明 这样设计的结果往往 使得控制模型复杂 控制设计困难 并且使得用于控制机械 运动的力 矩和控制能量增大川 2 8 3 因此 机构的集成优化设计就成为一个机构学研究中的 一个新的课题 机构的集成优化设计的主要目 标是确定使得 机构的运动 动力和控制都能够满足设计要求的机构的最优 设计变量 包括运动学设计变量 动力学设计变量和运动控 制设计变量 国内外学者已经在此方面作了一些相应研究 f37 闻 1 5 1 1 6 1 闭链连杆机构中机构运动学 动力学设计变量与机构的 控制设计变量之间为强祸合 因此 闭链连杆机构的集成设 计是一个f待研究和解决的问 题 文献 1 和 7 在确定了 机 构的运动设计变量和动力设计变量之后 利用机构质量平衡 的方法 将重力项在系统动力学方程中的影响消除掉 用简 单的控制策略就可以达到比 较理想的机构运动控制效果 这 样的方法只能属于机构的部分设计变量的 集成优化设计 本文在分析平面机构运动 动力和控制优化设计的基础 上 建立平面机构的集成优化设计的数学模型 基金项目 国 家自 然科学基金资助项目 批准号5 0 1 7 5 0 9 3 2平面机构及其控制系统的优化设计 2 1机构的设计 平面连杆机构的设计应当包括机构的类型选择 机构运 动学尺寸和动力学尺寸的 确定等等 平面连杆机构类型非常多 有单自由度和多自由 度之 分 单自由 度又有四杆机构 六杆机构 八杆机构等 四杆 机构又可以分为铰链四杆机构 带一个移动副和带两个运动 副的四杆机构 铰链四杆机构又分为曲柄摇杆机构 双曲柄 机构和双摇杆机构 各种机构的运动性能是不同的 机构类 型的选择一般根据运动设计要求确定 目 前还没有一种公共 接受的确定方法 在本文的研究中 假设机构的类型己 经确定 机构的运动学尺寸主要包括机构中固定铰链点的位置 1 0 4 的运动 动力性能和控制系统 机构的结构 几何尺寸和动力学参数要影响机构控制系 统的设计 而控制系统又要影响机构的运动和动力性能 机 构的运动设计 动力学设计和控制系统设计之间是祸合的 如图3 所示 所以 机构的 优化设计应当综合考虑机构的运动 动力性能和控制系统的性能 r一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一 一一 一一一一一一 1 J 和各个动铰链点之间 动铰链点与固定铰链点之间的距离 杆 长 等 机构运动设计变量主要根据机构的运动要求和机构 驱动电动机的 运动确定 通常的运动有刚体导引 函数发生 和实现连杆轨迹等 现在已 经有多种机构运动设计变量的 确 定方法 例如刚体位移矩阵法 近似综合 利用优化设计理 论 等方法 机构的动力学设计变量主要包括各个构件的质量大小 和质心的位置 构件对于其质心的转动惯量 作用在机构上 的驱动电 动机的驱动力 矩 工作阻力 矩 运动副中的 摩擦力等等 机构动力学设计变量的 确定主要应当 满足机构 的振动力 振动力矩的平衡 或者是机构运动速度波动比 较 小等等 设计的方法也比 较多 机构设计问 题可以 用图1 表示 r 一 一 一 一 一 一一一 一一 一 一 一 一 一 一 一 一一一一 一一 一一门 座B h J1 N l B 7 Si i 出 力 辉 L 竺 夕奥夔鲤 运动设计要求 动力设计要求 机构设计 一 一 一 一 1 一 机构的运动学尺寸 和动力学参数 r 一 一 一一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 I rEa h 驱动电动机 M ML t v j 驱动电动机的输出力矩 机构运动学 尺寸和动力 学参教 驱动电动 机的运动 驱动电动机的运动 月 尺 学致 动参 运学 的力 构动 机和 运动设计要求 动力设计要求 机构设计 图 1 2 2机构的控制 机构的 运动控制目 的各不相同 一般是希望得到理想的 动力学响应 机构控制设计的模型规定了 在机构的工作时间 内系统的 输入和输出之间的 关系 控制系统的输入包括机构的运动学尺寸和动力学参数 以及控制电动机的 控制信号 控制系统的输出 是驱动电动机 的运动状态 位置和 或速度和 或加速度 等 控制系统的 输出反映出 控制器对机构运动的影响 同时也反映出机构设 计所确定的机构运动尺寸和动力学参数与机构运动及其控制 的之间的 关系 机构运动控制器的设计内容主要是控制策略的选择 有 统计表明 工业控制的 控制器中有9 0 9 6 是P I D 比 例 积分 微分 类控制器 田 这类控制器的主要特点是结构简单 各 个控制器参数的 物理意义明 确 调整方便 控制器的控制效果由 控制指标反映 在控制器的设计中 首先应当确定出 控制指标 机构的控制问 题可以用图2 表示 图3 由于现有的机构运动设计 动力设计和控制器设计方法 多种多样 许多方法是建立在微分方程的求解或数值迭代 所以 不可能将所有设计方程联立在一起 同时求解 机构的集成优化设计不能再采用传统的优化设计方法 而应当 采用广义优化设 计的 理论 和方法 10 1 i ll 1 2 1 3 曲 柄摇杆机构的集成优化设计 曲 柄摇杆机构是一种工程常用机构 设机构中的曲 柄由 伺 服 电 动 机 驱 动 以 匀 速 转 动 设 计 的 要 求 是 