微积分大纲.doc

微积分教学大纲 课程名称： 微积分 课程编号： 80100015 适用专业：生物、地理、心理、管理、教育、经济等专业总学时数：160 学分数：10理论教学时数： 160 实验（实践）教学时数： 上机时数：一、 课程的性质、目的与任务微积分是高等院校财经专业基础课程之一，对于自然科学和工程技术，它是理论研究的重要工具。通过本课程的学习，要使学生获得一元及多元函数和常微分方程等方面的基本概念，基本理论和基本运算技能，以培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。微积分学是高等数学的中心内容，在经济等学科中有着广泛的应用。 二 、课程教学基本要求：（一）函数1掌握集合的表示法，理解集合运算的性质,了解区间,邻域的含意。2理解实数与实数的绝对值的概念及其基本性质，掌握绝对值不等式的解法。3理解函数的概念及函数符号的意义，能正确地求出函数的定义域和值域。4熟悉函数的表示方法,了解分段函数的概念。5了解函数的几何特性，并掌握各几何特性的图形特征。6理解反函数的概念，知道函数与其反函数的几何关系，并会求反函数。7理解复合函数的概念，了解两个（或多个）函数能够成复合函数的条件掌握将一个复合函数分解为一些较简单函数的方法。8理解基本初等函数、初等函数的概念，掌握基本初等函数的定义域、值域 基本性质及其图象。9 会建立简单应用问题及经济学中常见的函数关系。（二）极限与连续1、理解数列与函数极限的概念。2、理解无穷小量和无穷大量的概念和基本性质，掌握无穷小量阶的比较法知道无穷小量与无穷大量间的关系。3、熟练掌握运用极限的运算法则求极限的基本方法。4、知道两个极限存在定理, 熟练掌握两个重要极限并能用于求某些函数的极限。5、理解函数连续性的概念，理解函数间断点的概念，掌握讨论分段函数连续性的方法。6、了解连续函数的运算法则，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。7、掌握闭区间上连续函数的基本性质(只作几何说明不证明)。8、熟练掌握求极限的基本方法: 利用极限的运算法则，无穷小量的性质，两个重要极限及函数的连续性等求极限值（三）导数与微分1、了解导数的概念知道导数的几何意义，了解可导与连续的关系。2、熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算。3、掌握反函数的求导法则，掌握对数求导法与隐函数的求导法则。4、熟练掌握复合函数的求导法则。5、了解高阶导数的概念，掌握求二阶导数及某些简单函数阶导数的方法。6、了解微分的概念，掌握可导与可微的关系以及一阶微分形式不变性，熟练掌握求可微函数微分的方法。（四）中值定理，导数的应用1、了解罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理的含意，知道这些定理间的关系，会利用这些定理证明一些简单的证明题。2、 熟练掌握罗必塔法则和各种未定式的定值方法。3、 熟练掌握函数单调性的判别方法。4、 熟练掌握求函数极值（最值）的方法，了解函数极值与最值的关系与区别，会求解某些简单的应用问题。5、 熟练掌握曲线凹凸性的判别方法，会求曲线的拐点。6、 掌握函数作图的基本步骤和方法，会作较简单函数的图形。7、 知道边际与弹性的概念 会求简单的经济应用题。（五）不定积分1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，明确不定积分与微分在运算上的互逆关系，了解不定积分的几何意义，能够依初始条件确定积分常数。2、 掌握不定积分的性质。3、 熟练掌握不定积分的两种换元积分法和分部积分法，注意三种方法的综合应用，能熟练地求出常见的初等函数的不定积分。4、 熟练掌握不定积分的基本积分公式：5、会计算三种简单的分式不定积分 （六）定积分1、 掌握定积分的概念及性质，理解并掌握定积分的几何意义。2、 明确定积分与不定积分概念的区别，会求变上限积分的导数，并熟练掌握牛顿莱布尼兹公式。3、 熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法，注意定积分换元法与不定积分换元法之间的相似性与区别。4、 积分计算平面图形的面积，旋转体的体积以及求解简单的经济 应用题。义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的方法 知道广义积分与收敛的条件，知道函数的概念，基本性质和递推公式（七）无穷级数1、 了解无穷级数的概念，理解无穷级数收敛与发散的定义，理解无穷级数的性质，会用无穷级数收敛与发散的定义及性质判定简单无穷级数的敛散性。2、 掌握几何级数与级数的敛散性判别条件，知道调和级数敛散性。