平面镶嵌讲义(教师版).doc

平面镶嵌讲义 2013.11教学目标：1、知识技能：巩固对正多边形的有关概念、性质的理解，会用正多边形进行镶嵌；2、数学思考：通过观察、实验、分析、推理及动手操作，在合作讨论中，清晰表达自己的想法。3、问题解决：用同一种或两种正多边形进行镶嵌的条件探索，获得分析、解决问题的一些方法。4、情感态度：通过独立思考、合作交流、质疑反思感受知识的价值，获得学习的体验，培养严谨的科学态度。重点：探究正多边形镶嵌的规律。难点：学生通过实验、代数计算证明正多边形镶嵌中的规律。教学过程设计说明1、 联系实际、引出概念说一说 上述图案都是由哪些基本平面图形铺成的？这些图形能铺成一个平面的一部分的共同特征是什么？形状、大小完全相同，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片。用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）问题。 人人都是设计家，今天同学们来设计一些地板图案：2、 自主探索、探究结论问题1 用同一种正多边形能否进行平面镶嵌？如果能，共有几种？ 实验法： 问题2 除此之外，其它正多边形能不能镶嵌呢？试举例说明。以正五边形为例，若在同一点摆放3个正五边形，那么一点处内角和小于一个周角，若摆放四个，则会有重叠。 通过上面的实践，要想进行平面镶嵌，必须满足的条件是：围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好能组成一个周角时，就能进行镶嵌。 试一试 是否还有其它方法来证明你们的结论？ 设用正边形来镶嵌平面，共顶点处集中了个正多边形的角因为相邻的正多边形的边互相重合，所以共顶点的各个角之和必须等于360故有等式解：（法一）化简并整理得 3的整数，是正整数， =1，2，4 即只能取值3，4，6；对应的值为6，4，3 解：（法二） 这就证明了 只用同一种正多边形镶嵌平面，只存在三种方法。 结论1：当用一种正多边形来镶嵌平面图案时，只存在三种情况：由6个正三角形组成的平面镶嵌；由4个正方形组成的平面镶嵌；由3个正六边形组成的平面镶嵌 想一想 用正多边形进行平面镶嵌时，共顶点处多边形的个数的范围是多少？ 在用正多边形组成平面镶嵌时，共顶点处至少有3个正多边形的角，至多有6个正多边形的角（且为整数）问题3 如果用两种边长相等的正多边形，哪些正多边形能够进行平面镶嵌呢？理想情况是同学们能找到问题讨论的路径，如何选择正多边形。否则，给出五个课题：（1） 正三角形和正方形；（3，3，3，4，4） 三角形个数 3 （2） 正三角形和正六边形；（3，3，6，6）， 三角形个数 2 四个三角形 （3，3，3，3，6） 三角形个数 4（3） 正三角形和正十二边形（3，12，12）； 三角形个数 1（4） 正方形和正八边形（4，8，8） （5） 正五边形和正十边形结果呈现方式？ 问题4 如果用三种边长相等的正多边形呢？三种不同正多边形（3，4，4，6）；（3，3，4，12）；（4，6，12） 3种情况 思考1：除了正多边形，用同一种多边形（平行四边形、长方形、）能否进行平面镶嵌呢？ 任意三角形可以进行平面镶嵌，在同一顶点处6个完全一样的三角形内角和为一个周角； 任意四边形可以进行平面镶嵌，在同一顶点处4个完全一样的四边形内角和为一个周角；思考2：试以正五边形和正十边形为例，说明“围绕一点拼在一起的正多边形的内角和为一个周角”，是不是一定能铺满平面？ 通过展示收集到的一些地板的拼合图案，体会数学与生活的联系从特殊到一般通过实验或计算给出结论进一步明确能够进行镶嵌的条件根据小组情况，领取任务你确切知道在一点需要几个不同的正多边形吗3、 本节的主要内容是什么？你是用什么方法获得这些知识的？4、 小组发现的新问题及合作探究中的感受通过计算确定两种正多边形组成的平面镶嵌个数： 按“相邻的边互相重合，共顶点的角之和等于360”的原则，设有个正边形和个正边形组成平面镶嵌，则有等式即 又 36, 又,均为正整数, 3，4，5 由,的对称性，不妨设，则,的取值有下列五种情况： 当=2, =1时，代入（1）式，化简并整理得： 、均为大于或等于3的整数，且，解得： 经检验，由两个正五边形和一个正十边形不能组成一个平面镶嵌图案，故将其舍去. 当=2，=1时，有两组解=8，=4；和=12，=3同理：当=3，=1时，解得=4，=4；不合题意，舍去； 当=2， =2时，解得