河南省新乡市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1下列命题错误的是（）a命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”b“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件c若pq为假命题，则p、q均为假命题d对于命题p：xr，x2+x+10，则p：xr，x2+x+102在abc中，三边a，b，c所对的角分别为a，b，c，若a2+b2=ab+c2，则角c为（）a30b45c150d1353不等式ax22x+10的解集非空的一个必要而不充分条件是（）aa1ba0c0a1da14（文）等差数列an公差不为零，首项a1=1，a1，a2，a5是等比数列，则数列an的前10项和是（）a90b100c145d1905在直三棱柱abca1b1c1中，ac=aa1=2，acb=90，点e，f分别是棱ab，bb1的中点，当二面角c1aa1b为45时，直线ef与bc1的夹角为（）a60b45c90d1206在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，则=（）abcd7已知m是abc内的一点，且，bac=，若mbc，mca，mab的面积分别为，x，y，则的最小值为（）a16b18c20d248等差数列an中，s150，s160，则使an0成立的n的最大值为（）a6b7c8d99若直线l不平行于平面a，且la，则（）aa内所有直线与l异面ba内不存在与l平行的直线ca内存在唯一的直线与l平行da内的直线与l都相交10在abc中，三边a，b，c所对的角分别为a，b，c，若a=2bcosc，则abc是（）a锐角三角形b等腰三角形c钝角三角形d直角三角形11已知点m是抛物线x2=4y上的一点，f为该抛物线的焦点，a在c：（x1）2+（y5）2=1上，则|ma|+|mf|的最小值为（）a3b5c8d1012设椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，p是c上的点，pf2f1f2，pf1f2=30，则c的离心率为（）abcd二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知等比数列an是递增数列，且，则tan（a2a12）=14已知abcd为正方形，点p为平面abcd外一点，面pcd面abcd，pd=ad=pc=2，则点c到平面pab的距离为15在直角三角形abc中，ab=4，ac=2，m是斜边bc的中点，则向量在向量方向上的投影是16过双曲线=1（a0）的右焦点f作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是三、解答题（本题共6小题，共70分，解答题应写出适当文字说明、证明过程或演算步骤）17已知不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb，（1）求a，b；（2）解不等式ax2（ac+b）x+bc018在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知cosc+（cosasina）cosb=0（1）求角b的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围19各项均为正数的数列an，满足a1=1，aa=2（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和sn20已知p：|3x4|2，0，r：（xa）（xa1）0，（1）p是q的什么条件？（2）若r是p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围21四棱锥sabcd，底面abcd为平行四边形，侧面sbc底面abcd已知dab=135，bc=2，sb=sc=ab=2，f为线段sb的中点（1）求证：sd平面cfa；（2）求面scd与面sab所成二面角的平面角的余弦值大小22已知椭圆c：的离心率为，定点m（2，0），椭圆短轴的端点是b1，b2，且mb1mb2（）求椭圆c的方程；（）设过点m且斜率不为0的直线交椭圆c于a，b两点试问x轴上是否存在定点p，使pm平分apb？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由2014-2015学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1下列命题错误的是（）a命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”b“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件c若pq为假命题，则p、q均为假命题d对于命题p：xr，x2+x+10，则p：xr，x2+x+10【考点】复合命题的真假 【专题】常规题型【分析】a逆否命题 条件结论都否定后位置互换b，x2可推出x23x+20成立，但x23x+20等价于x2或x1通过分析可得a，b，d均正确【解答】解：若p则q的逆否命题是若非q，则非p，命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”是真命题x23x+20x2或x1，x2x23x+20b是真命题全称命题的否定特称命题，对于命题p：xr，x2+x+10，则p：xr，x2+x+10，c是真命题pq一假即为假，c答案错误故选c【点评】本题考查了四种命题，复合命题的真假，充要条件以及全称命题的否定注意审题2在abc中，三边a，b，c所对的角分别为a，b，c，若a2+b2=ab+c2，则角c为（）a30b45c150d135【考点】余弦定理 