机 构 在 I f 时 间 内 连 杆 可以 实 现 给 定 的 三 个 连 杆 位置 P O Y P i 1 2 3 机 构 运 转 平 稳 所 消 耗 的 能 量 尽 可 能 少 机 构 的 重量尽可能小 根据机构的设计要求 可以 确定机构设计的目 标是机构能 够实现给定的连杆位置 并且速度的波动小 驱动力矩小 四个构件的 质量相加之和小 3 1 机构运动尺寸的确定 可以采用位移法 蚤 驱动电动 机的运动 D ls m 甲 c o s甲 凡 一x c o s P Y s P Y 一x s in p Y o i w s P u 1 甲 孤 甲 驱动电动机 的输出力矩 图 2 2 3机构设计与控制的集成 机构的 优化设计应当是整个系统的 优化设计 包括机构 甲 甲 一 X 一X X c 一X D 2 i 2 3 甲 饥1 一Y A 2 少 一儿 2 一X 2 w 一Y r X C l一X D 2 I Y C I一Y D Z 1 可 以 任 意 选 定X 4 Y 和x D 凡 由 1 求 出 X Y s 1 0 5 和x Y 进 而 确 定 机 构 各 个 构 件的 杆 长 计的求解思路和方法 是一个值得研究的问 题 此处不进行深入讨论了 由B u r m e s t e r 理论可知 当给定的连杆位置数目 大于 5 时 应当采用其他的设计方法 如优化方法 神经网络方法 等 机构设计的约束条件是曲 柄存在条件 机构可靠到位条 件 一般来说 满足运动设计要求的机构不只一个 这就为 机构的集成优化设计提供了 一定的设计空间 3 2 机构动力学参数的 确定 构件的质量相加之和应当比较小 但又不可能为零 在 设计时可以 根据所选择的材料 各个构件的受力大小 预计 的机构各个构件的几何尺寸 给出每个构件的 质量和转动惯 量的范围 由于在机构的动力学方面没有更多 直接的设计要求 所以 机构的动力设计学可以 有比 较大的设计空间 可以有 更多的取值 图4 给出了 机构动力学设计的各个设计变量 3 3机构运动控制器的 设计 1州徽 鑫甲万 乙 了 一 一 例 o N 一 犷一另 巾分皿 o a 1 1 图 4 选择P I D 作为机构运动的控制策略 考虑到积分运算费 时较多 所以 采用简单的P D 控制算法 电机提供的驱动力矩T T t K e t 戈 0 t 2 其 中 0 r 和 在 r 分 别 为 曲 柄 的 角 度 和 角 速 度 误 差 K 为 比 例 系 数 凡为 微 分 系 数 反映控制器控制效果的指标为 一 艺 印 艺 0 艺 3 I 越小 则说明机构运动的精度高 速度波动小 输入 力矩小 即越靠近机构的最优解 3 4机构集成优化问 题的求解策略 文献 6 给出了 5种求解方法 也可以利用广义优化设 4 结论 机电一体化是机械工业发展的 一个非常重要的方向 机 电 一体化产品的高质量体现在良 好的运动 动力和控制等综 合性能上 平面连杆机构的 运动 动力和控制是强祸合的系统 运 动 动力设计的结果要影响到控制器的设计和控制效果 而 控制器对机构的控制又影响到机构的 运动和动力性能 平面连杆机构的优化设计应当是机构各个方面综合的 优化设计 是一种广义的 优化设计 虽然采用的是传统优化 设计的概念 但是 由于问题远比传统优化设计所能够解决 的问 题复杂 所以 集成优化设计问 题是一个有重要理论意 义和实用价值 非常具有挑战性的问 题 本文对平面连杆机构的集成优化设计的数学模型进行 了初步的分析 寻找行之有效的求解方法则是一个有待继续 研究的问 题 参考文献 1 Q L i S K T s o L S G u o W J Z h a n g I m p r o v i n g m o t i o n t r a c k i n g o f s e r v o m o t o r d r i v e n c l o s e d l o o p m e c h a n i s m s u s i n g m a s s r e d i s t r i b u t i o n M e c h M a c h T h e o r y 2 0 0 0 V o l 3 5 1 0 3 3 1 0 4 5 幻S u n Q i a o S t a b l e i n v e r s i o n c o n t r o l f o r f l e x i b l e l i n k c o o p e r a t i n g m a n i p u l a t o r s A c a s e s t u d y o f a f o u r b a r l i n k a g e m e c h a n i s m I E E E A S M E I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n A d v a n c e d I n t e l l i g e n t M e c h a t r o n i c s A I M 1 9 9 9 3 姚燕安 颜鸿森 张策 邹慧君 凸 轮机构与伺服控制系 统的 集成设计 中国科学 E 辑 2 0 0 0 第3 0 卷 第6 期 5 2 4 一 一 5 3 0 4 