数学物理方法之二阶线性偏微分方程的分类.pdf

第十三章第十三章第十三章第十三章 二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程 的分类的分类的分类的分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念 分类方 法和偏微分方程的标准化 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念 分类方 法和偏微分方程的标准化 特别对于常系数的二阶线性偏 微分方程的化简方法也进行了详细讨论 这对后面的偏微 分方程求解是十分有用的 特别对于常系数的二阶线性偏 微分方程的化简方法也进行了详细讨论 这对后面的偏微 分方程求解是十分有用的 13 1 基本概念基本概念 1 偏微分方程偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程 如含有未知多元函数及其偏导数的方程 如 222 22 0 uuuuu F x yu xyxyx y 其中其中 u x y 是未知多元函数 而是未知多元函数 而 x y 是未知变量 是未知变量 uu xy 为为u的偏导数的偏导数 有时为了书有时为了书 写方便 通常记写方便 通常记 2 2 xyxx uuu uuu xyx 2 方程的阶方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方 程的 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方 程的阶阶 3 方程的次数方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微 分方程的 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微 分方程的次数次数 4 线性方程线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所 有偏导数的幂次数 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所 有偏导数的幂次数都是一次的 就称为线性方程 高于一次 以上的方程称为非线性方程 都是一次的 就称为线性方程 高于一次 以上的方程称为非线性方程 5 准线性方程准线性方程一个偏微分方程 如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的 则称方程为准线性方程 一个偏微分方程 如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的 则称方程为准线性方程 6 自由项自由项在偏微分方程中 不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项 在偏微分方程中 不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项 例例13 1 2 方程的通解和特解概念 二阶线性非齐次偏微分方程 方程的通解和特解概念 二阶线性非齐次偏微分方程2 xy uyx 的的通解通解为为 22 1 2 u x yxyx yF xG y 其中其中 F x G y是两个独立的任意函数 因为方程为是两个独立的任意函数 因为方程为 例例13 1 1 偏微分方程的分类 具体见课本 偏微分方程的分类 具体见课本P268 224 1 252sin 2 u x yxyx yxy 称为方程的称为方程的特解特解 n 阶常微分方程的通解含有阶常微分方程的通解含有n个任意常数 而个任意常数 而n阶偏微分方 程的通解含有 阶偏微分方 程的通解含有n个任意函数 二阶的 所以是两个任意的函数 若给函数 个任意函数 二阶的 所以是两个任意的函数 若给函数 F x G y指定为 特殊的 指定为 特殊的 4 25 2sinF xxG yy 则得到的解 则得到的解 在数学物理方程的建立过程中 我们主要讨论了三种类型的 偏微分方程 在数学物理方程的建立过程中 我们主要讨论了三种类型的 偏微分方程 波动方程 热传导方程 稳定场方程波动方程 热传导方程 稳定场方程 这三类方 程描写了不同物理现象及其过程 后面我们将会看到它们的解 也表现出各自不同的特点 我们在解析几何中知道对于二次实曲线 这三类方 程描写了不同物理现象及其过程 后面我们将会看到它们的解 也表现出各自不同的特点 我们在解析几何中知道对于二次实曲线 22 0axbxycydxeyf 其中其中 a b c d e f为常数 且设为常数 且设 2 4bac 13 2二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的分类 上述二次曲线分别为双 曲线 抛物线和椭圆 受此启发 下面我们来对二阶线性偏 微分方程进行分类 上述二次曲线分别为双 曲线 抛物线和椭圆 受此启发 下面我们来对二阶线性偏 微分方程进行分类 下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例 进行 理论分析 而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些 但讨 论的基本方法是一样的 两个自变量 为例 进行 理论分析 而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些 但讨 论的基本方法是一样的 两个自变量 x y 的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为 0 0 0 时 从方程时 从方程 13 2 3 可 以求得两个 可 以求得两个实函数解实函数解 12 x yCx yC 及 也就是说 偏微分方程也就是说 偏微分方程 13 2 1 有有两条实的特征线两条实的特征线 于是 令 于是 令 13 2 1双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程 作变换并代入原方程 原偏微分方程 作变换并代入原方程 原偏微分方程 13 2 1 变为 变为 此变换是可逆的此变换是可逆的 x yx y 2 0 uuu u 2 11 11 13 2 4 u DuEu FuG 或表示为 此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式 偏微分方程偏微分方程 13 2 4 变为 变为 11 11 22 22 13 2 5 uu DuEu FuG 22 22 uuuu u 或表示为或表示为 此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式 2 ttxx ua