（应用数学专业论文）逆非中心wishart分布.pdf

摘要 本文首先介绍了w i s h a r t 分布定义的背景 然后根据中 b w i s h a r t 分布和逆 w i s h a r t 分布的关系及非中 b w i s h a r t 分布的定义这两部分内容给出了逆非中心 w i s h a r t 分布的定义 接着讨论了该分布的某些专题 主要分两部分 第一部分首先继续讨论了非中 b w i s h a r t 分布的一些线性变换的性质 然后 提出了逆非中 b w i s h a r t 分布在一定的线性变换下具有封闭性 主对角线上的分 块阵在一定条件下服从逆w i s h a r t 分布 某些分块阵服从逆非中 b w i s h a r t 分布 并讨论了分块阵的独立性 最后研究了该分布的二次型和一阶矩 第二部分讨论中心和非中 b w i s h a r t 矩阵在不同条件下的相对特征值的分 布 关键词 非中一o w is h a r t 分布逆非中一o w is h a r t 分布 超几何函数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ef i r s ti n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ed e f i n i t i o no ft h ew i s h a r t d i s t r i b u t i o n n e x t w ep r o v i d et h ed e f i n i t i o no ft h ei n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r t d i s t r i b u t i o nb a s e do nt h er e l a t i o n s h i po ft h ec e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o na n dt h e i n v e r s ew i s h a r td i s t r i b u t i o na n dt h ed e f i n i t i o no ft h en o n c e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n t h e nw es t u d ys o m es p e c i a lp r o b l e m so ft h ei n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n t h e p a p e r i so r g a n i z e di n t ot w op a r t s i np a r to n ew ef i r s td i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so fl i n e a rt r a n s f o r n l a t i o nf o rt h e n o n t e n 仃a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n t h e nw es h o wt h a tt h ei n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r t d i s t r i b u t i o ni si n v a r i a n tu n d e rc e r t a i nl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n a n dt h eb l o c km a t r i c e so n t h em a i nd i a g o n a lh a st h ei n v e r s ew i s h a r td i s t r i b u t i o na n dt h eo t h e rb l o c km a t r i c e s h a st h ei n v e r s en o n c e r l 仃a lw i s h a f td i s t r i b u t i o nu n d e rs o m em i l dc o n d i t i o n s w ea l s o c o n s i d e rt h ei n d e p e n d e n c eo ft h eb l o c km a t r i c e s f i n a l l y w es t u d yt h eq u a d r a t i cf o r m a n dt h ef i r s tm o m e n to ft h ei n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n h lp 锄t w ow ei n v e s t i g a t et h ed i s t r i b u t i o n so ft h eo p p o s i t ec h a r a c t e r i s t i cv a