排队论习题.docx

排队论习题1. 一个车间内有10台相同的机器，每台机器运行时每小时能创造4元的利润，且平均每小时损坏一次。而一个修理工修复一台机器平均需4小时。以上时间均服从指数分布。设一名修理工一小时工资为6元，试求：（i）该车间应设多少名修理工，使总费用为最小；解:这个排队系统可以看成是有限源排队模型M/M/s/10，已知设修理工数为,由公式目标函数为，用lingo求解得到，此时平均队长台，又因为当维修工数时平均队长，说明此模型不合理。对模型进行修正，由于要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。所以假设一名修理工修复一台机器平均需0.5小时，即设。用lingo求解得维修工数，平均队长，此时的最小费用为35.97元。（1）程序：model: lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10; load=m*rho; L_s=pfs(load,s,m); lamda_e=lamda*(m-L_s); min=6*s+4*L_s;gin(s);end Local optimal solution found. Objective value: 35.97341 Objective bound: 35.97341 Infeasibilities: 0.1000005E-09 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 388 Variable Value LAMDA 1.000000 MU 2.000000 RHO 0.5000000 M 10.00000 LOAD 5.000000 L_S 4.493352 S 3.000000 LAMDA_E 5.506648（ii）若要求不能运转的机器的期望数小于4台，则应设多少名修理工；解：同上，用有限源排队模型求解，增加约束条件，求得应设4名修理工。程序：model: lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10; load=m*rho; L_s=pfs(load,s,m); lamda_e=lamda*(m-L_s); min=6*s+4*L_s;L_s4;gin(s);endLocal optimal solution found. Objective value: 38.85625 Objective bound: 38.85625 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 702 Variable Value Reduced Cost LAMDA 1.000000 0.000000 MU 2.000000 0.000000 RHO 0.5000000 0.000000 M 10.00000 0.000000 LOAD 5.000000 0.000000 L_S 3.714062 0.000000 S 4.000000 2.882840 LAMDA_E 6.285938 0.000000（iii）若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，又应设多少名修理工。解：同第一问解法相同，首先只增加约束条件，求得，不合理。因此再增加一个约束条件，解得等待时间为4小时，应设3名修理工。程序model: lamda=1;mu=2;rho=lamda/mu;m=10; load=m*rho; L_s=pfs(load,s,m); lamda_e=lamda*(m-L_s); L_q=L_s-(1-p_0); w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e; min=6*s+4*L_s;w_q4;L_s1/2;gin(m);end Local optimal solution found. Objective value: 3.000000 Objective bound: 3.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 1 Total solver iterations: 288 Variable Value Reduced Cost LAMDA 0.8333333E-02 0.000000 MU 0.5333333E-01 0.000000 RHO 0.1562500 0.000000 S 1.000000 0.000000 LOAD 0.4687500 0.000000 M 3.000000 -1.000000 L_S 0.5069116 0.000000 P_0 0.6104549 0.000000(4)model: lamda=1/(2*60);mu=1/18.75;rho=lamda/mu;s=1; load=m*rho; L_s=pfs(load,s,m); min=40*L_s+8*mu;gin(m);bnd(1,m,5);end 结果: Objective value: 5.832072 Variable Value Reduced Cost LAMDA 0.8333333E-02 0.000000 MU 0.5333333E-01 0.00