（应用数学专业论文）热传导方程neumann边界值问题的紧差分格式.pdf

摘要 w y l i a o 和j p z h u j c o m p m a t h 2 0 0 5 用p a d e 逼近方法对下列热 传导方程n e u m a n n 边界值问题 鬻 韶 埘 z t r 筹 o f m 石o w 1 獬d z 正 扣 0 w 0 z 0 z 1 建立了一个具有高阶逼近精度的差分格式 但未见相关的理论分析 本文 证明了这一格式是无条件稳定且是收敛的 其收敛阶为 r 2 h 35 此外对 此方法进行了改进 降低了边界处离散产生的误差 建立了一个精度更高 的差分格式 证明了其无条件稳定性和收敛性 收敛阶为o r 2 h 4 数值 计算的结果验证了理论结果 本文第二部分利用k e l l e rb o x 格式及降阶法技术 对一维热传导方程的 n e u m a n n 边界值问题进行了研究 建立了一个高阶差分格式 同时分析了该 差分格式解的存在唯一性 收敛性和稳定性 并用数值算例对理论结果进 行了验证 关键词t 热传导方程 n e u m a n n 边界值 b o x 格式 降阶法 存在性 唯一 性 收敛性 稳定性 a b s t r a c t w y l i a oa n dj p z h u j c o m p m a t h 2 0 0 5 d e r i v e s8 h i g ho r d e rd i f f e r e n c e s c h e m ef o rt h ef o l l o w i n go n e d i m e n s i o n a lh e a te q u a t i o n 警 窘 螂 t z 警m 啉筹 1 忙蹴o t s t 埘扛 0 钟o z 0 z 1 b u tt h e r ei 8n ot h e o r e t i c a la n a l y s i s i nt h i sp a p e r w ep r o v et h a tt h es c h e m ei su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e a n di sc o n v e r g e n tw i t ht h ec o n v e r g e n c eo r d e ro fo 丁2 5 m o r e o v e r w ei m p r o v et h es c h e m ea n dd e r i v eam o r ea c c u r a t ed i t i e r e i c es c h e m eb yr e d u c i n gt h e e r r o rp r o d u c e db yd i s e r e t i z a t i o na tt h eb o u n d a r i e s w ea l s op r o v et h a ti t i sa b s o l u t e l y s t a b l ea n dc o n v e r g e n tw i t ht h ec o n v e r g e n c eo r d e ro f0 2 h 4 n u m e r i c a le x a m p l e s t e s t i f yt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s i nt h es e c o n dp a r t w es t u d yt h eo n e d i m e n s i o n a lh e a te q u a t i o nw i t hn e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o n sb yt h em e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e ra n dk e l l e rb o xs c h e m e b y i n t r o d u c i n g8 n e wv a r i a b l e 口 k w ee l i m i n a t et h ee r r o rp r o d u c e db yt h ed i s c r e t i z a t i o n f o rt h ed e r i v a t i v eo nb o u n d a r i e s d e r i v eaf o u r t h o r d e rd i r e n c es c h e m e a n da n a l y z e e x i s t e n c e u n i q u e n e s s c o n v e r g e n c ea n ds t a b i h t yo fd i f f e r e n c es o l u t i o n an u m e r i c a l e x a m p l ed e m o n s t r a t e st h et h e o r e t i c qr e s u l t s k e y w o r d s h e a te q u a t i o n n e u