l u e so f t h ec e n t r a la n dn o n c e n t r a lw i s h a r tm a t r i xu n d e rd i f f e r e n tc i r c u m s t a n c e s k e y w o r d s n o n c e n t r a lw i s h a r td i s t r i b u t i o n i n v e r s en o n c e n t r a lw i s h a r t d i s t r i b u t i o n i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果 也不包含为获得东南火学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 研究生签名 尘壶 j 址日期 堂乎 掣 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学 中国科学技术信息研究所 国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致 除在保密期内的保密论文外 允许论文被查阅和借阅 可以公布 包括 以电子信息形式刊登 论文的全部内容或中 英文摘要等部分内容 论文的公布 包括以电 子信息形式刊登 授权东南大学研究生院办理 研究生签名 趁熔导师签名 日期 童盟z 1 2 矿 h 蜀 氛 第一章引言 多元正态分布族 对于多元统计分析而言 无论在理论还是应用 一直为 统计学研究的中心 历时数百年 几经众多学者的不断努力 至今已得到多方 面的重要进展 它是多元统计分析理论中最为成熟的重要分支 而w i s h a r t 分 布是w i s h a r t 在研究一类与多元正态分布族关系密切的统计量时发现的重要分 布 在计量经济 工业 生物等领域都有广泛的应用 w i s h a r t 分布密度的推导 是多元分析发展史上的一个重要突破点 f i s h e r 1 9 1 5 首先求出了二维w i s h a r t 分布的密度函数 w i s h a r t 于1 9 2 8 年定义了实对称非负定矩阵上一种分布 得到 了多维w i s h a r t 分布的密度函数 现称为w i s h a r t 分布 随后出现了各种各样的推 导方法 首先在矩阵正态分布的基础上定义w i s h a r t 分布 当乙 n m lo 0 则称a z z 服从自由度为 l 协方差阵为 非中心参数为q 1 m m 的 非中心w i s h a r t 分布 记作彳 既 忍 q 当m 0 时 称a 服从中心w i s h a r t 分布 记作彳 既 z 然后定义非中心w i s h a r t 分布的逆矩阵服从逆非中心w i s h a r t 分布 即 彳 既 甩 q 则4 既o m 1 一 q 在此基础上讨论是否和逆 w i s h a r t 分布有类似的性质如 矩 线性变换是否有封闭性 分块阵的分布及独 立性 二次型等等 最后讨论和w is h a r t 分布有关的特征值的分布 本文的主要突破在于建立逆非中 b w i s h a r t 分布的定义 并在此基础上进行 研究 在本文的基础上也可以进行更深入的研究 比如逆非中一b w i s h a r t 分布的 特征函数 矩量 b a r t l e t t 分解等等 这些都有待研究 当然也更加困难 对于前人的部分结果在本文中均能得到 当然 本文也存在不足地方 以后将 继续改进 东南大学硕上学位论文 第二章逆非中心w is h a r t 分布 2 1 用密度函数定义逆非中心w i s h a r t 分布 w i s h a r t 分布在多兀分析中有很重要的地位 本文根据中心w i s h a r t 分布推导 逆w i s h a r t 分布的思想 在非中心w i s h a r t 分布的基础上推导逆非中心w i s h a r t 分布 并研究相关性质 定义2 1 1 1 1 若么 z z 其中矩阵z m m 圆 则称彳服从自由度 为n 协方差为 0 非中心参数为q 1 m m 的非中心w i s h a r t 分布 记为 彳 既 以 q 引理2 1 1 1 1 设a 既 z q n m 则a 的密度为 纛州一 炒吒1 吼砸n 以 2 1 1 定义2 1 2 t 1 i 矩阵变量超几何函数定义为 肭 炜 姜 蒜等等 晓比 其中 表示关于尼的所有划分f 向 露 求和 这里毛 k 2 k 0 k k a t x 是m m 对称矩阵x 的相对于划分f 的带状多项式 而广义超 几何系数 为 口 兀 口一去 f 1 t f l 其中 口 t 口 口 1 口 包一1 口 o 1 引理2 1 2 1 1v 2 x 是 n x m 实矩阵 m 以 h 日l h 2 d 1 这里日l 是n x m 矩阵 则 e t r x 岛i 媚 丘 三咒 i 1x x 其中 d h 表示o n 上的标准不变测度 定义2 1 3 设m x m 随机矩阵b 0 如果它具有密度 2 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 一酬甲1 1 州中1 m 一n m 1 妒加 0 其中 l 2 m v 0 称b 服从自由度为 