大学生数学竞赛(微积分).pdf

2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 1 页 共 16 页 第三部分 积分 竞赛大纲 不定积分和定积分的计算 定积分的应用 面积 体积 和广义积分 一 不定积分 第一换元法 第二换元法 根式代换 n R xaxb dx 或者 n axb R xdx cxd 三角代换 被积函数中含有因子 代换方法 22 xa sec xa 或 csc xa 22 xa tan xa 或 cot xa 22 ax sin xa 或 cos xa 倒代换 一般地 当被积函数中分子和分母最高次相差大于 1 时候 可以考 虑用倒代换 1 x t 分部积分法 被积函数为两不同类型函数乘积 例例 1 cos 3sin 5 dx xx 08 年经管竞赛题 12 分 例例 2 cos sinsincos x dx xxx 04 年经管 文专竞赛题 15 分 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 2 页 共 16 页 例例 3 9 5 1 x dx x 07 年经管 文专竞赛题 12 分 例例 4 2 12 dx xxx 例例 5 3 2 2 ln 1 xxdx x 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 3 页 共 16 页 例例 6 2011 1 dx x x 例例 7 arcsin x x e dx e 有理函数积分理论 很多积分最后均能化为有理函数积分 三角函数积分 sin cos Rxx dx 利用万能代换 2 tan x u 则 222 2222 222 2sin cos2tan 2 sin sincos1tan1 xxx xxx u x u 222 2 222 2222 222 cossin1tan 1 cos sincos1tan1 xxx xxx u x u 积分化为 2 222 212 111 uu Rdu uuu 也即化为有理函数积分 例例 8 48 8 1 1 xx dx xx 06 年经管竞赛题 15 分 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 4 页 共 16 页 例例 9 11 84 32 x dx xx 例例 10 sin 1cos xx dx x 使用第一换元法与分部积分法时 往往需要用 试求导数法 例例 11 22 2 ln1 1 xx dx x 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 5 页 共 16 页 例例 12 sin 3cos4sin x dx xx 05 年经管 文专竞赛题 12 分 例例 13 1 x dx x x 09 年文专竞赛题 12 分 例例 14 2 ln 2ln 1 32 xx dx xx 06 年文专竞赛题 15 分 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 6 页 共 16 页 二 定积分 2 1 定积分的计算 2 1 1 基本算法 N L 公式 证明思路 换元法与分部积分法 1 计算不定积分的思路可以用到定积分的计算上来 2 N L公式是计算定积分的基本思路 定积分的计算在使用换元法或者分部 积分法以后最后绝大部分要回到 N L 公式上来 例例 1 设 fx 具有连续的二阶导数 证明 0 00 x fxffxtfxt dt 06 年文专竞赛题 20 分 例例 2 1 2 1 1 xxdx 2 1 2 1 1 xxdx 例例 3 1 0 t e dt 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 7 页 共 16 页 2 1 2 特殊类型积分 一个方法 一种积分区间 两种被积函数 不变限代换法不变限代换法 对于积分 b a f x dx 使用变换xtab 结论 结论 1 1 设 f x 在 a b 上连续 证明 bb aa f x dxf abx dx 例例 1 计算 1 2 0 2 Ixx dx 例例 2 计算 1 0 11 2 Ixxdx 例例 3 计算 4 0 1 sin2 1 sin2 x Idx x 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 8 页 共 16 页 结论 结论 2 2 若 f x 满足 f xf abxk 则 2 b a k ba f x dx 例例 4 计算 4 0 ln 1tan Ix dx 例例 5 计算 2 0 4 42 x Idx xx 例例 6 计算 2 0 1 1tan Idx x 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 9 页 共 16 页 结论 3结论 3 若 fx 满足 fxf abxg x 则 1 2 bb aa fx dxg x dx 若 以 g x 为被积函数的积分 b a g x dx 足够简单 则仍然可用不变限代换 例例 7 计算 2 4 2 4 sin cos xx Idx xx 例例 8 计算 2 4 4 cos 1 2 x x Idx 例例 9 若 f x 在 0 1 上连续 证明 00 sinsin 2 xfx dxfx dx 并据此计 算 2 0 sin 1 cos xx dx x 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 10 页 共 16 页 对称区间上积分对称区间上积分 对称性定理 实际上这种类型的积分有不变限代换的影子 遇到对称区间上积分或者用对称性定理 或者用不变限代换 0 xt 例例 1 求 p的值 使 2 2007 0 b xp a xpedx 07 年经管 文专竞赛题 12 分 例例 2 计算 1 1 1 1 12 x Idx 分段函数积分 分段函数积分 例例 1 计算 1 1 1 2d xx 05 年文专竞赛题 12 分 例例 2 计算 4 0 min 4 d x Itt 05 年经管竞赛题 12 分 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 11 页 共 16 页 例例 3 设 2 0 1 10 1cos x xe x f x x x 计算 4 1 2 If xdx 例例 4 计算 2 2 2 max Ix xdx 例例 5 计算 1 0 It tx dt 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 12 页 共 16 页 周期函数积分周期函数积分 若 f x 是以 T 为周期的周期函数 则 0 a TT a f x dxfx dx 例例 1 计算 2 sin 2tan1 a a xxdx 变限积分函数的积分变限积分函数的积分 往往利用分部积分法 例例 1 设 3 1 sin x G xtt dt 计算 1 0 IG x dx 03 年经管竞赛题 15 分 例例 2 设 2 0 a x ya y f xedy 计算 0 a If x dx 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 13 页 共 16 页 2 2 定积分的应用 由连续曲线 yfx 直线 xa xb 以及X轴围成的平面图形绕X轴旋转一 周以后得到旋转体的体积计算公式为 2 b x a Vfx dx 结合图形记忆公式 由连续曲线 yfx 直线 xa xb 以及X轴围成的平面图形绕Y轴旋转一 周以后得到旋转体的体积计算公式为 2 b y a Vxfx dx 结合图形记忆公式 yfx 与 yc yd 以及 Y 轴围成的平面图形绕 Y 或者 X 轴 轴一周以 后得到的旋转体体积 例例 1 求曲线 sin 2 yxx x 与X 轴围成的平面图形绕Y 轴旋转所得的旋转 体体积 08 年经管 文专竞赛题 12 分 例例 2 求由 1 0 ln yyx yx e 围成的平面图形 D 的面积 并求 D 绕 X 轴旋 转一周所得的旋转体体积 06 年经管 文专竞赛题 15 20 分 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 14 页 共 16 页 例例 3 过原点作曲线 1 yx 的切线 求由该切线 曲线 1 yx 以及 X 轴围 成的平面图形面积 并计算该平面图形绕 X 轴 Y 轴 旋转一周以后得到的旋转体 体积 例例 4 设 fx 在 0 1 上连续 0 1 内大于零 并满足 2 3 2 a xfxfxx a为 常数 又曲线 yfx 与 1 x 0 y 所围成的图形 S 的面积等于 2 求函数 yfx 并问a为何值时 图形 S 绕 X 轴旋转一周以后得到的旋转体体积最 小 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 15 页 共 16 页 2 3 定积分中的等式或不等式证明 例例 1 设函数 fx 为连续函数 求证 000 xxt f txt dtf u du dt 例例 2 设函数 fx 在 0 1 上可微 且 1 2 0 12 fxfx dx 证明 0 1 使得 0 ff 例例 3 设 fx 在 0 1 上连续 且 0 fx 证明 0 1 使 1 ffx dx 2011 年数学竞赛辅导 part 3 一元函数积分学 宁波大学数学系 解烈军 第 16 页 共