弹塑性力学讲义 第五章线弹性力学问题的基本解法和一般性原理.pdf

1 第五章第五章 线弹性力学问题的基本解法和一般性原理线弹性力学问题的基本解法和一般性原理 第 1 节 第 1 节 基本方程和边界条件的汇总 基本方程和边界条件的汇总 在第二 三 四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力作用时 发生 变形和抗力 内力 这些变形和内力应遵循的三个基本规律 从而导出了 待求物理量 应力 应变 位移 所须满足的基本方程 共十五个 现汇 总如下 1 1 基本方程汇总基本方程汇总 1 1 1 平衡微分方程 3 个 体力与应力之关系 指标符号表示 ji j fi 0 0 0 0 3 3 33 2 23 1 13 2 3 32 2 22 1 12 11 3 31 2 21 1 11 f xxx f xxx f xxx 1 1 2 几何方程 六个 或变形协调方程 六个 几何方程表示了位移与应变之关系 当由位移场确定应变场时仅利 用几何方程就够了 但反之 应变场还需补充变性协调条件 a 几何方程 指标符号表示 2 1 ijjiij uu 2 x u x y v y z w z x v y u xy y w z v yz z u x w zx b 变形协调方程 指标符号表示 0 ikjljlikijklklij yxxy xyy x 2 2 2 2 2 yzyz yz z y 2 2 2 2 2 zxxz zxzx 2 2 2 2 2 zyzyxx x xy zx yz 2 2 xzzyxy yxy zx yz 2 2 xyzyxz z xy zx yz 2 2 1 1 3 本构 物理 方程 六个 各向同性线性时 klijklij ij ij E w 指标符号表示 1 1 2 kkijij kkijijij E G kkijijij EE 1 上述所有方程为 ij ij ui在V上必须满足的方程 同时在S上 边界上 有边界力或边界位移 3 1 2 边界条件边界条件 1 2 1 力的边界条件 jijii nXF 在S 上 313212111 nnnnmlX zxyxx 323222121 nnnnmlY zyyxy 333232131 nnnnmlZ zyzxz 1 2 2 位移边界条件 ii uu 在 Su 上 uu vv ww 由三个基本规律导出的应力 应变和位移满足的基本方程加上相应的 边界条件建立了线弹性问题解析法 微分提法 体系 从数学上看是求偏 微分方程组的边值问题 当S S时称为微分方程第一边值问题 当Su S时称为偏微分方程第二边值问题 当Su S S称为偏微分方程第三边值问题 第 2 节 第 2 节 位移法位移法 弹性力学问题的待求函数共 15 个 ij ij ui 如果一视同仁的 同等看待 由给定的边界条件下求偏微分方程组的定解是不可能的 由物 理量所满足的方程组中显示出来 为了有效地求解 从 15 个量中选取一 部分作为基本待求未知函数 而其它待求函数看成由基本待求函数导出的 未知函数 这样使得求解方程减少 且主攻方向明确 求基本未知量 基 本未知函数选取不同 导出的求解步骤和方程名称不同 如 位移法 应 4 力法和混合法 位移法 选取选取 ui 为基本未知函数 而为基本未知函数 而 ij和和 ij均看成是由均看成是由ui导出的未知导出的未知 函数 这样函数 这样 15 个方程中某些方程成为的个方程中某些方程成为的ui ij ij 关系式 关系式 几何方程几何方程 物理方程物理方程 kl用ui表示 求解求解ui的基本方程 的基本方程 3 个 个 用指标符号表示 应变用位移表示 2 1 ijjiij uu 线性各向同性材料的应力用位移表示 kkijijjiij uuuG 上式代入平衡微分方程 得到位移法的基本方程位移法的基本方程 0 ikjkijjijji fuuuG 在V上 或 0 2 ijiji fuGuG 在 V 上 拉米 纳维叶方程 由于 eu jj 为体积应变 0 2 iii feGuG 在 V 上 基本未知 函数 ui 应变 kl用ui表示应力 kl用ui表示 用ui表示的平衡微分方程 用ui表示的力的边界条件 在S 上 位移边界条件 在Su上 ii uu 5 边界条件 a ii uu 在Su上 b kkijijjijjij uuuGnnX 在S 上 或 kkiijjiji unuuGnX 在S 上 力的边界条件转为用ui的偏微分表示的 