z 参数矩阵为v 非中心参数为 q 聊m 的逆非中心w i s h a r t 分布 记作b 既 z v 2 当m 0 时 曰一 既 以 矿 称b 为服从自由度为n 参数矩阵为v 的逆 w i s h a r t 分布 2 2 非中心w i s h a r t 分布和逆非中心w i s h a r t 分布的关系 引理2 2 1 2 设彳y gm m 的矩阵 l a i 0 对彳作分割 肚l 如a l lh i2a l 么2 l2 2 j 若i 彳 l 0 则 r 鼍舞2 矧卅鼍砭1 其中a 圳 如 a 2 l 氟1 4 2 若1 4 l 0 则 l 茏i 毹 其中a i 地 4 l a 1 2 么丢么2 l 一彳 4 彳丢1 彳丢 趔彳2 l 么i 2 a 1 2j 弓f 理2 2 2 2 若y 1 厂 五 x y f 厂 y l 少卜l t x i 2 栉一1 y 厂 y l 一 y 川 x 其中x i y f 是g f 维向量 i 1 n 则 彤 一以川矿外冉胤 3 东南人学硕上学位论文 表示的绝对值 定理2 2 1 设x y 一 匕 对称 则 x i d e t y l 一 1 证明 对矩阵的阶数用数学归纳法 当m 1 时x y y x 专y y 之 y 一 1 1 设 l k 1 时 j x 一 吲 叫卜1 当m k 时 对x y 一分块 则 x x t x l x 2 1 一 二y 赢疗 x 1 i 都是七 1 阶方阵 k 己 x l 是k 1 阶方阵 由假设 墨 专z 己 i e 2 i 彳 一i 记k j 1 一五 k j 1 2 2 1 2 2 2 j x 哼x 弦x l l y r d l 1 以 y 1 y i l z f 2 1 2 x 2 y 1 y 1 y 1 x 1 2 由 2 2 2 式 i 2 y x i x l 2 又因为匕 对称 所以k r 2 且x 也对称 故有 少 1 k y 1 r 1 2 7 一工i l x l 2 2 3 一k 列 一矗 x 一x 2 x 0 4 识一 辨一奶 挑 援嚣 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 以 棘1 x 厶x 1 j x k 专j i i y i 2 符合引理2 2 2 的条件 所以 2 2 4 j x l j x i l k 记 置2 专 2 j x k 专y i i j i f y i 一1 i l j i 1i j i 2 l k i 1 i y i 1 l r l 1 归纳法证明完成 下面定理2 2 2 和定理2 2 3 给出非中心w i s h a r t 分布和逆非中心w i s h a r t 分布的关系 定理2 2 2 若彳 既 咒 q 以 m 则彳一 j 既 刀 m l z l q 证明 令曰 a a z z a7 z z z z a a 为对称矩阵 b a 1 a a b b 为对称矩阵 由定理2 1 1j a b i b i 一 肼 1 所以当b 0 时b a 1 的密度为 e 护 一z 1 b i p 护 一i n 互 兰 4 q x i 曰一1 l b i 一 m 1 黑e驴 一三x lb i etr mn n m i 圭q 互 三 丢q 卅b 2 了l t 2 2 川1 2 4 从而有彳 既0 聊 1 z 1 q 推论2 2 1 若彳 侈乙 l 则彳 陟二 行 川 1 一1 i i e 明 因为a 既 刀 所以朋 t 卅一i 1 一 删宇 2 删2 l 去刀 阵4 z 5 一h k r 三争 些i 口 一厂 东南大学硕十学位论文 令口 a 一 其雅可比为 似一b 俐一伽 f b 黑e 驴 一圭1 口一 b i 1 孝 i 5 云f e 驴 一三 1 口一 b i u h 所以么一 以 m l 一1 注 此结论即为 1 p 1 2 0 定理3 7 1 1 定理2 2 3 若b 阿乙 以 v q 则曰 阿 卅 咒一m 一1 v i q 证明 令彳 b 一 nj bj a i a 一 1 歹 彳 2 亟亏一p护 一j1瑚弦驴 一j1 q 们 字 m 1 三n v a i a 嘲 1 2 再岩舞咖卜 v a e t r 尹12 竿l 掣 川宇 八 2 一 峭 字 f l v 1 1 柳 所以b w m n m 1 v i q 推论2 2 2 若曰 j 既 l 矿 nb 一既 n 一聊一l 矿 证明 因为b 既 z v p t r 1 b 1 y 吲丁 i 删八功2 芦一令彳 曰 则 b 哼彳 i a 一 臃 1 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 夕c彳 2 亟乏三一e护 一互1蹦 f纠1m 1 2 t l 竺岩 j z p f i 以b 一 阡乙 刀一m 一1 v 酬一妒 l 刚佃掣 2 3 非中心w i s h a r t 矩阵分块阵的分布 定理2 3 1 设甩 m 矩阵z m m i no 这里刀 m 于是 4 z z 既 刀 q 其中q 一1 肘m 将腓分割 4 f a 2 14 a t 2 j 类似地 可分割成 f z 邑2 1 1 至 其中4 1 1 m l xm i 彳 m 2xm 2 m m i m 2 再对m 作分割m m lm 2 其中m l l m 1 m 2 l m 2 当 1 2 0 m l 0 时 4 1 2 既 0 一m 2 1 1 a 