m a n nb o u n d a r yv a l u e b o x s c h e m e m e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e r m i x e df i n i t ev o l u m e e x i s t e n c e u n i q u e n e 懿 c o n v e r g e n c e u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标明和致谢的地方外 论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材辩 与我一两工作的同志对本研究所做的任俺贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意 二 关于学位论文使用授权的说明 东南大学 卒国科学技术信息研究所 国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 本人电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致 除在保密期内的保密论文外 允许论文 被查阅和借阅 可以公布 包括刊登 论文的全部或部分内容 论文的公布 包括刊 登 授权东南大学研究生院办理 签名 融导师签名 第一章绪论 热传导主要研究固体内部的热量传输 分析固体表面与环境进行热交换时其 内部的温度变化规律 对热传导的研究在工业生产和国民经济中有着直接的联系 例如食品的冷冻过程 金属材料在铸造 焊接 锻压 等热加工过程中内部温度分 布 材料结构热应力计算 各种工程热物理性能的试验测定 以及各种接触式温度 传感器数学模型的分析等问题的解决 都紧密依靠导热理论的指导 同时它也是 深入学习和研究各种传热现象乃至工程热物理学科必不可少的工具 因此 对热 传导方程的研究有着非常重要的实际意义 毗 f z t 是形式最为简单的热传导方程 指出了存在物体内的各种导 热现象必须遵循的客观规律 同时为了唯一的确定温度场 需要对热传导方程添 加各种边界条件 其中n e u m a n n 边值条件是一类常见的边界条件 很多学者都在此 领域进行了深入的 广泛的研究 1 9 7 1 年 k e l l e r h b 在f 6 中提出了b o x 格式 即对守恒方程的混合有限体积 格式 从那以后b o x 格式在科学界数值计算领域引起了极大的关注 诸多学者在研 究学习的基础上对b o x 格式进行发展和推广 提出了若干基于b o x 格式的偏微分方 程差分格式 涉及到空气动力学 热传导理论等诸多科学领域 k e l l e r h b 在 6 中对如下一维抛物方程混合初边值条件问题 t n z c 扛 s 丁 t t t 0 9 z 0 z s l a o u o m a 0 u o t 9 0 t 风t 1 t 历n 1 1 t 9 1 t 0 z 1 0 t t 0 s t s t 0 曼t e 引入新变量 z t n z u 使得边界条件不显含导数 然后对改写后的新问题 钆 8 例瓦2 妻 塑一c u 8 0 州 t 丽一 q 让 z o 口 z a o u o t c 1 l v o t g o t 0 s t r 岛u 1 t 1 3 1 v 1 t 9 1 0 s 正 建立b o x 格式 n 一 d 一 t 盘 1s l s m 1 k s k d v 一5 d 弘0 一q 一 j s t k 一 3 1s s m l 七 耳 o 咄砖2 啦鲁 t 弘 n o 砧 d 1 1 舌 g o 1 七s 圮 j d 历 夕f 1 女 k 2 这样建立的格式使得边界离散不产生误差 并且可以证明是二阶收敛的 但其代 价却是计算量的显著增加和理论证明的复杂化 并且不适用于拟线性方程 为克服这些缺点 文 1 2 中孙志忠教授提出了用降阶法来处理导数边界条件 对导数边界条件的抛物方程定解问题 r 州 窑 磊0 t 抛 u b z t 筹 c 州 t o z l o t s e u x 0 j p z 0 sz 1 l o 若 o t 一口l u o 妒l t a l o 筹 1 t 口2 u 1 t 1 加o 0 s t s t 建立了具有二阶精度的差分格式 学伽鸳一如智 k 严5 h i h 1 嗣一智u 鸳 督 疋 k 5 一 嗣 1 智 气k 5 l 川 删 耽 譬 o 蛳0 帆 0 l 尬 诸 计 f 谚 0 k 降阶法不仅成功的改进了b o x 格式 克服了其缺点 而且可以进一步讨论其他各类 混合边界条件问题和内部间断问题 具有很好的效果 参考文献 8 中 w e n y u a nl i a o 对带有n e u m a n n 混合边界条件的对流扩散方程 的问题 t f 建立了紧差分格式 壶一 磋一警 笔 刁嵋 1 l 去一驯婶 譬 t 玲州肼舭c 胁孔 m 此格式具有o 一 h 4 阶精度 但未见相关的理论分析 本文第二章将完成其完整 的理论分析并构造一个具有更高精度的差分格式 文献 3 中 j e a n p i e r r ec r o i s i l l e 等对一维对流扩散方程 一 t 的类似 k e l l e rb o x 的格式进行了数值分析 