这类边界条件从形式上看可 以处理 但实际操作上有时较难处理 第3节 应力第3节 应力法法 当边界条件均为力的边界条件时 即S S 时 如按位移法求解 则将 力的边界条件转为用位移一阶偏微分表示有时较难处理 如果将 ij 作 为 基本未知量 力的边界条件可直接用 下面讨论一下用 ij 作为基本未知 函数求解基本方程 选取选取 ij 为基本未知函数 而为基本未知函数 而 ij 和和ui 均看成是由均看成是由 ij 导出的未知函数 导出的未知函数 这样这样 15 个方程中某些方程成为的个方程中某些方程成为的 ij ij ui 关系式 关系式 物理方程物理方程 几何方程积分几何方程积分 几何方程可积条件几何方程可积条件 求解求解 ij 的基本方程 的基本方程 9 个 个 基本未知 函数 ij 应变 kl用 ij 表示 uk用 ij表示 平衡微分方程 3 个 力的边界条件 在S 上 变形协调方程用 ij表示 6 个 6 用指标符号表示的基本方程 ji j fi 0 在V上 11 1 2 ijjikkijijij fff 在 V 上 ii I 力的边界条件 ijji nX 在S 上 第 4 节 线弹性力学的几个原理第 4 节 线弹性力学的几个原理 4 1 叠加原理叠加原理 设线弹性体体积为 V 表面为 S 如果两组外力 体力和面力 同时作用在物体上所产生的效果 应力 应变和位移 等于它们分别作用 所产生的效果之和 由于线弹性力学的求解方程 15 个 均为线性微分 代数 方程 很容易证明这个原理成立 对于非线性问题 此原理不能 4 2 解的唯一性定理解的唯一性定理 线弹性体在给定体力 面力和约束条件下而处于平衡状态 变形 体内各点的应力 应变及位移的解是唯一的 解的唯一性定理 解的唯一性定理 可采用逆推法证明 设在 i f i F i u作用下有两组解 iijij u 和 iijij u 均能 满足求解方程及边界条件 将两组方程相减可得 7 平衡方程 0 jjijji 令 jijiij 则平衡方程为 0 jji ij满足无体力平衡方程 齐次方程 力的边界条件 0 ijjijj nn 在S 上 或 0 ijj n ij在S 无面力 齐次边界条件 位移边界条件 0 ii uu 令 iii uuu 或 0 i u 在Su无位移 齐次边界条件 在弹性体无外力作用 表面无位移 无支座移动 情况属于自然状态 弹性体无 初 应力 无变形 则 ij 0 ui 0 ij 0 所以第一组解和第二组解相等 唯一性定理的好处是无论用什么方法求解 只要能满足全部基本方程和 边界条件 就一定是问题的真解 4 3 圣维南原理 局部效应原理圣维南原理 局部效应原理 从前面弹性力学基本解法的讨论 可知弹性力学的定解方程要求 边界条件处处给出 清楚 待求函数在边界上也须处处满足 但在实际问 题中经常碰到情况 1 物体局部上的面力分布不清楚 仅知局部面力的合力和合力矩 2 解题时往往难于满足逐点给定的精确边界条件 如固定端u1 u 0 u2 v 0无法满足 所以希望能找到一种边界条件的合理简化方案 1855 年圣维南在梁理论的研究中提出 由作用在物体局部表面上的平衡力系 即合力合力矩为零 所引起的 P P M M 8 应变 在远离作用区的地方可以忽略不计 如下图 因此 作用在弹性体局部面积上的力系可以用作用在同一局部面积上 的另一静力等效力系来代替 圣维南原理以利于求解实际问题 但解答在 原局部区域内是不能用 第4节 线弹性力学的几个第4节 线弹性力学的几个简单问题的求解简单问题的求解 逆解法 首先根据基本方程的特点找出能满足方程的一组解 然后代 入边界条件检验 判断是否为正确解 半逆解法 根据边界条件特点或对应力 应变和位移状态分布趋势的 判断 假设能满足部分边界条件和域内方程的未知函数 并由其它边界条 件和域内方程导出其余未知函数 例题例题 1 正六面体不受体力作用 但各表面受均匀压力 p 作用 这个问题为 相当 静水压力问题 P P P P A P P A 9 采用应力法及逆解法 猜应力 x y z p xy yz zx 0 应力 解是否满足力的边界条件 是否为真解 它须满足平衡微分方程和应力表示 变性协调方程 应力解代入平衡微分方程 无体力时 ji j 0 满足满足 应力解代入应力表示的变形协调方程 无体力时 0 1 1 ijkkij 满足满足 应力解代入力的边界条件 可验证应力解满足力的边界条件 作业 1 因此 x y z p