微元法在利用定积分解决实际问题中所起的作用.doc

微元法在利用定积分解决实际问题中所起的作用张志军一、能利用定积分来解决的实际问题有什么特点？能利用定积分来解决的实际问题，总可归结为求一个确定在某一区间上且一般来说在上非均匀分布的量。这个量有以下两个特点：1、 对区间具有可加性设是与变量的变化区间有关的待求量，在内任意插入分点，把分成个小区间，相应地量也被分成个部分量，那么等于这些部分量的和，即 2、 能找出部分量的近似表达式 如果对每个部分量可以找到如下形式的近似值 ，其中为上的连续函数，那么待求量的近似值为 我们要求的是的精确值，而用的近似值累加，其误差也将累加，所以就要求累加的误差能随所有而趋于零。因此，希望相应于任一长为的小区间的部分量都满足表达式： 且当时，（并与无关）。这样我们可以证明量即可用定积分来计算 二、如何理解和运用微元法来解决可化为定积分的实际问题？微元法也成为元素法，它是用来化实际问题为定积分问题的一种简便方法，也是物理学、力学和工程技术上普遍采用的方法。如问题一所述，可化为定积分来计算的待求量有两个特点，对区间的可加性这一特点，是容易看出来的，因此，关键在于另一特点，即找任仪部分量的表达式： （1）然而，人们往往根据问题的几何或物理的特征，自然地将注意力集中于去找这一项上。但不能忘记，这一项与之差，当时，应是比高阶的无穷小量，借用微分的记号，将这项记为 （2）这个量称为待求量的微元或元素。用定积分来解决实际问题的关键就在于求出微元。若连续，我们由（1）式即知，（2）式表示的微元实际上是的微分，因为在区间上的待求量为 ， 故。因此，要求出在区间上的待求量，先要求出的微分。然后把在上积分，即可求出，这就是所谓微元法或元素法。 按数学的定义，量的微分是它的线性主部，但从工程实际应用的角度看，量的微分就是在一定的条件下，将一些变动的量视为常量而得到的与成正比的的近似值。按此理解，把数学与工程实际应用结合起来考虑，那么量的微分一般说来就比较易求，同时，化实际问题为定积分问题的步骤也得到了简化。这是微元法所以得到普遍利用的原因。 关于差，应当是比高阶的无穷小量，这一点，在实际应用中一般都不验证，因为如果对每个问题都要一一验证，那么这一方法的应用对将受到限制，但注意到这一点是必要的。当你认为已得到了微元后，便予以积分，若积分结果不符合实际时，再回头来验证这一点，定能发现问题。 下面看一个具体的例子。 将底半径为，高为的正圆锥的侧面，看作是由平面上的直线 绕轴旋转而成的，为了求其体积，先求体积微元，即当很小时将圆台视为圆柱，故 。 若求侧面积时，也将小圆台视为圆柱，那么得到的侧面积微元将是，从而 。 上面的结果与我们已知的公式相比教，便知求得的体积是对的，而侧面积是错的。为什么用的近似的方法相似，而得到的结果却是一个对而另一个错了呢？ 关键在于所找的微元是不是待求量的微分，即是不是比高阶的无穷小，这一步是必须检查的。1、 关于体积有 。因此的确是的微分，故积分的结果符合实际。2、 关于侧面积 我们利用中学数学中关于圆弧的长和圆扇形的面积公式，可求得小圆台的侧面积为 故与我们前面所找的之差为 容易看出，这个差与是同阶无穷小量（当）。故上述不是的微分，积分得出结果当然不对了。从（1）式可以看出，的微分应当是，