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第一节导数的概念 一 实例 三 可导与连续的关系 二 导数的定义及导数的几何意义 第二章一元函数微分学 1 变速直线运动的瞬时速度 一 实例 设一质点沿直线做变速直线运动 其运动规律为 求时刻的瞬时速度 平均速度 瞬时速度 2 细胞的增殖速度 设增殖细胞在某一时刻的总数为 显然是时间的函数 求细胞在时刻的瞬时增长率 从变化到这段时间内 细胞的平均增长率为 瞬时增长率 定义2 1 二 导数的定义及导数的几何意义 即 注意若极限不存在 就称函数在点处不可导 由导数定义 变速直线运动的质点在时刻的瞬时速度为 细胞在时刻的瞬时增殖速度为 若不可导 且极限为无穷大 为方便起见 记为 也 称函数在点处的导数为无穷大 单侧导数 左导数 右导数 注意函数在一点可导的充分必要条件为 1 导函数 很明显 如果 在开区间 内可导 且 及 2 都存在 就说 在闭区间 上可导 解 解 例2 3据1985年人口调查 我国有10 15亿人口 人口平均年增长率为1 489 根据马尔萨斯 Malthus 人口理论 我国人口增长模型为 其中 代表年数 并定义1985年为这个模型的起始年 按照此模型可以预测我国在2005年人口将有13 6710亿 求我国人口增长率函数 怎样控制人口增长速度 解 所以人口增长率函数为 让人口年增长率0 01489变小 人口的增长速度就变小 故可控制人口的增长 导数的几何意义 切线 割线的极限 割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT 直线MT就称为曲线在点M处的切线 切线方程为 法线方程为 所以导数的几何意义为 例2 5 法线方程为 根据导数的几何意义 得切线斜率为 解由例2 1有 可导的函数一定是连续的 证明 三 可导与连续的关系 由极限与无穷小的关系 即 其中 比如 解 反之不成立 即连续不一定可导 1 导数的定义与实质 瞬时变化率 3 导数的几
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