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文档简介

ABCODEF证明：三角形的三条角平分线必交于一点证明：EABCODNM若A的角平分线AE交BC于E则OA与OE的比例是多少？AO的长度是多少？设ABC的三边长且过O点作MNBC，交AB于M，交AC于N过点O作ODAB于D，显然，OD为ABC内切圆的半径r如右图ABCODEFG证明：三角形的三条中线相交于一点证明：设AB中线为CD，AC中线为BF，且CD与BF相交于点O连接AO并延长交于BC于E现证明点E为BC的中点连接DF交AO于G显然DF为ABC的中位线 ABCODEFG接下来求AO与OE的比例关系显然：AG=GE且：GO：OE=DG：EC=1:2故：OE=2OGGE=3OGAO=AG+GO=4OG所以:AO:OE=4OG:2OG=2：1接下来求AE的长度A证明三角形的三条高相交于一点DFEOCB证明：ABC中，设AB边上的高CD与AC边上的高BF相交于点O，连接AO并延长交BC于E下面证明AEBC容易证明点B、C、F、D四点共圆（因为RTBCD与RTBCF有公共的斜边）所以:DFB=DCB（同弧上的圆周角相等）(1)另外:RTBODRTBAF又OBD是OBA与DBF公共角所以:OBADBF所以: DFB=OAB，由(1)有: OAB=DCB又OAB+AOD=90，AOD=COE所以: DCB+COE=90即证明了: AEBCABCODEFMNL求AO长度过点A作BC的平行线过点B作AC的平行线过点C作AB的平行线且其两两相交于M、N、L显然CDLM平行四边形ABCM与平行四边形ABLC所以LC=AB=CM所以CD为LM的中垂线同理AE为MN的中垂线BF为NL的中垂线 所以点O为MNL的外心且MNL的边长分别为ABC的两倍所以MNL外接圆的半
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