3、 掌握正项级数的比较判别法，熟练掌握正项级数的比值判别法。4、 掌握交错级数的莱布尼兹判别法。5、 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别法。6、 掌握级数的收敛半径，收敛区间的求法，知道幂级数的性质，能求幂级数的和函数。7、 知道泰勒级数，会将初等函数用间接展开法展开为幂级数。（八）多元函数1、了解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离，了解空间曲面与方程的关系。了解邻域、开集、区域、闭区域等概念。2、了解多元函数的概念及图形，掌握二元函数的定义域的求法及几何图形。3、知道二元函数的极限与连续性的概念。4、了解多元函数的偏导数与全微分的概念。熟练掌握求偏导数与全微分的方法，了解偏导与全微分间的关系。5、掌握求多元复合函数偏导数的方法。知道多元函数一阶全微分的形式不变性。6、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法。7、掌握高阶偏导的求法。8、了解二元函数极值与条件极值的概念。掌握用二元函数极值存在的必 要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数条件极值问题的方法。9、了解二重积分的概念，几何意义与基本性质。掌握在直角坐标系与坐标系下计算二重积分的常用方法。（九）微分方程与差分方程简介 1、理解微分方程的阶，通解与特解等概念。2、掌握可分离变量微分方程，齐次方程和一阶线性微分方程的解法。3、知道二阶常系数线性微分方程的解法。4、理解差分方程的阶，通解与特解等概念。5、知道一阶常系数线性齐次差分方程的通解。知道一阶常系数线性非齐次差分方程的解法6、知道二阶常系数线性齐次差分方程的通解。知道二阶常系数线性非齐次差分方程的解法 7、本章内容对于B级班的学生不做要求，而对于A级班的学员不仅要掌握掌握基本知识和基本技能，还要求有一定的综合知识的应用能力。高等数学在经济管理中的应用：边际函数，利润、成本的最优化等。三、课程教学主要内容第一章 函数集合 实数集 函数关系 函数表示法 建立函数关系的例题 函数的几种简单性质 反函数与复合函数 初等函数 函数图形的简单组合与变换第二章 极限与连续数列的极限 函数的极限 变量的极 无穷大量与无穷小量 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性第三章 导数与微分 引出导数概念的例题 导数概念 导数的基本公式和运算法则 高阶导数 微分第四章 中值定理，导数的应用 中值定理 未定式的定值法罗彼塔法则 函数的增减性 函数的极值 最大值与最小值，极值的应用问题 曲线的凹向与拐点 函数图形的作法 变化率及相对变化率在经济中的应用边际分析与弹性分析介绍第五章 不定积分不定积分的概念 不定积分的性质 基本积分公式 换元积分法 分部积分法 有理函数的积分第六章 定积分 引出定积分概念的例题 定积分的定义 定积分的基本性质 定积分与不定积分的关系 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 定积分的应用 定积分的近似计算 广义积分与函数第七章 无穷级数 无穷级数的概念 无穷级数的基本性质 正项级数 任意项级数，绝对收敛 幂级数 泰勒公式与泰勒级数 某些初等函数的幂级数展开式 幂级数的应用举例 第八章 多元函数 空间解析几何简介 多元函数的概念 二元函数的极限与连续 偏导数 全微分 复合函数的微分法 隐函数的微分法 二元函数的极值 二重积分第九章微分方程与差分方程简介 微分方程的一般概念 一阶微分方程 几种二阶微分方程 二阶常系数线性微分方程 差分方程的一般概念 一阶和二阶常系数线性差分方程四、 学时分配教 学内 容教 学 环 节讲课实验习题课上机电教第一章162第二章162第三章122第四章182第五章122第六章182第七章182第八章182第九章122复习2合计14020五、 课程与其他课程的联系与分先修课程： 后续课程：线性代数、复变函数、概率统计。六 教学建议（1）本课程以课堂讲授为主，精讲多练。在本课程讲授前，先安排学生看一次有关微积分发展史及其应用的录像片，加深学生的感性认识。各章中均选择部分内容引导学生自学。（2） 在作业和练习方面，A组题要求每一个学生都会做，B组题主要针对数学基础扎实和有数学兴趣的同学，同时根据教学对象和教学内容的需要，教师可为学生选择一些难度略高于教材的习题，并适当增加应用题的数最，以锻炼学生解决实际问题的能力。（3） 根据教育发展的趋势和教学改革的要求，在本课程的教学过程将逐步引入现代化教学手段。鼓励使用多媒体教学或直接使用现成的教学课件。在教学过程中向学生介绍Mathematica，Mathlab