1 2 i a 2 2 帆m o l l a 2 2 彳2 2 既 l 2 2 q 其中q 2 2 1 朋2 t m 2 证明 因为z m i o 则a 既 z q 从而a 的密度函数为 刑 2 蒜州一x a e t r 尹i 夯n 舾 n m i 彳2 2 i 丁 狮 p 驴 一1 2y 1 彳 e 护 一1 2x 一1 m m 互 互n 1 4z 一1 m m x 一1 彳 当z 1 2 0 m l 0 时 上式可化简为 7 一 字一l 东南大学硕士学位论文 f a h 一 对一l矗一朋一l a 1 1 2 i 丁心i 丁 2 m 了nl 弘摔 l j n e 加 一芝1 矗a l t e 驴 一i 1 2 a 2 2 p 驴 一j 1 1 朋 r m 互 三 i 1 1 朋 r 锄 i 彳 n m in m i i a t l 2 f t k r 2 了r a n l 狮 陬 卜n p 驴 一互1 t a l l 2 p 护 一j 1 矗a 1 2 a 2 2 i a 2 1 e 护 一l x 2 1 2 a 2 2 p 驴 一i 1 2 2 m 2 m 互 j n 百1 2 2 i 朋2 r m 2 2 i 锄 h m 2 一m i 一1 a 1 1 2i r 一 m 1 n m 2 2 2 l i m 2 2 m l m 2m 2 万 2j z l l 2 i a i n m 2 i a 2 2 i 2 了nm22 l i 悸 2 l i l z l l l n 丁 m 2 p 纱 一l a 1 2 堕2 e t r 一2 z i a a a 2 1 铆 丢如 州 丢m m 以上证明用到事实 r m 三班 1 4 兀r l n i l 耐 1 4 垂r 扣m 耐加2 l 尊r 三 r 埘 n 一研2 2 一f 1 l j e 三 百1 锄 1 朋 t m 丢彳 川 卜佗 1 业1 k i 珂 万2 2 3 1 由 2 3 1 式表示的密度因子分解形式可知 其中第一行是a 1 1 2 的密度函数 第二行是给 定4 2 下4 2 的条件密度函数 最后一行是彳2 2 的密度函数 8 第二章逆非中 t l w i s h a r t 分布 从而根据 2 3 1 分别有 其中q 2 2 1 坦2 t m 2 4 1 2 仰一所2 1 1 4 2 1 4 2 一n m 砸 o 圆彳2 2 彳2 2 既 以 2 2 q 推论2 3 1v 2 n 聊矩阵z m m lo 这里以 m m 0 0 u 1 于 是a z z 既 珂 q 其中q d f a g o o u l u l 将a 分块为 匕a l a 1 2 其中口2 2 是1 1 的 记彳1 1 2 4 l 一口1 2 口2 2 1 口2 l 因此 h 口 1 4 i 则有 1 a t l 2 既一l o 一1 l 1 2 给定a 2 2 时 a 1 2 的条件分布为 埘一l 0 a 2 2 i m 1 3 a 2 2 z 万 万 u l u l 证明 因为z 虬 m i o 则a 既 刀 l q 从而么 0 时么的密度函 刑 岳酬一1a e t r 三1 圳嘴n 石1 m 呦 2 2r m 昙 z n 一 h 一1 一m l 2 i t 口2 t 2 2 l 争 e t r 一互1 屹 州 m m 呦 9 乱 m 1 2 1 4 卜 拧一2 扩 p f o 东南大学硕 l 学位论文 4 1 2 1 一肘一1 n j 一l 2 a 2 2 2 2 2l 三 e 护 一互1a l l g 护 一互1 口 2 口2 2 口 e 护 一三1 口2 2 p 驴 一1 m 2 i 互 兰 丢m 呦 4 他i 2 竹埙2 n 字 r 三二 l m 1 一1 2 万 2 a 2 2 下 计 一芝1a n e x p 一a 1 2 a 2 2 1 a 2 1 p 一 l m 互 三 z 丢 口 以上证明用到事实 l 三 z 1 4 7 1 i i 4 兀 i l 兀 i 1 一 1 4 2 21 h l e a 2 2 2 i 三c 以一z r 三c z z 2 3 2 u r n 丁n 1 r l 字 由 2 3 2 式表示的密度因子分解形式可知 其中第一行是a 1 1 2 的密度函数 即 4 1 2 既一l 伽一1 l 1 的密度函数 第二行是给定a 2 2 下a 1 2 的条件密度函数 最后一行 是口2 2 的密度函数即a 2 2 z 万 从而根据 2 3 2 式有 4 1 2既一l 刀一1 i 一1 a 1 2l a 2 2 m l o 口2 2 一1 a 2 2 z 万 万 u u l 1 0 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 定理2 3 2 条件同定理2 3 1 当 1 2 0 m 2 0 时 有如下结论 么2 2 1 既 万一m l 2 2 a 2n l a 帆 m o p4 4 l 既 玎 1 1 q 其中q 矗m i m l 证明 方法类似定理2 3 1 当 1 2 0 m 2 0 时 f a 可化简为 厂c彳 2 夏一p驴c一三 丢4互p 2 万 一警 2 2 i m i l 警e 护 一丢 施a i l l a i 2 万 2 i i i 1 4 l 彳e 护 一寺 丢彳 器 e驴c一主x矗al etr 丢 矗m mj 互c三 丢 矗m 冶t l彳 l 三 l 丁n m 2 r m 