微分和导数.doc

672-1 微分和导数第2章 微分和微分法导数的简单应用经典微积分大致分为微分学和积分学两大部分.微分学中两个最基本的概念就是函数的微分和导数，而求函数微分或导数的方法称为微分法.微分法是微分学中最基本的运算方法.2-1 微分和导数函数的微分和导数就像是一对儿“双胞胎”，是同时存在的，而且两者有密切的关系.自柯西以来，几乎所有的教科书中都是先讲导数，后讲微分.许多学生学完微积分后，熟悉导数却不熟悉微分.实际上，微分运算和导数运算是平行的，即每一个微分运算都对应于一个相当的导数运算，反过来也是如此.本书将把函数的可微性作为起始概念，并同时导出函数的微分和导数这两个概念，以便能够体现出它们两者之间的“孪生兄弟”关系.1.从例子说起(函数局部线性化) 假若函数随自变量的变化是均匀的，譬如函数. 用表示自变量在点的增量，则函数 的增量为 (图2-1)Oy图2-2x显然，与自变量增量成正比，即函数增量是关于自变量增量的线性函数.xO x0 x0+x 图2-1yx可是，另有些函数，例如函数(图2-2)在点(相应于自变量增量)的增量为显然，函数在点近旁的变化不是均匀的，即与不成正比.但是，能够被分离出一部分，它与成正比；而余下的部分与相比较，当时，是高阶无穷小量，即.于是，函数在点的增量就可表示成我们将把“与成正比”或“关于为线性”的那一部分，称为函数在点的微分；而把比例系数称为函数在点的导数.与一次函数不同，函数在点的微分和导数都与点有关.不过，两者的微分都是关于自变量增量的线性函数.2.可微微分和导数 一般情形下，设有函数定义在区间上.当自变量在点有增量(或)时，函数就会相应地有增量 (图2-3)其中记号“”作为一个整体，将表示的函数.确切地说，应当把记成，而就像一个函数记号(是自变量).y O x0 x0+x x 图2-3 自变量的增量称为自变量的微分，记成； 若有与无关的常数，使 (2-1)其中则称函数在点为可微分；并称为函数在点的微分，记成或；其中关于是唯一的，称它为函数在点的导数，记成或.因此，微分.根据式（2-1），于是.根据极限的基本性质1（见1-5），所以关于是唯一的.注意，当把看成有限量时，微分是有限量；而在极限过程中，微分又是无穷小量.因此, 为了能够满意地解释微积分中的一些记号和运算, 我们把微分既看成有限量, 又看成无穷小量.这就像物理学中关于光的“两象性”解释(“粒子说”和“波动说”)一样.根据本节开始的讨论，一次函数和二次函数在任意点都可微分，且（微分）, （导数）;（微分）, （导数）. 特别，对于常值函数，因为，所以，.上述导数记号是后来的法国数学家拉格朗日(Lagrange, 17361813)引用的，而莱布尼茨当初把函数在点的的导数记成. 这样，按照莱布尼茨的说法，导数就是函数的微分除以自变量微分的商 (简称微商)（*） 可见，莱布尼茨当初把函数的微分作为起始概念，而导数是从属概念。.若函数在点可微分，根据式(2-1)，则有 或 即函数在点连续.这说明：函数连续是函数可微分的必要条件；或者说，函数可微分是函数连续的充分条件. 在以下的例子中，注意是自变量（而把暂时看成常量，就像上面的）.例1 函数(为正整数)的可微性 当自变量在任意点有一个无穷小增量时，函数在点的增量为 方括号内为因此，根据定义即式(2-1)，函数在任意点可微分且微分为（其中）而函数在点的导数为.例2 函数和的可微性 对于任意点，设有增量，则函数的增量为其中，当时，根据定理1-1（因为是连续函数），则有又根据，则，于是有 与相差一个高阶无穷小量因此，即函数在任意点可微分，而且，（微分）， （导数）. 