【专题】计算题【分析】利用余弦定理可求得cosc=，从而可求得角c的值【解答】解：在abc中，由余弦定理a2+b2=c2+2abcosc，又a2+b2=ab+c2，cosc=，c=45故选b【点评】本题考查余弦定理，求得cosc=是关键，突出整体代入的思想，属于基础题3不等式ax22x+10的解集非空的一个必要而不充分条件是（）aa1ba0c0a1da1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】计算题【分析】通过对二次项系数分类讨论求出不等式ax22x+10的解集非空的充要条件，必要而不充分条件的a的范围应该比a1的范围大；得到选项【解答】解：要使不等式ax22x+10的解集非空当a=0时，不等式为2x+10，其解集为x；当a0时，=44a0即0a1；当a0时，满足不等式ax22x+10的解集非空；所以不等式ax22x+10的解集非空的充要条件为a1；所以不等式ax22x+10的解集非空的一个必要而不充分条件应该比a1的范围大；故选d【点评】解决二次不等式的问题，应该注意二次项系数为字母时，应该对其分类讨论，是高考常考的题型，属于中档题4（文）等差数列an公差不为零，首项a1=1，a1，a2，a5是等比数列，则数列an的前10项和是（）a90b100c145d190【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】由a1=1，a1、a2、a5成等比数列，可得a22=a1a5，由等差数列的通项公式可得（1+d）2=1（1+4d），从而可求得d，根据等差数列的前n项和公式可求的答案【解答】解：设等差数列an的公差为d，则d0，a1，a2，a5成等比数列，a22=a1a5，又首项a1=1，（1+d）2=1（1+4d），即d（d2）=0，d0，d=2，=100故选：b【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，等差数列和等比数列是数列内容中的最基本的数列，是高考的热点之一，解决问题的关键是要熟练掌握公式，灵活应用公式属于基础题5在直三棱柱abca1b1c1中，ac=aa1=2，acb=90，点e，f分别是棱ab，bb1的中点，当二面角c1aa1b为45时，直线ef与bc1的夹角为（）a60b45c90d120【考点】两直线的夹角与到角问题 【专题】转化思想；综合法；直线与圆；空间角【分析】先将ef平移到ab1，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到直线ef和bc1所成的角，求之即可【解答】解：由题意可得cab=45为二面角c1aa1b的平面角，abc为等腰直角三角形，连ac1，取ac1得中点o，e，f分别是棱ab，bb1的中点，oe平行且等于bc1，oef=或其补角，即为直线ef与bc1的夹角由于oe=bc1=，ef=，of=，由余弦定理可得cos=0，=90，故选：c【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，经常考查，属于中档题6在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，则=（）abcd【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再利用同角三角函数间的基本关系变形，求出sina与sinb的比值，再利用正弦定理即可求出所求式子的值【解答】解：在abc中，利用正弦定理可得 得：sin2asinb+sinbcos2a=sina，整理得：sinb（sin2a+cos2a）=sinb=sina，即 =，则由正弦定理得：=，故选d【点评】此题考查了正弦定理，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题7已知m是abc内的一点，且，bac=，若mbc，mca，mab的面积分别为，x，y，则的最小值为（）a16b18c20d24【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算 【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】由，bac=，利用数量积运算可得，即bc=4利用三角形的面积计算公式可得sabc=1已知mbc，mca，mab的面积分别为，x，y可得，化为x+y=再利用基本不等式=即可得出【解答】解：，bac=，bc=4sabc=1mbc，mca，mab的面积分别为，x，y，化为x+y=18，当且仅当y=2x=时取等号故的最小值为18故选：b【点评】本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题8等差数列an中，s150，s160，则使an0成立的n的最大值为（）a6b7c8d9【考点】等差数列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质和求和公式结合题意可得a80，a90，进而可得数列的前8项为正数，从第9项开始为负值，可得答案【解答】解：由题意可得s15=15a80，即a80；同理可得s16=8（a8+a9）0，即a8+a90，综上可得a80，a90，故等差数列an为递减数列故数列的前8项为正数，从第9项开始为负值，故使an0成立的n的最大值为8故选c【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，得出数列的前8项为正数，从第9项开始为负值是解决问题的关键，属中档题9若直线l不平行于平面a，且la，则（）aa内所有直线与l异面ba内不存在与l平行的直线ca内存在唯一的直线与l平行da内的直线与l都相交【考点】直线与平面平行的