云1 z 万丁m i r a 2 由 2 3 3 式表示的密度因子分解形式可知 其中第一行是a 2 2 1 的密度函数 第二行是给 定彳l l 下彳2 l 的条件密度函数 最后一行是4 1 的密度函数 从而根据 2 3 3 分别有 其中q 矗m m 4 2 1 一m l 2 2 a 2 1 i a l l n m 狮 o 2 2 a 1 1 彳l l 一既 z l l q 推论2 3 2 设 z m 矩阵z 眠 m i i 所 这里 l m m u 1 0 9 o0 0 于是 东南火学硕 l 学位论文 a z z 既 l q 其中q 讲昭 l o o 将a 分块为 彳 卜 口2 l彳2 2 j 其中a l l 是l 1 的 记彳2 2 1 a 2 2 一口2 l 口 1 a 1 2 则有 1 a 2 2 1 一既一1 0 一l i 一1 1 n n 2 给定口l l 时 a 2 l 的条件分布为帆一l o a l l i m 1 3 a l i z 万 6 甜 l 证明 因为z 虬 m i 0 i 则么 既 z l q 从而a 的密度函数为 f a 竺 22 e 驴 一互1 么 p 驴 一m t v l e 三n 百1m 物 n 一 一1 n m l l 彳2 2 1 l t 口1 1 亨 2 i f 2 p 扩 一三1 口 p 驴 一互1a p 加 一1 m 2 i i 互 n i m p n m i n m i l a 2 2 1 i2 a l l t 2 警l 争 p 护 一i 1 口l e 护 一五1 彳 2 e 护 一l a 2 1 a l l l a l 2 p 印 一m t 矧三 三m 呦 2 精p 驴c 一三1 彳挖 p 1 b e x p 一昙口1 2 1 瓣酬 q 1 啦 1 2 兰噬 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 e 一 均 m e 三 z 三 口 以上证明用到事实 1 一 唧l p l 争r m l 孚 r l 字 一1 a l l 2 2 3 4 由 2 3 4 式表示的密度冈子分解形式可知 其中第一行是a 2 2 1 的密度函数 第二行 是给定a l l 下a 2 l 的条件密度函数 最后一行是口l i 的密度函数 从而根据 2 3 4 式有 彳2 2 1 既一l 以一l i 一1 a 2 1 i a l l 虬一l o 口1 i 一1 a 1 1 z 万 万 u u 1 2 4 非中心w i s h a r t 矩阵主对角线上方阵的分布及独立性 定理2 4 1 设z m m i o 对z 和m 作相同的分割 z z iz 2 誓 c m m z t n xk m 刀 尼 再对 作分割 z 1 1 2 1 至 1 l k k 则z l 与z 2 独立的充要条件是 1 2 0 证明 充分性 因为z 虬 m i 因为当 o i l i 1 i i z l 0o 1 0 丢 州 z m z 1 z 一驯 l1 z 2 万 n k 2 2 万 1 坨l l l l j i 2 2 l 一 三 糟 l 一2 2肼 p 万2 i z i 以所 东南大学硕十学位论文 p 护 一三 z z 一似 肘 虿曼 z z 一 m 2 万 n k 2 2 万 1 圳2i 1 1p 2 2p 酬之 z 2 万 一破心 2 万 1 以 他i i j 4i 2 2 一j p 驴 一言 z 一m 矗 z 一m z 一m 丢 z 一m 2 万 一稚 2 i i j 1 p 护 一l z i m i z 一m 7 2 万 n m k 2 罗 p e 打 一互1 z 一m 丢 z 一m f z 厂 z 2 所以当 1 2 0 时 z l 与z 2 独立 必要性 叫 蚴冲l z 2 z l z l m l 坳i i o q 凹 虬 m 厶圆 1 1 z 2 万 一时 2l l ll j 1 e 加 一l z i m 1 矗 z l m 叫也卜z d 亿z 仨 z 2 z 2 n m d 2 j o d 2 凹 m 枞 m 2 j o 2 2 f z 2 2 刀 t i n k 2l 一p 护 一 z 2 m 2 2 1 z 2 m 7 z 厂 z 2 万 制2 l 1 1 l j 1 p 护 一芝1 z 一m 矗 z 一m 1 4 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 2 万 n m k 2 z 2 2 p ie 护 一l z 2 m 2 2 2 1 z 2 m 2 e 护 一三 z 一m 矗 z 一m z 一m 丢 z 一m 2 万 n m 2i l j i i j g 护c 一三c z m 絮 ol c z m 而们 2 万 刊2 l i 一奴p 护 一互1 z m 一1 z m 7 当f z f z f z 比较左右两边则有 1 2 0 引理2 4 1 u 设彳 既 以 q 其中q z i m m 并设p 是一个已知尼 m 矩阵 其秩为k 则 刚尸 z p p 尸 p 1p m m p 定理2 4 2 设彳一既 刀 q 将a q 作同样分割 彳 r 4 l 彳2 l 其中a l l l l q 1 1 k xk 则 f yz v i l l 一1 2 厶一i 甲 p l 厶2 l2 2 q f i q 2 l 呒 刀 1 l z t z l l q l l 1 2 q 2 