uf x t 波动方程即为双曲型偏微分方程波动方程即为双曲型偏微分方程 或者进一步作变换 22 或或 例例13 2 1 原偏微分方程为原偏微分方程为 板书讲解板书讲解 解 补充例题 学生自己先做 再演示答案补充例题 学生自己先做 再演示答案 22 22 22 yx0 xy uu 试将方程 化为标准方程 当判别式当判别式 2 40BAC 时 方程时 方程 13 2 3 一定有重根 一定有重根 d d2 yB xA 所以特征曲线是 所以特征曲线是一族实函数曲线一族实函数曲线 其 其特征方程的解特征方程的解为为 x yc 因此令因此令 x yy 作变换 则原方程变为作变换 则原方程变为 13 2 2抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程 13 2 6 此方程称为抛物型偏微分方程的标准形式 2 2222 2 u DuEuFuG 2 2 0 uuu u 热传导 扩散 方程就属于这种类型 热传导 扩散 方程就属于这种类型 ut a2uxx f x t 抛物型方程抛物型方程又可记为 例 又可记为 例13 2 2 原偏微分方程为原偏微分方程为 板书讲解板书讲解 当判别式当判别式 2 40BAC 时 如上讨论 得到 特征方程的解为 偏微分方程 时 如上讨论 得到 特征方程的解为 偏微分方程 13 2 1 的的两条特征线是一对共轭复函数族两条特征线是一对共轭复函数族 13 2 3椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程 12 i i x yx ycx yx yc x yx y 若令 作变换 则偏微分方程变为 上式称为 若令 作变换 则偏微分方程变为 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式椭圆型偏微分方程的标准形式 22 3333 22 uu DuEuFuG 13 2 7 椭圆型方程又可记为如下形式椭圆型方程又可记为如下形式 2 2 0 uuu u 2 2 u 222 222 0 UUU xyz 拉普拉斯拉普拉斯 Laplace 方程 泊松方程 泊松 Poisson 方程等 都属于这种类型 静电场的电势方程 方程等 都属于这种类型 静电场的电势方程 泊松泊松 Poisson 方程 例 方程 例13 2 3 原偏微分方程为原偏微分方程为 板书讲解板书讲解 13 3 二阶线性常系数偏微分方程的 进一步化简 二阶线性常系数偏微分方程的 进一步化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数 则标准形式的方程还 可以进一步化简 下面按三种类型分别介绍化简的方法 如果二阶偏微分方程的系数是常数 则标准形式的方程还 可以进一步化简 下面按三种类型分别介绍化简的方法 13 3 1双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简 2 1111 uuu def uG 111 d e f 1 G 11 ed ue v 注 上式中用小写字母代表常系数 以便与 我们不妨令 大写字母代表某函数区别开来 注 上式中用小写字母代表常系数 以便与 我们不妨令 大写字母代表某函数区别开来 例如 为了化简 从而有 例如 为了化简 从而有 2 11 hJ v v 10 4 2 其中其中 11 11 1111 ed hd efJGe 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程 含常系数 可以进 一步化简 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程 含常系数 可以进 一步化简 22 1111 22 uuuu def u G 10 4 3 式中式中 111 def 均为常系数 若令均为常系数 若令 11 ed ue v 则有则有 10 4 4 22 11 22 hJ vv v 10 4 5 其中其中 11 2 2 11111 111 2 ed hfededJGe 对于对于含常系数的抛物型偏微分标准方程含常系数的抛物型偏微分标准方程 含常系数 含常系数 2 2222 2 uuu def uG 还可以进一步化简 上式中小写字母还可以进一步化简 上式中小写字母 222 d ef均为常系数 为了化简 不妨令 均为常系数 为了化简 不妨令 22 ed ue v 从而有从而有 2 22 2 hJ v v 13 3 12抛物型抛物型 13 3 3椭圆型椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程 含常系数含常系数 22 3333 22 uuuu def uG 还可以进一步进行化简 上式中小写字母的还可以进一步进行化简 上式中小写字母的 333 d ef 为常系数 为常系数 为了化简 不妨令为了化简 不妨令 33 ed ue v 从而有从而有 2 33 hJ v v 其中其中 33 2 333333 ed hfedJGe 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以 写成下面的形式 含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以 写成下面的形式 L uG x y 其中其中L是二阶线性偏微分算符 是二阶线性偏微分算符 G是是x y的函数 线性偏微分算符有以下两个基本特征 的函数 线性偏微分算符有以下两个基本特征 1 1221122 L cucL u L cuc uc L uc L u 13 5 二阶线性偏微分方程的特征二阶线性偏微分方程的特征 其中其中 12 c c c 均为常数 进一步有如下结论 均为常数 进一步有如下结论 1 齐次的线性偏微分方程的解有以下特性 齐次的线性偏微分方程的解有以下特性 ucu 为方程的解时 则也为方程的解 为方程的解时 则也为方程的解 1 当 也是方程的解 当 也是方程的解 12 u u 1 122 cuc u 为方程的解 则为方程的解 则 2 若若 3 线性偏微分方程的叠加原理线性偏微分方程的叠加原理 4 线性偏微分方程的积分解线性偏微分方程的积分解 叠加原理是线性偏微分方程具有一个非常重要的特性叠加原理是线性偏微分方程具有一个非常重要的特性 k u 1 2 k L ufk 即若是方程 其中 即若是方程 其中 L 是二阶线性偏微分算符 的解是二阶线性偏微分算符 的解 如果级数如果级数 1 kk k uc u 收敛 且二阶偏导数存在 其中收敛 且二阶偏导数存在 其中 1 2 k c k 为任意常数 则为任意常数 则 1 kk k uc u 一定是方程一定是方程 1 kk k L uc f 的解 当然要假定这个方程右端的级数是收敛的 的解 当然要假定这个方程右端的级数是收敛的 3 非齐次的线性偏微分方程的解