J A R e y e r P Y P a p a l a m b r o s A n i n v e s t i g a t i o n i n t o m o d e l i n g a n d s o l u t i o n s t r a t e g i e s f o r o p t i m a l d e s i g n a n d c o n t r o l P r o c e e d i n g s o f t h e D E W 0 0 A S M E 2 0 0 0 D e s i g n E n g i n e e r i n g T e c h n i c a l C o n f e r e n c e s a n d C o m p u t e r s a n d I n f o r m a t i o n i n E n g i n e e r i n g C o n f e r e n c e D E T C 2 0 0 0 D A C 1 4 2 5 3 5 1 J P a r k H A s a d a C o n c u r r e n t d e s i g n o p t i m i z a t i o n o f m e c h a n i c a l s t r u c t u r e a n d c o n t r o l f o r h i g h s p e e d r o b o t s T r a n s a c t i o n o f t h e A S M E J o u r n a l o f M e c h a n i c a l D e s i g n 1 9 9 4 V o l 1 1 6 3 4 4 3 5 5 6 J A R e y e r P Y P a p a l a m b r o s C o m b i n e d o p t i m a l d e s i g n a n d c o n t r o l w i t h a p p l i c a t i o n t o a n e l e c t r i c D C 下转第 1 1 3 页 1 0 6 人 1 2 几 1 须 构 成 曲 柄 摇 杆 机 构 并 令 1 1 最 短 几 最 长 尹 C O s 1 1 2 一 11 2 1 一 13 2 2 1 7 1 2 一 1 1 B 0 6 则有 g 8 x x 2 X 3 一 x 1 一 1 0 g 9 x Z 一 x 1 0 g 1 0 x x 一 x 1 0 g l 1 x x 3 一 x 1 0 并取迭代精度e 0 0 0 0 0 1 取 初 始 点 X 0 0 二 0 0 0 0 0 二 0 p Ix x 2 x 3 x a x s x 6 x 7 J 1 0 6 0 5 0 1 6 0 1 0 1 6 1 5 1 T 3 最 小 传 动 条 件 取 许 用 最 小 传 动 Jt卜 4 5 0 有 g l 2 x x Z 2x 2 x 3 2x 3 1 4 1 4 x 2 x 3 一 x 1 2 g l 3 x x 2 一 凡 2x 3 1 4 1 4 x 2 x 3 1 7 X 1 2 综上所述本设计基本上是一个7 个设计变量 1 3 个约束条件 的优化问 题 4 优化设计实例 根据以 上所建立的优化设计数学模型 现对图 1 所示机 构优化其尺寸参数 己 知固 定铰链点坐标为 A 5 7 5 0 0 点 0 0 h 2 5 m m 0 0 4 1 2 5 7 0 P 点 理 想 轨 迹 坐标如下表 2 2 5 I 1 7 5 I反 0 I 8 0一 了 4 0 1 4 4 1 1 4 6 0 1 1 5 0 0 1 1 5 3 0 1 1 5 3 7 经迭代计算 优化结果为 二 一 X X 2X 3 2 x 4 1X 5 1 X 6 1 x 7 T 一 5 4 2 5 5 5 3 2 4 5 0 4 5 7 1 6 2 0 6 5 1 0 5 3 8 7 4 4 5 1 1 1 9 T F X 0 4 2 9 6 3 2 通过以上分析可知 按照以上优化计算方法可对印 刷机中 满足工艺条件的实现轨迹要求的连杆机构进行设计设计 并 可得到较理想的设计结果 本文探讨的方法有一定的实用价 值 还需在优化方法上作进一步的探讨 得到更好的设计结 果 参考文献 1 谢普南 印刷设备 北京 印刷工业出版社 2 0 0 3 幻邹慧君 机械原理 北京 高等教育出版社 1 9 9 9 3 王文博 机构和机械零部件优化设计 北京 机械工业 出版社 1 9 9 0 4 张晓玲 高速胶印机变速输纸机构优化设计 C 机电工程 技术 2 0 0 2 第六期 3 4 3 5 5 张晓玲 施向东 电 脑信封涂胶机离合压机构优化设计 C 机械设计与研究 2 0 0 2 增刊 2 1 6 2 1 7 且当P 点处于坐标点1 位置时滑块下处于最右端 P 点 处 于5 位 置 时 滑 块F 处 于 最 左 端 相 应的 V i 9 P 0 和 V s 二 op 1 8 0 0 又 当 滑 块 位 于 右 极限 位置 时 必 有 OP s 4P 气 V o 代 入公 式 1 并 整 理 可 得 作者