c o u r b e t 在 2 中提出了k e l l e r 格式对于稳态对 流扩散方程的扩展问题 虽然有限差分意义下k e l l o r 格式只是一阶精度 但可以扩 3 展到许多更复杂的情况 j e a n p i e r r ec r i s i l l e 通过在吩一 上用e u l e r m a c l a u d n 积分 公式来近似 r i p i j 一 建立了一个四阶的b o x 格式 c h 一 一 幻一聊一 2 一 n j 一 i 1 一壶竽 啪 右c 嘶一t 积 毗拶 u l u n 0 文献 4 中 j e a n p i e r r ec r o i s i l l e 对如下一维常系数对流扩散问题 饥 一e t 扛 t 口 z 0 t 钿 z 4 0 t 0 u 1 t 0 设计了一个b o x 格式 该格式可以写成如下三点隐式紧差分格式 其中各项系数为 o z j n t l n o r 1 一l u j n 一 l b j n 1 b o u t 6 一l n 1 一 一叻 云1 地棚 嘶 h 一岛 g 1 仇一砸一秽 m 一吼 a o 1 2 1 9 p 2 d p d 秽a 6 0 互1 2 0 一毋m 2 d 仉 1 一一 a 一 五1 d p 一仉棚 嘶 一d p 五1 一仉州t 卅 圳 卅 同时证明该格式v o nn e u m a r m 稳定 分析了差分格式的耗散和离散度 给出了耗散 系数的表达式 作者强调了格式的构造和在线性方程中的应用 同时指出此b o x 格 式和很多数值方法都有着紧密的联系 特别是高阶有限差分紧格式 混合有限元 方法和s u p g 方法 1 j 本文第三章我们用孙志忠教授的降阶法进行处理 构造一个四阶的 并且无条 件稳定的高阶差分格式 同时分析差分格式解的存在唯一性 稳定性和收敛性 最 后用数值例子来验证我们的理论结果 本文的内容安排如下 第二章发展w e n l i a oy u a n 在 8 中用p a d e 逼近建立的差 分格式 对该格式作进一步的理论分析 并提高其整体精度 用数值例子验证理论 4 结果 第三章我们利用孙志忠教授的降阶法思想对热传导方程n e u m a n n 边界问题 建立一个高阶差分格式 用能量分析方法得到差分格式解得先验估计式 对其进 行理论分析 分析差分解的存在唯一性 无条件稳定性和收敛性 并用数值例子来 验证我们的理论结果 第二章热传导方程n e u m a n n 边界值问题紧差分格式的收敛 性和稳定性 带有n e u m a n n 边界值的热传导方程问题足物理学中的一个基本模型 在实际 生产和科研中有着广泛的应用 l i a o 和z h u 8 对区域d f 0 1 x1 0 卅中的如下半线性热传导方程的n e u m a n n 边界值问题 警 髻 f w x t o s z 0 时 由 1 4 1 6 1 7 可以 求得 叼l 一1 l m 1 若 嵋l 一1 i m 1 的值已知 则由 1 4 1 6 1 7 三式联立 用高斯消去法可求出 婶 1l 一1s sm 1 的值 在 不依赖于 时 式 1 4 可以写为 丧 剖 1 0 6 1 t 矿5 民谢 程酊 5 bp 譬 t tsm 1 8 其中 b 口 素 墨l 1 0 f f n 5 6 由泰勒展开易得 口 j 1 t o c a t 2 1 9 由此 1 8 可以写为 壶0 呓5 1 况w y 5 盈 譬 霹 r 5 b m 1 1 0 对于引入的假想点 t 和w 勋 1 8 8 中未作说明 在算子醒的作用下 1 4 式右端第二项在f 0 和 m 时需要用到 厶 t 在假想点 一 t 和 1 h t 处的值 由于 仅在d 中有定义 故从理论上来讲在这些假想点处的值是无法直 接获得的 8 中作者称建立的格式是四阶收敛的 但未给出差分格式的理论分析 如收 敛性和稳定性证明 而从我们的理论分析结果来看 此方法只能得到空间方向上 的3 5 阶精度 本章内容安排如下 第二节中我们就 t 不依赖于 即 o z t z t 的情况对区域做延 拓 第三节对格式的截断误差进行分析 第四节对 8 中提出的差分格式进行理论 分析 证明差分解的存在性 唯一性 收敛性和无条件稳定性 第五节设法降低边 界上离散产生的误差 从而提高差分格式的整体精度 第六节用数值算例来验证 理论分析结果 2 2 解的延拓 我们考虑如下 不依赖于 即 f x t 的情况下的热传导方程 t 魄 恤 t 0 z s l 0 s s t w x o t n t w z 1 t 口o 0 s t l z 0 垂 0 z 1 对 8 1 中提出的差分格式进行理论分析和证明 设 嵋10 s i s m 0 t l n 为j j 上的网格函数 引进如下的记号 一 嵋 饧 瓦咯 咄 一 彳 磊t 矿 矿1 一嵋 矿5 嵋 1 w 彳 磋 以 聋l 一如t 啦 t 露 矿1 一婶一1 2 1 2 2 2 3 l 伽 i 胁 h 8 严i o m a xf 口 0 t 吖 雁蕊f 习 7 1 专案霎船 2 3 的解足够光滑 我们把区域 邓 l j f o 卅延拓至d 卜 j o 州 一 l j 1j 艇用王u2 假设 矗t e c 8 3 0 i i f o 司 易知 箬 引 一雾 删叫硼 篇 圳一第 删 歉味 熬 牡豁 黟 玑 姚6 