1 既一 刀 2 2 z t z 2 l q l 2 2 2 q 2 2 且当 1 2 0 时 4 l 与么2 2 独立a 证明 令只 ki o 只么鼻 c i 芝 乏 乞 捌叱功臣 1 5 2 4 1 耳 l 一2 一 丝 玎 l 一2 一 l 2 槲一 万 l 屹 鸵 c c 2 2 气4 k 0 一 2 2 l 因为 所以 q 一1 必必 m m q 鼻m 懈 i i 东南大学硕士学位论文 弛 1 只m 姒e 0 q l q 2 由引理2 4 1 同理 鼻彳只7 刀 z l l 0 l l q l l 1 2 q 2 1 故有 呒 以 l l 0 t t q l l 1 2 q 2 i 令只 o 一t 则有 芝璎邓k 摄瓢 砣 p 2 m t p 2 由引理2 4 1 故有 艇 靳t k 厶2 i l l q l l4 1 2 q 2 i 意也卜 峨 最彳爿 既一t l 2 2 丢 z 2 l q l 2 2 2 q 2 2 既一女 刀 2 2 丢 2 l q l 2 下面证明当 1 2 0 时 4 l 与a 2 2 独立 因为a 既 托 q 4 2 2 q 2 2 所以j z n 肘 i o 使得4 z z 其中q z 一1 必m t o v 0 0 八 u 勉 q q l 2 2 r r j v 0 0 八 屹 砣 l 2 l 0 d 胗 o o o 蟹吖从 k 掣 如如d 惶 一 所 m o x 企 露 肛 蟛 o 4 印 只 4 只 n 越 c c v 0 0 八 挖 弪 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 对z 作分割 z z lz 2 当 1 2 0 时 由定理2 4 1z l 与z 2 独立 由于么 z z 所以a i i z z l a 2 2 z z 2 又因为a 1 1 a 2 2 分别为关于z l z 2 的函数 所以a 1 l 与彳2 2 独立 2 5 逆非中心w i s h a r t 矩阵线性变换的性质 引理2 5 1 设么 既 z m 是一个k xm 常数矩阵 r k m k 则 m a m 吸 z m z m 2 5 1 定理2 5 1 若b z y q q v m m p 为k m 阶矩阵 r k p k 有 p 8 1 p 7 哌 玎 m 1 p 矿 1 p 7 p v 1 p 7 1 p m t 坯p 证明 b 既 玎 y q b 既 n m 1 v l t a 由引理2 4 1 p 口 1 p 0 一m 一1 j p 矿一1 p p v 一1 p 1 p m m p 定理2 5 2 设彳 既 z q 刀 m 1 p 是七 m 阶矩阵 r k p k 对m 作 分割 m lm 2 其中m 1 n xk 当m l o 时 有 c a 一1 p 吸 l 一所 后i 尸 1 p 7 1 证明 令k 2 a z 2 因为a 既q q 所以根据引理2 4 1 k 一既 z l 2 m g i z2 1 令r p z2 则r k r r k p k 且 以 1 p 7 一 r z 2 a 一 2 r7 r k 1 r 7 1 p z 1 p r r 1 r 需证n r k 1 r 哌 n m k r r 1 下面证明r 有如下分解 r l z 女i o h 其中三 kxk l l i 0 h m m 正交矩阵 1 7 2 5 2 东南人学硕士学位论文 ll 因为r r 挖2 2 p p z 一1 p p 行满秩 v0 x r 0 x p r 0 一1 0 x p x 尸k 0 即x p z 一1 p 7 石 0 p z 一1 p 0 即艘7 0 111 则存在 艘 2 0使得r r r r 2 r r7 2 1 令l r r7 2 1 歙 2 0 l 0 i l i 0 且 即r r r l l 7l k k 所以存在尼 m 的行正交阵日l 使得 r l h l l 1 h l 凼为h lk 行之i 司相互正交 构成一组标准正交向量 因而司扩充成为r 的标 准正交基构成正交阵 三 i k i o 恻 丛k o 坤 l kxk l l i 0 h mxm 正交矩阵 所以 r k 一1 r 7 一l c 三c j h k 一1 j 7 三7 一l 1 8 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 c 7 一1c c i h k 一1 j 7 一1 1 记c h k h 则c h k 一1 h 令c f c l f 易 c 一 f 复 d 复 其中q q 尼 尼 l d 2 l2 2 一 1 因为h k 一1 h c 一 d 所以c c h k q h 7 乞 一 c c i 爰 d 1 1 一n 一1 1 2 1 1 d l z 1 而c 1 1 2 d l l 1 故 麒一1 r 三 一1d 1 1 1 l 1 7 一1q 1 2 l 1 因为k 既 z 2 m t z2 所以由引理2 4 1 一 一 c h k h 既 z l z2 m t z2 h 再根据定理2 3 1 的第一个结论 i 1 2 0 一 一 一 朋l 2 h 0m 2 2 h 7 0m 2 2 h 左边为零 故有c 1 1 2 毗 刀一m 后 i k 所以由引理2 5 1 r k 1 r 三 1c 1 1 2 l 1 吸 n m 尼 儿7 一 即 p a p r k 1 r 吸 