初二数学教案设计：勾股定理的综合应用.doc

初二数学教案设计：勾股定理的综合应用 勾股定理及其逆定理是初中数学中的重要内容之一,它的应用极其广泛,现将常见的应用例析如下,供同学们参考。 一、利用勾股定理进行计算 1.求面积 例1:如图1,在等腰ABC中,腰长AB=10cm,底BC=16cm,试求这个三角形面积。 析解:若能求出这个等腰三角形底边上的高,就可以求出这个三角形面积。而由等腰三角形三线合一性质,可联想作底边上的高AD,此时D也为底边的中点,这样在RtABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以这个三角形面积为BCAD=166=48cm2。 2.求边长 例2:如图2,在ABC中,C=135?,BC=,AC=2,试求AB的长。 析解:题中没有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考虑过点B作BDAC,交AC的延长线于D点,构成RtCBD和RtABD。在RtCBD中,因为ACB=135?,所以BCB=45?,所以BD=CD,由BC=,根据勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD=AC+CD=3。在RtABD中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2=32+12=10,所以AB=。 点评:这两道题有一个共同的特征,都没有现成的直角三角形,都是通过添加适当的辅助线,巧妙构造直角三角形,借助勾股定理来解决问题的,这种解决问题的方法里蕴含着数学中很重要的转化思想,请同学们要留心。 二、利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 例3:已知a,b,c为ABC的三边长,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断ABC的形状。 析解:由于所给条件是关于a,b,c的一个等式,要判断ABC的形状,设法求出式中的a,b,c的值或找出它们之间的关系(相等与否)等,因此考虑利用因式分解将所给式子进行变形。因为a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,所以(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0。因为(a-5)20,(b-12)20,(c-13)20,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因为52+122=132,所以a2+b2=c2,即ABC是直角三角形。 点评:用代数方法来研究几何问题是勾股定理的逆定理的数形结合思想的重要体现。 三、利用勾股定理说明线段平方和、差之间的关系 例4:如图3,在ABC中,C=90?,D是AC的中点,DEAB于E点,试说明:BC2=BE2-AE2。 析解:由于要说明的是线段平方差问题,故可考虑利用勾股定理,注意到C=BED=AED=90?及CD=AD,可连结BD来解决。因为C=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DEAB,所以BED=AED=90?,在RtBED中,有BD2=BE2+DE2。在RtAED中,有AD2=DE2+AE2。又D是AC的中点,所以AD=CD。故BC2+CD2=BC2+AD2=BC2+DE2+AE2=BE2+DE2,所以BE2=BC2+AE2,所以