xy yz zx 0 满足应力法的所有方程 为真解 正六面体内各点主应力 1 2 3 p 应力求出后依次可求出 ij ui 由物理方程得应变 zyzyxx E p pp EE 21 2 1 1 0 zxyzxy 代入几何方程并积分可求位移 1231 21 21 zcycx E p zyfx E p u 2312 21 21 xczcy E p xzfy E p v 3121 21 21 ycxcz E p yxfz E p w 10 例题例题 2 等截面柱体在自重作用下 等截面柱体受体力fz g 在图示坐标系 为柱的密度 g为重力 加速度 而 fx fy 0 由平衡微分方程 ji j fi 0 猜应力解 x y xy yz zx 0 z gz 代入平衡微分方程 满足 应力解代入应力表示的变形协调方程 常体力时 0 1 1 ijkkij 满足满足 应力解代入力的边界条件 iijj Xn 在柱体侧边 0 i X 0 3 nn 00 zxxyx ml 00 zxyxy ml 0 0 gzml zyzx 在柱体侧边满足力的边界条件 在柱体底边 z 0 l m 0 n 1 i FZYX 0 应力解代入力的边界条件 0 1 zx 0 1 zy 0 0 1 g gf z x z l x y 11 在柱体底边满足力的边界条件 在柱体顶边 z l l m 0 n 1 面力未给出 但面力的合力与应 力满足平衡 因此 应力解 x y xy yz zx 0 z gz 可以作为本题的解答 在柱体底边附近不能用 由物理方程得应变 E g yx z E g z 0 zxyzxy 代入几何方程并积分可求位移 作业2 例题例题 3 等直圆截面杆的自由扭转 无体力作用 圆截面直杆受扭矩MT作用 仍采用应力法及逆解法 根据材料力学 解在V内任一点P r x rcos y rsin 受剪应力 作用 无正应力 则 I rMT dArI A 2 极惯性矩 x x y y z R R n MT MT r MT 12 沿x y方向分解 I yM I rM TT xy sinsin x I M I rM TT xy coscos 为假设的应力解 而其余应力分量设为 x y z xy 0 则体积应力 0 应力解代入平衡微分方程 无体力时 ji j 0 满足满足 应力解代入应力表示的变形协调方程 无体力时 0 1 1 ijkkij 满足满足 检验边界条件 在圆柱杆侧表面 R x enl cos 1 R y enm cos 2 0 n 面力 0 ZYX 或 0 zyx FFF ijji nX 000 0000 0000 I xyM I xyM R y R x R y R x R y R x TT zyzxz yz xz 满足满足 在z l表面 0 ml 1 n 0 z FZ 根据力的边界条件ijji nX 可导出 0 z T zy T zx Z I xM Y I yM X 如果在z l表面上 面力分布确是如此 则材料力学应力解为真解 13 否则 可必须采用圣维南原理 如果面力X和Y不能按上式分布 根据圣 维南原理 要求 0 A x RdAX 0 A T A zx ydA I M dA 0 y A RdAY 0 A T A zy xdA I M dA T A MdAXyYx T A p T zx A zy MdAyx I M dAyx 22 由物理方程得应变 0 xyzyx GI yM G Tzx zx GI xMT zy 代入几何方程并积分可求位移 yz GI M ywzwuu T zy 0 xz GI M zwxwvv T xz 0 xwywww yx 0 如令在x y z 0 坐标原点 处 0 z v y u z u wvu 刚体位移被约束 则 kyzyz GI M u T kxzxz GI M v T 0 w k为圆柱体单位长度的扭转角 圆柱体截面上的径向位移和环向位移 0sincos vuur krzrrkzvuu coscossinsin cossin 例题例题 4 设有半空间体 试求在自重 g和表面均布压力q作用下的应力和 14 位移 已知 半空间体体力 fx fy 0 fz g 在z 0面上 面力 0 YX qZ 且设当z h时 w 0 按位移法求解 采用半逆解法 由于半空间体 任何过z轴的平面 均为对称面 而垂直对称面位移为零 所以猜 u v 0 w w z 将半逆解法的位移代入位移法的基本方程 0 2 iii fuGeG 而 dz zdw