当2 1 一时 当 卜 o 对 令 则有 瓮阶黪 o i 忙孙 客 1 铲器 1 壮跏玑 氖 墨挈 瓤 委署象n 嘎 由上述两式可得 妻鲁嘉 0 o 一 盘以阮 一 v 7 咿7 她 堂纠 一矿 一 p蛳 扣 塑概 咛 堂副 即 p 塑良 秒万 些订 吣 枷篆 卜堂副 叫兰 缸 抄两卜蚴 芝n朋 象 知 j聃 j j 伊历 心 吨爨徊 叫 懈 鲁孙m 加瞄铷 塑挑 宁 枷 8 m 忙妻署孙味m t 2 善署等 o t 同理 当z 1 1 明时 令 弛 归塞著孰t 易知上两式的截断误差为o h 4 假设在区间 h 0 j 内对v z 卜h 0 j 均成立 w x 霎篙 b t o c 2 4 篙 2 4 把 2 4 两边同时对 求一阶导数可得 缸归耋署裟她嘎 s 把 2 4 两边同时对z 求二阶导数可得 皋 薹署警 o 札 2 e 为使 2 1 式在延拓区问卜h o l 内依然成立 即对妇 f h 0 1 v t i o 刁均满足 豢 卅 象 州 m t 函数 z t 需要在区间 一 i l 0 l 内满足 弘 f i 等 一器 碱 2 刀 把 2 5 2 6 代入 2 7 我们得到f 需要满足的条件为 m t 加i f 叫 窘 州 薹署 裟 褊 偿s 由 2 1 可知 等 0 p 雾 o 归f o 一 簇 0 1 筹 跏 篡 o f 丽i 9 t l u 4 0 归象 o t 貉 o 垆丽t c 2 t 叫 髻 o 玑 9 将上述诸式带入 2 8 司得 弛1 t 量著等 o 咄 2 9 弛 t 吾貉 o t 2 9 l 0 由 2 9 很容易看出 延拓的区间 一 0 内t a y l o r 公式对于函数 五t 依然成立 特别的 当z 一h 时我们有 f h t f h 量掣嘉 0 味 2 1 0 孚嚣 o t 2 1 0 一 同理 在延拓的区间 1 1 嘲内做同样的推理 当r 1 h 时可得 1 地归妻等翥 1 味 2 1 1 1 i l t 鲁貉 1 t 2 1 0 一 至此 函数f x 在假想点处的值就可以用 及其各阶导数在原区域d 内点的值 来任意逼近了 在本章的数值算例中我们把 毛t 取到4 阶精度 此时 和 只要满足如下条 件即可 t z t c 6 3 o 1 0 邪 z t c 堂 o 1 2 3 截断误差的推导 令w 表示问题 2 1 一 2 3 的真实解在慨 k 处的值 口 由 2 1 可得 z t t 啦 z t 一 z t 即w i k 令 3 1 由t a y l o r 展开可得 击扣 z 件1 t 10 t t z i l t 萨1 眇 司 l 一2 毛 t 埘 z i 1 t 1 o h 4 0 f m 把 3 1 代入可得 西1 z t l t 1 帆 t 慨 t 虮 1 t l 萨1 z i l t 一2 t u 以 t h x l t 壶 甄 l t l o f 以 t f x i l t o h 4 即 去陋雌l l o d t w n a t w 嚣 l 2 n 十d f n o r 2 4 0 一i 一 0 使得 象 蜀t i 0 故 l l o h t ls 面1g 一 对于丽0 3 t j 我们估计如下 由 2 1 可得 丽0 2 w 州 筹 州 州 3 5 3 6 嘉 州 患k 旷胁札 所以 象 0 归袅 0 旷瓦o f 0 味 再结合边界条件 2 2 前一式可得 窘 忙和一跏味 把 3 7 代入 3 5 可得 丛旦 专掣 n t 百h 2 h 一厶 丁 纠 也札 即 w 厂w 2 1 n n 百h 2 a 一 副 h i n 0 s l s m 时 可类似的得到 垫皆 矿 譬防一 矧 l m 几 f s 其中 圳 筹瞄 1 l s 4 豢c s 幽 仁 1 s 4 器c s 叫 与 3 6 类似司得存在c 0 使得i l m h is 去e 胪 故l o h 和l m h t 郡是鬲 阶小量项 由 3 2 3 8 3 9 忽略高阶小量项 我们便建立了如差分格式 壶巩喀l 西1 0 磊 f 磊以 嚣1 磋1 口 口刀 o f s m o n 气乎 a n 百h 2 肾 栅 型b 皆 矿 百h 2 露一 孙 p p 2 4 解的存在性 唯一性 收敛性和稳定性分析 1 2 由 3 1 1 和 3 1 2 可以很容易的分别求得 1 1 和 j f 1 的表达式 分别带入i 0 和i m 时的 3 1 0 便可以消掉假想点 整理后便得到如下不含假想点的且与 3 1 0 3 1 3 等价的差分格式 瓦1 0 以 矿5 蚤瓦 r 三h 2 彳 一 5 g n 十5 4 1 去 群 笔以 y 去 删搿 磋t 譬 b f t 1 2 m l 4 2 老 u 如 西1 0 以t 苗5 一吾 芽5 一 穗 g r m t 5 4 3 圣 t 1 2 m 4 4 其中 g 一雨1 2 6 t n 警 m 一 厶 5 口嚣 4 s g 罟一磊 p 譬 叱 苗5 b 嚣5 定理2 1差分格式 j 一 是唯一可解的 证明令 n u 瑶 r t 嘞 7 a 吾 则差分格式 4 1 一 4 3 可以写为如下矩阵形 式 a t l 严 l b w r f 4 7 其中 a b g a 一a 击一 a a 矗一 a 砭i 一 ag 去一 a 一a2 a 3 一a a 击 3 一 击 a 击 ag a 击 a ag a p 簖 b 疗 b 芷 b 