河南省洛阳市高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

河南省洛阳市2015届高考数 学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合 a=1，2，3，4，5，b=1，2，3，c=z|z=xy，xa且yb，则集合c中的元素个数为( )a3b11c8d122已知i为虚数单位，复数z1=3ai，z2=1+2i，若 复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( )aa|a6ba|6aca|ada|a6或a3已知为第二象限角，sin，cos是关于x的方程2x2+（x+m=0（mr）的两根，则sincos的等于( )abcd4下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )a大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数b大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数c大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数d大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数5某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )ab82cd86已知 f（x）是定义域在r上的偶函数，且 f（x）在（，0上单调递增，设a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则a，b，c的大小关系是，( )aabcbbacccabdacb7执行如图的程序，则输出的结果等于( )abcd8在abc中，d为ac的中点，=3，bd与ae交于点f，若 =，则实数的值为( )abcd9设 f1f2分别为双曲线x2y2=1的左，右焦点，p是双曲线上在x轴上方的点，f1pf2为直角，则sinpf1f2的所有可能取值之和为( )ab2cd10曲线 y=（x0）在点 p（x0，y0）处的切线为l若直线l与x，y轴的交点分别为a，b，则oab的周长的最小值为( )a4+2b2c2d5+211若直线（3+1）x+（1）y+66=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是( )a（，）（9，+）b，（，1）（9，+）c（1，9）d（，）12在平面直角坐标系中，点p是直线 l：x=上一动点，点 f（，0），点q为pf的中点，点m满足mqpf，且 =（r）过点m作圆 （x3）2+y2=2的切线，切点分别为s，t，则|st|的最小值为( )abcd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设随机变量 n（，2），且 p（1）=p（1），p（2）=0.3，则p（20）=_14若正四梭锥pabcd的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_15将函数 y=sin（x）sin（x+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数的最小值为_16在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当c取最大值时，abc的面积为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知an，bn 均为等差数列，前n项和分别为sn，tn（1）若平面内三个不共线向量，满足=a3+a15，且a，b，c三点共线是否存在正整数n，使sn为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；（2）若对 nn+，有 =，求使 为整数的正整数n的集合18如图，abc中，abc=90，点d在bc边上，点e在ad上（l）若点d是cb的中点，ced=30，de=1，ce=求ace的面积；（2）若 ae=2cd，cae=15，ced=45，求dab的余弦值19已知圆s经过点a（7，8）和点b（8，7），圆心s在直线2xy4=0上（1）求圆s的方程（2）若直线x+ym=0与圆s相交于c，d两点，若cod为钝角（o为坐标原点），求实数m的取值范围20如图，直四棱柱abcda1b1c1d1，底面abcd为梯形abcd，abc=90，bc=cd=2ab=2（1）若cc1=2，e为cd1的中点，在侧面abb1a1内是否存在点f，使ef平面acd1，若存在，请确定点f的位置；若不存在，请说明理由；（2）令点k为bb1的中点，平面d1ac与平面ack所成锐二面角为60，求dd1的长21已知过点m（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p0）交于a，b两点，且=3，其中o为坐标原点（1）求p的值；（2）当|am|+4|bm|最小时，求直线l的方程22已知函数f（x）=ln（1+x）mx（1）若函数f（x）为（0，+）上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）求证：（1+sin1）（1+sin）（1+sin）（1+sin）e2河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合 a=1，2，3，4，5，b=1，2，3，c=z|z=xy，xa且yb，则集合c中的元素个数为( )a3b11c8d12考点：集合的表示法 专题：集合分析：根据题意和z=xy，xa且yb，利用列举法求出集合c，再求出集合c中的元素个数解答：解：由题意得，a=1，2，3，4，5，b=1，2，3，c=z|z=xy，xa且yb，当x=1时，z=1或2或3；当x=2时，z=2或4或6；当x=3时，z=3或6或9；当x=4时，z=4或8或12；当x=5时，z=5或10或15；所以c=1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15中的元素个数为11，故选：b点评：本题考查集合元素的三要素中的互异性，注意集合中元素的性质，属于基础题2已知i为虚数单位，复数z1=3ai，z2=1+2i，若 