同理，函数在任意点也可微分，而且 （微分）， （导数）. 例3 函数的可微性 对于任意点，设有无穷小增量，则函数的增量为注意，其中是根据见式（1-1）因此，函数在任意点可微分，而且（微分）， （导数）.例4 函数的可微性 对于任意点，设有无穷小增量，则函数的增量为注意，其中见式（1-2）.因此，函数在任意点可微分，而且（微分）， （导数）.为了简化微分和导数的记号，函数在点的微分就简记成，而导数就简记成或. 于是，； .因为有时也把函数写成，所以有时也把微分和导数依次写成； 可见，莱布尼茨所用的微分记号和导数记号是非常巧妙的，即当把微分看成有限量时，微分和导数之间的转换，可以通过代数运算(乘或除)来完成.在上述关于导数的记号中，当把其中的看作常量时，导数是数，而把看作变量时，它是关于自变量的函数，有时称它为导函数.【注】牛顿当初把(以时间值为自变量的)函数的导数记成(他当时把变量称为“流数”，而把导数称为“流率”).在近代数学中, 柯西又把函数的导数记成.3.可导与可微的等价性 当函数在点可微分时，根据式(2-1)，则有因此，有极限 (2-2)柯西在19世纪初就是先用这个极限定义了函数的导数，而后用导数又定义了函数的微分，即(有限量) 柯西把有极限（2-2）称为函数在点可导.此时，因为 或 且与无关，所以函数在点也可微分.因此，函数可导与可微是等价的.例5 设函数当自变量在点有一个增量时，函数在点也有一个增量. 因为不存在极限 (见图1-10)所以这个函数在点没有导数(即在点不可微分).但是，因为有所以这个函数在点是连续的.这说明函数连续的条件弱于可微的条件，即连续只是可微分的必要条件, 而不是充分条件！例6 设函数(为正整数).因为 所以从而，当时，有极限因此，函数在任意点有导数 (即可微分)，而且(导数)； (微分).例7 设，则，并且当时，有.因为， 从而，所以在两端同除以后，得注意到当时，也有，因此 (在两端让) 得从而得(导数) ； (微分) .4.单侧导数 假若讨论函数在区间端点上的可微性，或者研究分段表示的函数在分界点上的可微性时，都需要定义函数的单侧导数：（左导数） （右导数）.显然，有导数当且仅当. 例如，研究函数在点的可微性时，因为，所以函数在点没有导数（即不可微分）.而对于函数 显然左导数，而右导数因为，所以函数在点有导数.5.微分作为函数增量的近似值 若函数在点可微分，因为 而且当时，右端第二项比第一项更快地接近于，所以把微分看作函数增量的近似值是合理的.因此，就得到求函数在点近旁函数值的近似值的公式 (2-3)其中且足够小.此时，微分被看作有限量(而不是无穷小量).请读者注意，本书中关于记号“”的用法是：当它的两端都是无穷小量时,它表示两端为等价无穷小量(在有的教科书中用的记号是“”); 当它的两端是有限量而不是无穷小量时,它表示两端近似相等.式（2-3）两端都是有限量，而不是无穷小量！例8 求的近似值.解 因为，所以取函数. 于是，因为，所以根据式（2-3），则有总结函数的微分和导数都是局部概念，即函数在某点的微分和导数.可微等价于可导，但微分和导数是不同的两个概念.它们就像一对“双胞胎”.函数的微分是函数增量的线性主要部分，而导数是函数微分除以自变量微分的商.习 题1.填空：，；，；， ；， ；， ；， .答案：； ；.2.填空：设函数在点有导数.； .答案：，.3.证明：若函数在点是连续的，则函数在点可微分，且微分为，而导数为.4.设. 求极限. 答案：.5.设函数. 证明.6.设. 求导数. 答案：.7.设(为正整数).求导数. 答案：.8.问：若，是否必有？若，是否必有？ 提示：用例子（反例