臆 四5 g 和g 苫 中函数 在假想点 z 一1 t z j i f l t 处的值可以分别由前面推导 的 2 1 0 和 2 1 1 式求得 由于a 严格大于0 易知无论a 如何取值矩阵a 都是严格对角占优的 故关于 未知变量矿 1 的方程组 4 7 有唯一解 由初始条件我们可以唯一确定 声 由 j o 可以唯一的求解 1 依次类推 当7 1 已知的时候 我们便可以用 4 7 式来唯一求 解出w n i 1 这样便可以唯一求解出各个时间层上的数值解 定理证毕 引理2 2 对差分格式似 j 一 别 我们有如下估计式成立 脚 增3 喜陋5 2 g 嘲坷3 扣 却2 证明将 4 1 两边同乘以 肺t 瑶 将 4 2 两边同乘以h 6 t t 4 3 两边同乘 以 地 譬 并将结果根加可得 h 最 2 脚卜三1 2 五 疋 p 协 m k l o t w m5 老 詈 剖堋 讲 w q 咖净毋 山麓以 譬5 詈 群 硝5 g n 也舻 爵 尻前5 詈 口矿 磊矿5 t 8 下而袭们分别对寿端和右端各项拂行估计 壶 m 蚤 ig 讲 t 慨婶 5 搿 磊e 5 去h 磙 5 最 r 5 盈武兰区 芽5 1 5 m 1 以矿5 2 一1 一m 民爿 巩 r 5 l 西 石 m 备 1 1 j 一 2 4 1 一 2 4 篆 祥5 谢 祥 2 一去萎 蜉 一 2 薹 魂剖 2 讣轰m 萎 1 q 搿 2 篆 畦 2 碱5 2 2m 孙 1 科3 2 一去薹k 趔 2 5 2 一面1 m 刍 i i 4 2 以讲 2 亏丸m 备 i 峥 y 5 2 一丧是 慨簖 2 6 t 嚣 2 4 9 由离散分部积分公式我们可以得到 n m 薹 i 嵋 5 s t 霹 i 疋哆6 蠢嵋 一 恐 跏i t 一 等 如 嘣 一 文嵋 墨 以训譬 如 碱w o 一 稿 磊诺5 一刍n 篆 b 嘣 2 一 2 一 1 1 6 州肛i i j g l 2 4 1 0 由柯西 i i 瓦兹不等式可得 魂 簖5 盈 s n 蠢 岛 5 2 素 爵5 2 吾1 譬5 2 访q 2 t m 警 b r 民矿 窆i 1 b 2 警 5 2 c t m 把估计式 4 9 4 1 2 代入 4 8 简单的化简后我们得到如下估计 砉 愉矿 i i 刈如矿1 1 2 杀 蠢一 盯5 2 呀静等 矿 2 搿5 2 簖5 2 m 州酽 即 如t 矿 1 酽一i i 如埘 旷 h g 2 1 1 4 4 2 荨i i 口 胪 由上式递推可得 l 旷1 1 1 2 剑珊增3 是耋陋 2 g 譬5 2 k 3 争 轧2 即 i 矿 l i 妒肛矿3h 嘉 5 2 靠5 2 3 乏n 归广知2 定理证毕 1 5 定理2 3 设扣 瓤 k 10 i m 0 ns 为俾 j 俾 印的解 叼l0 曼 l m 0 s n s k 为差分格式 j 彩的解 记 e w 一1 嘶 0 s t s m u s 竹s 儿 则有 l e n 1 l l a 户 h 35 其中 厚 证明 考虑i 0 时的情况 此对 3 3 3 4 分别为 i 1 2 6 w n 笔巩瞄 1 击盈时 5 鲤瞄 5 b 石 5 d 户 4 4 1 3 县露 5 去仁 5 l o 嚣 5 疗 5 4 1 1 4 由 3 8 可得 tw i 1w n l 等p 一 脯 1 l 1 lt 1 删 3 8 和 4 1 5 相加并将结果除以2 利用 3 6 可得 旦掣 口n 等 n 一 厶 5 4 4 1 6 4 1 5 和 3 8 相减 并将结果除以7 r 可得 1 牮一 w 二n2 产l wn 竺 二 二 一h22h6 竖一生生羔挚 r 下 r l 下下 1 l o h j n 1 l o h t r 注意到右端最后一项为 墨 堕 l 墨 堕丝 4 1 7 丽h 4 五t l 扩 业掣望型 盐些掣卜 1 6 对窘 z 1 应用t a y l r 展开可得 雾 咖 等 圳 r 淼 喇 d 一 即 蠹 1 一丽0 5 t 0 患 o n 4 1 8 当 力足够光滑时 类似于 3 6 我们可碍鱼堕盘丛 划l g 是 o h 5 量级 的 故 4 1 7 可写为 曼 掣 最 n 一 百h 2r f 一 厶 5 舻 4 1 9 由 4 1 6 可得 磋略砖 雨1 吖 一2 瞄 旷 o 嘉 2 时 一瞄 一 时 一旷 1 鑫 时 一瞄 一和 i 等 叱矿5 4 z 将 4 1 9 4 2 0 代入 4 1 3 可得 兰磊瞄 5 三1 2 磊嵋 缸町 簖 d r s 4 2 1 在边界注m 处对 2 1 进行离散 我们可类似的得到如下结果 壶魂堪 芝以 5 击和蕊 鹾诺 b t m n o 酽 4 2 2 一 1 t l l z n 1 刊w u n 5 一 2 舰 警l j i 帕叱 譬5 啪 4 2 3 由 3 9 可得 磋噔5 壶 嘣一z 嘭5 嘣 一万1 2 嘭5 一 1 一 蝶 一嘣 1 一磊 嘭5 一嘣 p 5 等 m 譬5 妒 4 r 2 4 将 4 2 3 4 2 4 代入 4 2 2 化简可得 磊 嘣 1 0 2 5 w t 一吾 嘭 一皑 簖 0 0 4 2 5 1 7 将 4 2 1 3 3 4 2 5 分别和 4 1 一 4 3 相减 可得到如下误差方程t 兰以 蚤魂e 2 一融 内n a 2 6 壶磊e 身 笔6 t g 3 去彘r 磐 p n 孝 t 