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】a内与l相交的直线在同一面内，推断出a选项错误直线l与面相交的点，过此点的所有直线均与l相交，平面内其他的线则不与其相交，推断出c，d项说法错误利用反证法和线面平行的判定定理推断出b项正确【解答】解：a内与l相交的直线在同一面内，故a选项错误直线l与面相交的点，过此点的所有直线均与l相交，平面内其他的线则不与其相交，故c，d项说法错误若a内存在与l平行的直线，则根据线面平行的判定定理可知l与面a平行，已知直线l不平行于平面a，故a内不存在与l平行的直线，b项说法正确故选b【点评】本题主要考查了直线与平面的位置关系，线面平行判定定理的运用考查了学生逻辑推理能力10在abc中，三边a，b，c所对的角分别为a，b，c，若a=2bcosc，则abc是（）a锐角三角形b等腰三角形c钝角三角形d直角三角形【考点】三角形的形状判断 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】先根据题设条件求得cosc的表达式，进而利用余弦定理求得cosc的另一表达式，二者相等化简整理求得b=c，进而判断出三角形为等腰三角形【解答】解：a=2bcosc，cosc=，cosc=，=，化简整理得b=c，abc为等腰三角形故选：b【点评】本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断解题的关键是利用了cosc这一桥梁完成了问题的转化，属于中档题11已知点m是抛物线x2=4y上的一点，f为该抛物线的焦点，a在c：（x1）2+（y5）2=1上，则|ma|+|mf|的最小值为（）a3b5c8d10【考点】圆与圆锥曲线的综合 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值【解答】解：过m作抛物线准线的垂线，垂足为p，则利用抛物线的定义知：mp=mf当m、a、p三点共线时，|ma|+|mf|的值最小，即：cmx轴cm所在的直线方程为：x=1与x2=4y建立方程组解得：m（1，）|cm|=5点m到圆c的最小距离为：|cm|ac|=抛物线的准线方程：y=1则|ma|+|mf|的值最小值为+1=5故选：b【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题12设椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点分别为f1、f2，p是c上的点，pf2f1f2，pf1f2=30，则c的离心率为（）abcd【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|pf2|=x，在直角三角形pf1f2中，依题意可求得|pf1|与|f1f2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案【解答】解：设|pf2|=x，pf2f1f2，pf1f2=30，|pf1|=2x，|f1f2|=x，又|pf1|+|pf2|=2a，|f1f2|=2c2a=3x，2c=x，c的离心率为：e=故选a【点评】本题考查椭圆的简单性质，利用三角形边角关系求得|pf1|与|pf2|及|f1f2|是关键，考查理解与应用能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知等比数列an是递增数列，且，则tan（a2a12）=【考点】等比数列的性质 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知结合等比数列的性质求得，进一步求得tan（a2a12）的值【解答】解：在等比数列an中，由，得，即tan（a2a12）=tan故答案为：【点评】本题考查等比数列的性质，考查了三角函数值的求法，是基础的计算题14已知abcd为正方形，点p为平面abcd外一点，面pcd面abcd，pd=ad=pc=2，则点c到平面pab的距离为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算 【专题】计算题；规律型；数形结合；方程思想；转化思想；空间位置关系与距离【分析】画出图形，利用等体积法求解即可【解答】解：如图：取cd的中点o，ab的中点e，连结pe，oe，po，由题意可得：oc=od=1，oe=2，面pcd面abcd，pd=ad=pc=2，可得po=，pooe，pe=，vpabc=vcpab，c到平面pab的距离为h，则：=，解得h=故答案为：【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力转化思想的应用15在直角三角形abc中，ab=4，ac=2，m是斜边bc的中点，则向量在向量方向上的投影是【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】利用向量在向量方向上的投影=即可得出【解答】解：如图所示，b（4，0），c（0，2），m（2，1）=（2，1），=（4，2）向量在向量方向上的投影=故答案为：【点评】本题考查了向量投影的计算公式，属于基础题16过双曲线=1（a0）的右焦点f作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（，）【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定双曲线的渐近线斜率23，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线斜率23，=e双曲线离心率的取值范围为（，）故答案为：（，）【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用=，属于中档题三、解答题（本题共6小题，共70分，解答题应写出适当文字说明、证明过程或演算步骤）17已知不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb，（1）求a，b；（2）解不等式ax2（ac+b）x+bc0【考点】一元二次不等式的解法 