n m k r r 一 哌 行一 l 七 p z 1 p 1 得证 定理2 5 3 条件同定理2 5 2 当m 2 0 时 有 p a q p 既一i 以一七 p z 1 p 7 卅 1 9 一d 0 0 0 八 2 2 历仍 东南大学硕 学位论文 证明 方法类似定理2 5 2 其中尺有如下分解 r l o i 一t 日 其中 m k x m k i l i 0 h m xm 正交矩阵 最后根据定理2 3 2 的第一个结论得证 定理2 5 4 若b 既 矿 q q v m m p 为 i n 阶矩阵 r k p 尼 m m 1m 2 m l 以 尼 当m l 0 以 2 m 一2 尼时 有 尸曰尸 哌 z 一2 m 2 k p v p 7 证明 b 陟二 咒 矿 q jb 玢乙 刀一m 一1 矿 q 根据定理2 5 2 有 尸 即 一 哌 挖一2 m k 1 尸形p 7 一1 所以 户 8 p 哌 玎一2 m 2 k p v p 2 6 逆非中心w i s h a r t 矩阵分块阵的分布及独立性 推论2 6 1 设b n 吃0 v q q 蹦m 对召 v m 作分割 占 降 l 曰2 l y f k l 其中 b l l v l l 后 后 m l r t 七 则 证明 m m lm 2 当m l 0 时局l 暇o 一2 m 2 k 巧i 当m 2 0 时b 2 2 既一t 0 2 尼 2 令尸 i o 则有 坚 p 尼 k p v p 后 七 御 厶 召b l l 召b 2 八1 i i 曰 删叫瑚 暖以分k 2 2k 屹 2 2b 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 若m l 0 由定理2 5 4 尸1 8 p 一j 刀 2 m 2 尼 p 胗 所以 b l l n 一2 m 2 k k 1 同理 令p o 一 则有 尸卯7 m 一后 m k p 形p m 一尼 m 一尼 脚7 邓 叫2 默n 1 2 玢 删 o 叫乏v 挖1 f 0 j t 6 j 巩 若m 2 0 b 陟 m 刀一m 一1 v iq 由定理2 5 2 尸即7 既一t n m k 1 俨即 1 由推论2 2 2 由定理2 5 4 有 p 即7 j 既一t 珂 2 k p 阡7 岛 既一t 一2 尼 砭2 定理 2 6 1 设b 既 z 矿 q q 聊m 对曰 v m 作分割 b f t b 墨2 b 甜j 矿 暖黔m 地蚴 l t 纠 其中 b i l k l k x 尼 m l m k 则 马1 2 1 m j k 1 2 k 1 2 m m 1 b 2 2 1 一 乙一i 疗一j 圪2 1 2 1 m 2 m 2 且当k 2 0 时 b 1 1 2 与b 2 2 1 独立 证明 b 既 以 y q 2 1 东南大学硕上学位论文 由定理2 2 3 b 一 既 珂一m 1 v l q 令c b 形 v 对c 形作分割 c f c l l c 2 形 f 彤z l z 即c 陟 卅 n m 一1 w q 在引理2 4 1 中 令丘 i ki 0 则 所以 所以 p i c p c 1 l量旧7 形 p w p l 5 叫p l m 3 p 1 7 i 1 m m l p l c p l 一哌 疗一m 1 v i i l 彤i 1 m m 1 同理 令最 o i l 一女 则 只c p c 2 最唰 2 罡恻 一p 2 m t i p 2 1 m m 2 c 2 2 p 2 c p 既一t n m 1 2 嵫1 m 2 m 2 根据引理2 2 1 有 所以根据定理2 2 2 有 召差 马1 2 矾o 一所 l k 1 i 1 彬i 1 m m 1 b 2 2 1 矾一i n m l m k l w 2 2 1 1 m 2 m 2 因为 i 1 k 嵫1 匕 所以 马1 2 万一m 后 巧1 2 v 1 1 2 m m 1 1 陟 一t 咒一后 2 1 2 1 m m 2 下面证明b 1 1 2 和b 2 2 1 独立 因为 b 一 阡 m 以 v q b 一 陟 m 甩一m 一1 v 1 q 且记c b w v 一1 2 2 q 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 由定理2 4 2 当缈一1 1 2 o 时 c 1 l 与g 独立 而由引理2 2 1 缈一1l 一k 巧 1 故当巧 o 时缈一1 l o既而c 与c 独立 又因为c l l b 1 2 c 2 2 b l l 所以c f i b 1 1 2 与c 丢 b 2 2 1 相互独立 其中i b l l i 0 i b l 0 推论2 6 2 设b j 既c 行 y b 复 乏 矿 笼 笼 其中b k 均为k k 阶方阵 则 b 1 1 2 哌 l 一 尼 k 1 2 b 2 2 1 既一 n k 2 1 且当巧2 0 时 且他与b 2 2 1 独立 证明 定理当中令m 0 即得 2 7 逆非中心w i s h a r t 矩阵的二次型 引理2 7 1 若彳一 咒 万2 贝 ja 8 2 z 定理2 7 l 若曰 形 l 以q 则歹b 历1 其中万 m t t i y 证明 b i 形l n v q b n 2 v 1q 因为对于a 既 q 当朋 1 时 记 盯2 则a o 2 z 万 其中万 m m 为非中心参数 仃 所以尹b 靠 万 