1 2 m l 4 2 7 主犯穗 i 1 0 2 t e 等5 一面2 e 譬 一r 如 p 譬 4 2 8 留 0 i o 1 2 肛 4 2 9 其中存在常数c 使得 i p o i c r 2 3 i z isc 7 2 4 i p m 1 isc 2 h 3 对 4 2 6 一 4 2 8 应用定理2 2 易得 l 扩1 瞪sl e 0 曙 警 叠 舻 2 击 2 了3 7 n 吾n m 备 1 t n k 2 应用 4 2 9 可得 警 砉附 2 2 卜3n 篆nm 薹 i c 净 珊蕊 3 2 姑5 2 t h 麟m 备 1 魄k 2 矿3 躐弦k5 1 2 5 2 h t 垮一m a x 嘞 矿 2 当h 1 时 对上式应用 4 3 0 可得 l e n l l s c 2 t h r 2 护 2 c 2 t p 2 4 2 曼c2t 一九 h3 5 2 c2t r2 h4 4 2 4 s三c2t 72 35 2 3c2t 1 2 4 4 舻 2 3 c 2 t r 2 1 1 3 5 2 2 即 其中 事定理证毕 i e n l h 烈r 2 h 35 定理2 4 差分格式 j 秒在下述意义下对右端函数是无条件稳定的 设 嵋 为 1 8 i 1 0 2 5 t 右 2 i l w 万2 r 一 暗 露 4 3 1 丧 越野 西1 0 w x 一 5 壶最 学 鹾霹 5 嚣 l i 1 2 m 1 4 3 2 鲁况 穗 i 1 2 0 6 等5 一若 才5 一 如 9 孑5 4 3 3 w f o 圣t 0 s i m 4 3 4 的解 则有 i o i i 1 w l i 百3 r 毫 q 2 9 譬5 2 i 3 r 耋陋 钏2 证明直接应用引理2 2 可得 2 5 格式的改进 本节中 我们将进一步减小边界处的离散误差 使整体精度达到0 0 2 h 4 对区域d 作和第二节中相同的延拓 假想点处 的值也用相同的方法计算 用带积分余项的泰勒展开考虑边界z 0 处的离散 类似于 3 5 容易得到 血学 孰 等等 o 羔雾 o 卅研一 5 其中 枷 蕊h 6 小叫雾 一十等c 圳 卜 易知在解充分光滑的情况下右端最后一项是o h 6 量级的 上一节我们在求 扛 t 的近似的时候只精确到貉 o t 故导致等式右端误差阶为o h 4 但若我 们设法求出边界处的智 o t 则等式右端误差可以减小到o h 6 这就是我们提 高格式精度的入手点所在 式 3 7 中我们已经求得学 o t 的表达式为 等 0 归删一跏嘎 5 r 2 把 2 1 两边求关于z 的三阶导数并在z 0 处取值 我们可得 急 0 t 器 o t 嘉 o 渤 1 9 将 5 2 代入上式可得 雾 0 t 意 叭 髻 叩 卜卜筹 卜堕o x 3 0 f t q 一如0 2 矾f r t 一丽o s f 5 3 将 5 2 和 5 3 代入 5 1 可得 亟壕幽叫 孙 吲o f 叫 羔卜 一纛杈旷瓢t 志l a 酬训 钟 吲o f 叫 篙 一翥 旷洳t 则有 丛坠尘 幽 do t f o h t 2h 即 婴二坠 d o t 晶 t 5 4 2h u 显然 堕 二丝 d o 饥 磊 5 5 2h u 把 5 4 和 5 5 相加 并将结果除以2 类似于 3 6 f 得目 是 量级的 故 坚 二型 n o 护 5 6 2h u 把 5 5 和 5 4 相减 并将结果除以r 类似于 4 1 9 我们可得 墨堕 二垒丝兰 也d n 胪 5 7 2h u 类似于 4 2 0 式 我们得到 磋瞄 5 吉 嵋 一z 瞄 5 w n 5 壶 2 睁 一时5 h 旷5 一矿荆 吾 w t i w 2 一元2 n 5 o h 5 5 8 笔民昭 5 吾也时 吾 踞 一瞄 幻 g o 2 s 其中 一丽1 2 玎5 b 在z 1 处同理可得 鲁以彬融 1 1 2 0 d w n 5 一吾 嘭 一i 喵叠 茄 o r 2 s 监岽鳖 o 苴中 0 7 j 5 6 h 胪1 2 一民 孑5 b 搿5 酬刊 私旷跏 h 4 一篇 铲知t t q 点t 1 2 m 一1 处们然用 3 3 采呙敬 由 3 2 5 4 5 1 1 忽略高阶小量项 我们建立了如差分格式s 去民t 啦 芝氏嵋 壶函略 髭2 n 口口 o m o s n 笔竽 d o 堕学鱼 酬 2 0 5 9 5 1 0 5 1 1 由 5 9 3 3 5 1 0 忽略高阶小量项 建立如下与上述格式等价的差分格式 笔 前 5 三民 n 5 吾 访 一皤 5 甜5 5 1 2 去盈越譬 警以罅 5 去以谅謦 鹾碍 5 b e i 1 2 m 一1 5 1 3 瓦2 w eu n m 一5 i 1 2 0 6 删劳5 一鑫 嚣5 一 如 g n 村 5 5 1 4 奶0 电 i 1 2 m 5 1 5 1 定理2 5 轰分裕式 5 1 2 一 5 1 5 是唯一可解的 证明与定理2 1 的证明过程类似可得 2 1 通过上述等价差分格式的建立过程我们可以看出 5 1 2 一 5 1 5 和 4 1 一 4 4 在 形式上是完全相同的 只有右端项的表达式不同 故对 5 1 2 一 5 1 5 前面的引理 2 2 依然成立 即 引理2 0对差分格式f 5 j 剀一侈 j 纠 我们有如下估计式成立 l e x 1 2 娴i 印3 喜附 2 谨5 2 卜鲁扣产蛔2 