【专题】计算题；分类讨论【分析】（1）一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根，再利用一元二次方程根与系数的关系解出a，b（2）先把一元二次不等式变形到（x2）（xc）0，分当c2时、当c2时、当c=2时，三种情况求出此不等式的解集【解答】解：（1）因为不等式ax23x+64的解集为x|x1或xb，所以x1=1与x2=b是方程ax23x+2=0的两个实数根，且b1由根与系的关系得，解得，所以得（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax2（ac+b）x+bc0，即x2（2+c）x+2c0，即（x2）（xc）0当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|2xc；当c2时，不等式（x2）（xc）0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式（x2）（xc）0的解集为综上所述：当c2时，不等式ax2（ac+b）x+bc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2（ac+b）x+bc0的解集为x|cx2；当c=2时，不等式ax2（ac+b）x+bc0的解集为【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题18在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知cosc+（cosasina）cosb=0（1）求角b的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数 【专题】解三角形【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sina不为0求出tanb的值，由b为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出b的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosb的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围【解答】解：（1）由已知得：cos（a+b）+cosacosbsinacosb=0，即sinasinbsinacosb=0，sina0，sinbcosb=0，即tanb=，又b为三角形的内角，则b=；（2）a+c=1，即c=1a，cosb=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosb，即b2=a2+c2ac=（a+c）23ac=13a（1a）=3（a）2+，0a1，b21，则b1【点评】此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键19各项均为正数的数列an，满足a1=1，aa=2（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和sn【考点】数列递推式；数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）先确定数列a是首项为1，公差为2的等差数列，进而可求数列an的通项公式；（2）利用错位相减法，即可求数列的前n项和sn【解答】解：（1）因为aa=2，所以数列a是首项为1，公差为2的等差数列所以a=1+2（n1）=2n1因为an0，所以an=（2）由（1）知，an=，所以所以，sn=+ 则sn=+，得，sn=+=+2（+）=所以sn=3【点评】本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，正确运用错位相减法是关键20已知p：|3x4|2，0，r：（xa）（xa1）0，（1）p是q的什么条件？（2）若r是p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可（2）根据r是p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（1）由|3x4|2得3x42或3x42，即x2或x，即p：x2或x，p：x2由0得x2x20得x2或x1，即：q：1x2，则p是q的充分不必要条件（2）由（xa）（xa1）0得axa+1，即r：axa+1，若r是p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a2或a+1，即a2或a，即实数a的取值范围是a2或a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，根据充分条件和必要条件的定义进行转化是解决本题的关键21四棱锥sabcd，底面abcd为平行四边形，侧面sbc底面abcd已知dab=135，bc=2，sb=sc=ab=2，f为线段sb的中点（1）求证：sd平面cfa；（2）求面scd与面sab所成二面角的平面角的余弦值大小【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定 【专题】空间角【分析】（1）连结bd交ac于点e，连结ef，由已知条件推导出efsd，由此能够证明sd平面cfa（2）以bc的中点o为坐标原点，分别以oa，oc，os为x，y