恰当微分.doc

关于恰当微分方程解法的探究摘 要：本文首先给出了微分方程的基本概念在此基础上，探讨了恰当微分方程的解法.关键词：恰当微分方程；通解；特解Solving Method of The Proper Differential EquationAbstract： This paper firstly introduces the basic concept of differential equations on such a basis, the paper probes into the solutions of the proper differential equations .Key words：Proper differential equation; general solution; particular solution引言 本文结合一些典型的例题，介绍微分方程解的一些基本概念，重点探究了恰当微分方程和可化为恰当微分方程的解法.1.有关微分方程的解的一些概念1.1解的表示形式定义:设函数在区间有直到阶的导数,如果把及其相应的各阶导数代入方程能使得该式成立,则函数,为方程的一个解.例 1 试验证函数 是方程的解. 解 显然在区间上可导,把他代入方程后对一切的有.1. 2通解和特解1 通解我们知道一个重要事实,就是微分方程存在有含有任意常数的解,而且我们看到,解中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,我们把含有任意个常数的解叫方程的通解.例如 为一阶方程的通解.2 特解如果已求得一微分方程的通解,而欲求满足一个初值条件的特解,往往可以用初值条件去确定通解中的常数从而得到特解.对于一阶微分方程而言,设已知通解为,想要求满足初值条件的特解.为了确定中的,可将代入得到方程解出代入通解中得到即为满足初值条件的特解.2.恰当微分方程2.1 一般恰当微分方程的解法若一阶微分方程的左端恰好是某个二元函数的全微分，即则为恰当微分方程，其中，为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法若为恰当微分方程，则对，分别求关于，的偏导数，有由，的连续性，故，此即为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件下面来讨论的通解形式由知是的可微函数，下面来求使也满足由此知下证与无关即可所以左边与无关积分得所以从而，原方程的通解为为任意常数例 2 求解方程解 由于，所以，因此原方程为恰当微分方程现在求使其满足由得为了确定对求关于的导数即得两边积分得所以从而，原方程的解为注对于一些恰当微分方程不需要如此复杂的过程，通过观察可以采用“分项组合”的方法例 3求解方程解原方程可以变形为即即所以，原方程的通解为2.2 可化为恰当微分方程的解法对非恰当微分方程我们可引入积分因子将其化为恰当微分方程，从而加以解决.若存在连续的函数且使为一恰当微分方程，即存在函数则为原方程的积分因子注这时原方程的解为下面只对含的积分因子作寻求由微分方程为恰当微分方程的必要条件得即得从而有若只含有关于的积分因子，则从而有从而只含有与有关的积分因子充要条件是这里仅为的函数所以原方程的一个积分因子为同理，可以得到原方程只含有与有关的积分因子的充要条件是这里仅为的函数求得原方程