证明与引理2 2 的证明过程类似可得 定理2 7设 慨 10 ism 0sn k 为偿 j 偿剀的解 彳10 曼 i m 0 t i k 为差分格式p j 矽一仁j 的解 记 则有 e 仰 一牡彳 0 m 0 曼几s k 妒 1 1 1 f 2 其中 字 证明由 5 9 3 3 5 i 0 分别和 5 1 2 5 1 4 t t l i i 同时考虑其零边值和零初值条件 可得到差分格式的误差方程如下 芝巩右 5 主盈e r 5 吾 r 5 一e 叶0 5 露 5 1 6 去魂搿 兰也e 5 参e 学 鹾e r 5 z 1 2 m 一1 5 1 7 西2o t e m 1 萨1 0 n m 5 一吾 右5 一髓 p m 5 1 8 其中存在常数c 使得 l 露十 i c 2 h s l z i c r 2 h 4 i p 譬 isc r 2 1 5 5 2 0 对 5 1 6 5 1 9 由与定理2 3 的证明过程类似可得 定理2 8差分格式p i 缈 陋 j 秒是无条件稳定的 证明与定理2 4 的证明过程类似可碍 2 6 数值算例 本节我们用第2 节中的差分格式对以下问题进行数值求解 尝 鲁十 o z 1 o t z 巩如2 一 2 筹 o 一筹 1 归 矬 o f z w x 0 矿 0 sz 1 6 1 6 2 j 6 3 此问题的精确解为 z t 甜 对此问题我们采用不同的网格剂分进行了数值计算 并逐步增大对网格的剖 分数 设z t 方向的剖分数分别为m n z 方向的网格数每增加一倍 f 方向相应 的增加为4 倍 下面的表2 1 表2 2 分别为不同网格剖分下 0 3 时数值解和真实 解误差的二范数和最大范数 其中范数定义如下 女 0 3 0 e h l l i i w 一 l l l i e r 0 i i w 一w 0 表壁 三0 3 时差分解 的误差的2 范数 m n慨lh l l o o 础琴舞煸 对t 0 3 时差分解误差的2 范数和最大范数进行数据拟合结果为t l o gj j e 0 一1 1 0 7 5 4 0 1 6 4 一l o g 一l o gj i e i l 1 1 3 5 7 4 0 0 1 9 l o g 图2 1 描绘了1 0 x1 0 2 0 如 4 0 1 6 0 三种网格剖分下差分解在 0 3 对的 误差曲线 图2 2 描绘了4 0 1 6 0 8 0 x6 4 0 1 6 0 2 5 6 0 三种网格剖分下差分解在 t 0 3 时的误差曲线 用改进后的格式差分格式 5 1 2 5 1 5 对 6 1 一 6 3 进行数值计算 表2 3 表2 4 分别为不屙网格剖分下 0 3 时数值解和真实解误差的2 范数和最大范数 图2 3 描绘了1 0 1 0 2 0 4 0 4 0 1 6 0 三种网格剖分下差分解在忙0 3 时的 误差衄线 图2 4 描绘了4 0 1 6 0 8 0 6 4 0 1 6 0 2 5 6 0 三种网格剖分下差分解在 t 0 3 时的误差曲线 表2 只t 0 3 时差分解 的喔差鲍2 范数 m nf l e r h l l 缺擞 对t 0 3 时差分解误差的2 范数和最大范数进行数据拟合结果为 一l o g6 e i l 1 1 3 5 7 4 0 0 1 9 一l o g 妨 一l o gi i e i i 1 1 3 7 7 4 0 0 1 9 一l o gh 通过对两个格式的数值结果比较来看 对于此数值算例改进后的格式的精度 只有轻微的提高 图2 1 差分解在t 0 3 的误差曲线 图2 2 差分解在t 0 3 的误差曲线 子 r 一 萋 图2 3 改进后格式的差分解在t 0 3 的误差曲线 图2 4 改进后格式的差分解在t 0 3 的误差曲线 辛芎 l 警 第三章热传导方程n e u m a n n 边界值问题的一个高阶差分格 式 3 1 差分格式的建立 本节我们考虑如下带有n e u m a a n 边界值的热传导方程问题 在假设相容性条件 等 窘 蚺o z t o t z 筹j o t a 筹 归懒o z 伽 z 0 w 协 z 0 r 1 d o 名 o a o t 嵋 1 成立的情况下对其进行研究 建立一个高阶差分格式 设确 o 口f o 嵋 1 芦 1 令 罄 则上述问题可以写成如下等价形式t 等 塞 椭o z 1 o t s 正 t 豢 o z l o 正 t o t n 叫 1 t 厅 0 t s e 0 o o 如 0 z 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 对区域d i o 1 j 0 明进行阿格剖分 将区间 0 1 和p 刀分别做m 等分和k 等分 步长分别设为h 和 记f 协l 碱0 ism t n1 k r 0 k s 扩 讲 谚 墙 设 衅 0 i s 腻0 七 k 为 x 上的网格函 数 引进如下的记号 盥乒 哇 拿净 瓦唾 与粤 五 一 竺生 f 旷峙 峰m a x m 阱 肛 6 萎mi 丢 1 2 此外记 址 扣地 1 f 一 训q a 一 弘1 q t 胪一 咿 口 址 l 引入如下的引理 参见 l lj s i 理3 0 若j 9 z c 4 o 纠 月l j 有 志r z 细 n 抑 一等叭 g n 嘉 生i 坐 k 1 7 击f 一 z 如 睁 n 加 4 9 警 l 一去生i 