东南大学硕士学位论文 b 丽1 其中万 m 缈为抻 参数 定理2 7 2 设a 既0 矿 q 其中 z 为正整数 口是任意非零的m 1 向量 则 舞 屯 1 趴其中州a v l 口 l 口m 证明 a 既 以 y q 彳 既 雄一m 一1 v lq 由引理2 4 1 令p 口 口 m l 则有口么一1 口 嵋 n m 1 口 v 一1 口 口7 v 一1 口 一1 口m 妣 所以瓣嘻州 其中万 口7 v 1 口 一1a m m a 定理2 7 3 若a w 10 e q q 1 m m 万 m 1 任取少 l 与a 独立 p y 0 0 对m 作分割 m m lm 2 m l 刀 1 当m 1 0 时 有 为嘻洲 且与j 独立 证明 在定理2 5 2 中 任取j 的一个样本己 l 则有 y 么 1 y 以一m l y 一y 1 再由引理2 7 1 纂籍 擘 z 州 y e 1 j 1y a 1 y 加1 1 此时条件分布与y 无关 所以该分布也是无条件分布 并与y 独立 定理2 7 4 设彳 既伽 v q q e 1 m d 甩 m 1 口 l 与a 独立 p a o 0 对m 作分割 m 似lm 2 m 1 n x l 当m l o 时 有 口 隐 一 a a a z n 2 m 2 证明 a 朋乙 以 v q a 既 胛一m l 矿一 q 第二章逆非中心w i s h a r t 分布 由定理2 7 3 丝 z o a a a 7 一2 一2 2 8 逆非中心w i s h a r t 矩阵的一阶矩 定理2 8 1 若b 既 z y q q v m m r t 2 m 2 对m 作分割 m m 1m 2 m l r l x1 当m l 0 时 有 v e b 2 赢以一z 竹一z 证明 由定理2 2 3 b 既 z 矿 q jb 既 n m 1 v l q 由定理2 5 8v 口 0 有 口 隐 一 a b a c n 2 m a 留口1 因为 所以 下面证明 一口 v e t z 三2 口 隐是常数 口留口 a v e t 三一 z 2 m 即e 口留口 口 v a e 一 z 二 2 e 石1 丽1 z 二 2 m 以一z 聊一z 才1 嚣南t 字1 出 令f 考 l j x 2 f 出 2 d t 上式 南 南 东南火学硕 1 学位论文 1 刀一2 聊一2 故有e 石1 n 2 l m 2z 0 2 所以对任意的口有 从而有 h 一2 r a t 月一2 m 2 丁一i e f 厂 出 e 口留口 口7 隐 志 口芑 曰 口 口7 i 豪口 口 e b 一i 磊 口 o以一z 竹一z e 曰 2 南刀一z 行一z 字 南 第三章特征值和特征向量的分布 第三章特征值和特征向量的分布 3 1 中心和非中心w i s h a r t 矩阵相对特征值的分布 为 在多元统计中经常遇到特征值的分布问题 若彳 眠0 n m 则a 的密度函数 刑 2 碡1 2 心r 一 三以 l p卅一i 2 r a 坩一1 2 若 n 蔓jt r a 以 i a l 兀丑 其中以o 1 聊 是么的特征值 则 i l i l 么的密度函数就成了彳的特征值的函数 其次 在主成分分析 典型相关分析和不变检 验中都要遇到求a b 1 的特征值分布问题 因此特征值的分布问题是多元分布理论中的重要 内容 引理3 1 1 1 设彳 既 j q b 既 刀一p g a 与b 独立 这里 m 1 1 n p m 则矩阵f a ba 的密度为 p 加 一主壶 f i i n r p 三 三6 声 j q l 芝1 以 一p d e t 砂删 l 三 l 三 刀一p 1d c t i 声户一川2 f 0 3 1 1 引理3 1 2 1 1 设彳是一个掰 m 随机正定矩阵 其密度为f a 则么的特征值厶 乙 巧 r m 2 1 2p m l 1 0 3 1 2 其中日 o m 满足彳 h l h7 而 a i a g t l l m 且 与日独立 引理3 1 3 1 1 i 设x 是一个m m 正定矩阵 y 是一个m m 对称矩阵 则 b 口l 一 口p 6 l 吃 x h r h 掰 脚 口l 口p 岛 b q x y 3 1 3 其中 d h 表示d m 上的标准化不变测度 2 7 东南大学硕士学位论文 引理3 1 4 1 1 i 以m m 矩阵x 和l 作为变量的超几何函数定义为 a lt b 1 c f x c f 后 c f 3 1 4 定理3 1 1 设4 厂 t a q q m m l b 既 z p 这里厂 m n p m 且彳与b 独立 则a b 1 的特征值石 厶的联合密度为 p 护 一三q 互 m 1 n r p 三1 1 2q f f 一1 番一再茄 l 三 l 三 以一p l 三聊 j 1 彳 佃 一们坨 兀 z 一乃 z 厶 厶 0 3 1 5 i 厶 厶 0 3 2 r m 条件下特征值的密度函数 下面考虑定理3 1 1 中条件为 m 的情况 此时 r k y b 1 k 而 z f o 是矩阵 b 1 i 的特征值 或等价的是彳b 1 的非零特征值 这里 a k k 仍服从非中心w i s h a r t 分布 但此时它不存在密度函数 石 厶的分布由下 面定理给出 2 9 东南火学硕l 学位论文 引理3 2 1 2 1 设彳 既 疗 疗 m 1 m 是后 m 阶矩阵 r k m k 则 m a m 一 刀一m 尼 诬一m 引理3