坐g c 4 吡 1 8 其中f n 6 q n b 定义如下网格函数 略 w x i t k 时 t k 对 1 3 在区同h 一1 上积分 得 警 岫 是t 净 m t 胁 对上式应用 1 7 j 1 r 静6 v 时缸 t 一皂 翥纯 铲纛 乩t 堕掣 仁 m 出 d 一 nn j 一 由 1 4 并对上式中的 鬣 t d x 项应用 1 8 我们可以得到 等c z 一 等c 戤 一丧 宝c 瓤朋一窑c 而巾t 塑坐掣 胁 4 酬 o 帆 对于上式 由泰勒展开容易得到 魂嘣一篙如民学 屯嚼州 譬 啦 1 9 其中 a 譬 石1 以一1 t 一 4 t 一 气一 甄 t 一 且存在一个正常数c l 使得 吃列 c 1 r 2 1 1 0 同理 我们对 1 4 积分 并应用引理3 0 可得 监掣一丧良 磐 t 亟掣 由 1 3 口j 碍 塞 引 警 州 嘶 将 l 1 2 代入 1 1 1 并用差商来近似导数 由泰勒展开公式可得 曙一孙啊 如吲一篙疋舒 东 其中存在一个正常数c 2 使得 瞳 i c 2 p 2 h 4 在 1 9 1 1 3 中忽略高阶小量项 并注意到 1 5 1 6 我们对 1 3 1 6 建立如 下的差分格式t 魂 k 一 f 一篙如磊爿 磊嗣州 鸳 1 l 一皂6 z a 沁k t 一 t a e e 一备z t 罐 o k 嘞 口 1 s s k 世 帅慨 碍 硝慨lo i s m 1 f 脱1 七 缸 1 1 5 磊 一5 十 如 一5 等如磊 一 一笔疋露 5 一x 1 疋 一 郇 5 一 1 1 女 e l 1 9 魂 霉 矗 k f 1 1 x 1 2 w k 5 1 x 1 西h 2 2 毗k 一 一去 瓦嘲 屯t 钙 1 箍磋 渺 譬州 现 峨k 之 叫 抚 瓦 链 西h 2 珈钨一篙以稿 一 瓦啦 彻高一 1 矿一j 1 s 豇 1 2 1 弓 l 咖簧 西h 2 如 嘣一西h 2 k 列 一志卜嘣 a i 6 v t l 叫 爝 s s 嬲 l 1 2 3 m k 5 卜警 西h 2 如仉喝一警如鹤1 埘 埘 埘 0 0 q 螂切埘 o o 0 k 一 七 一 lm 一 1 一 l 志b 钨 l ax m 叫 盛 而巧p k 二 鼬产 一 a 刘 嵋 警 引 o i m 其中a 嚣 证明由于 孙鹭 瓦h 2 錾霉 h 2 蟛叫k 习 i 把上式代入 1 1 5 则可得 1 如q k 5 氐 鼍 知q k i 一 a 由 1 1 6 容易得到 智 如蚓 篙如民恻一西h 2 啦喜 螂川s 七弛 将 1 2 7 乘以 1 去 1 2 6 乘以 并把其结果相加 可得 c 弦 叫 如嘣 笔瓦况恻一笔屯督 恻 瓦嘲叫 2 t m 1 2 z 乘以 1 1 2 6 乘以 并把结果相减 可得 知料 t 卜嘣 笔如反嘣一篙啦列 一孙 k 一 f i 产i h k 1 叫 譬 s tsm 即 c t 弦 刈 知卜蜊 参巩 一笔以舒1 一 卜毪k 5 灭i 1 一 a 麓 o s 肘一1 由f 2 8 和f 1 3 0 显然对1 t m 一1 我们可得 1 云 1 2 9 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 z 1 2 8 1 2 9 1 3 0 瓦删 譬如尻嗣一笔以舒 一 k i 如 州 簧 乓嘣 笔瓦吼叫一笔啦小 降 嚣 x 1 州 k 1 1 c m 鸳 扣智 魂 譬 1 y 1 鹕2k 5 1 i i 西h 2 2 州 一1 2 a 褂i 跏zi a a 一 a 1 h 2 s 2 k s tsm 一 t 当i 0 时 由 1 3 0 中i 0 的方程和 1 1 7 的前一式可得 最 p 卸 1 12 6 z t u 西h 2 酶妒k 一砭h 2 瓦卞3 一芦1 1 a 硝一5 一j 1 1 i i a t k n 1 1 3 1 当 m 时 由 1 2 s 中i m 的方程和 1 1 7 的后一式可得 屯塌 咖砖 西h 2 脚 k 硝 一西h 2 以馅 一簪1 甚 a 韪一互1 1 a 札1 1 3 2 苴伽的等价姜系不难验证 定理证毕 对差分格式 1 1 9 1 2 5 我们给出如下求解方法 由 1 2 2 0 2 5 我们可以求得第0 层上 各个结点的值 假设第k 1 层上结点 处 和口的值已经求出 则 1 1 9 1 2 1 为一个关于t l 0 1 2 m 的方程组 其系 数矩阵为一个三对角矩阵 因此可以用追赶法来求编 从而求得 a o 1 2 m 利用求出的婶 由 1 2 3 或 1 2 4 可以显式的求出 砖ii 0 1 2 m 3 2 解的唯一性 稳定性和收敛性分析 定理3 2 差分格式以 鲫一 刎是唯一可解的 证明由定理3 1 我们只需证明 1 1 5 1 1 8 唯一可解即可 考虑 1 1 5 一 1 1 8 的齐次方程 唾 一等瓦啦 矗啦 l ts m 箨 一等k o 以喀 1 t 曼 诸一o f 0 2 1 2 2 2 3 将 2 1 两边同乘以u 乞l 将 2 2 两边同乘以嚎 并把结果相加得 吨 2 k 2 善 畦 如吐j 啦 瓦 l z 4 将 2 4 两端同乘以h 并对 从1 到m 求和可得 i i k l l 2 妒1 1 2 拳砖一 甚 t 最 w 钉t 一u 5 t 结合 2 3 可得 扣1 1 2 抄t 1 2 姐 即