复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( )aa|a6ba|6aca|ada|a6或a考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：求出复数的表达式，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围解答：解：复数z1=3ai，z2=1+2i，=i；，解得6a，实数a的取值范围a|6a故选：b点评：本题考查了复数的代数运算问题，解题时应注意虚数单位i2=1，是基础题3已知为第二象限角，sin，cos是关于x的方程2x2+（x+m=0（mr）的两根，则sincos的等于( )abcd考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：利用根与系数的关系表示出sin+cos=，sincos=，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m的值，再利用完全平方公式求出sincos的值即可解答：解：sin，cos是关于x的方程2x2+（x+m=0（mr）的两根，sin+cos=，sincos=，可得（sin+cos）2=1+2sincos，即=1+m，即m=，为第二象限角，sin0，cos0，即sincos0，（sincos）2=（sin+cos）24sincos=2m=1+=，sincos=故选：a点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键4下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )a大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数b大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数c大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数d大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数考点：演绎推理的意义 专题：推理和证明分析：根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论解答：解：对于a，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于b，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于c，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于d，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；故选：b点评：本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题5某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )ab82cd8考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据三视图可判断正方体的内部挖空了一个圆锥，该几何体的体积为23122运用体积计算即可解答：解：几何体的三视图可得出：三个正方形的边长均为2，正方体的内部挖空了一个圆锥，该几何体的体积为23122=8，故选：d点评：本题考查了空间几何体的三视图，运用求解几何体的体积问题，关键是求解几何体的有关的线段长度6已知 f（x）是定义域在r上的偶函数，且 f（x）在（，0上单调递增，设a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则a，b，c的大小关系是，( )aabcbbacccabdacb考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论解答：解：f（x）是定义域在r上的偶函数，且 f（x）在（，0上单调递增，f（x）在0，+）上单调递减，则tan1，sin，cos0，则tansincos，则f（tan）f（sin）f（cos），即f（tan）f（sin）f（cos），故cab，故选：c点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键7执行如图的程序，则输出的结果等于( )abcd考点：程序框图 专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，t的值，当i=100，退出循环，输出t的值解答：解：执行程序框图，有i=1，s=0，t=0第1次执行循环，有s=1，t=1第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，t=1+第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，t=1+第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，t=1+第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+.+99，t=1+此时有i=100，退出循环，输出t的值t=1+，则通项an=，t=1+（1）+（）+（）+（）+（）=2=输出的结果等于故选：a点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了数列的求和，属于基本知识的考查8在abc中，d为ac的中点，=3，bd与ae交于点f，若 =，则实数的值为( )abcd考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：根据已知条件，能够分别用表示为：，kr，所以带入便可得到，=，所以根据平面向量基本定理即可得到，解不等式组即得的值解答：解：如图，b，f，d三点共线，存在实数k使，；=；=；，解得故选c点评：考查向量加法运算及向量加法的平行四边形法则，共面向量基本定理，以及平面向量基本定理9设 f1f2分别为双曲线x2y2=1的左，右焦点，p是双曲线上在x轴上方的点，f1pf2为直角，则sinpf1f2的所有可能取值之和为( )ab2cd考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意，不妨设|f1p|f2p|，a=b=1，c=；|f1p|f2p|=2，|f1p|2+|f2p|2=8；从而求出|f1p|=+1，|f2p|=1；再出和即可解答：解：由题意，不妨设|f1p|f2p|，a=b=1，c=；|f1p|f2p|=2，|f1p|2+|f2p|2=8；故（|f1p|+|f2p|）2=2（|f1p|2+|f2p|2）（|f1p|f2p|）2=284=12；故|f1p|+|f2p|=2；则|f1p|=+1，|f2p|=1；故则sinpf1f2的所有可能取值之和为+=；故选d点评：本题考查了圆锥曲线的应用，考查了圆锥曲线的定义，属于基础题10曲线 y=（x0）在点 p（x0，y0）处的切线为l若直线l与x，y轴的交点分别为a，b，则oab的周长的最小值为( )a4+2b2c2d5+2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：利用导数求出函数y=（x0）在点 p（x0，y0）处的切线方程，得到直线在两坐标轴上的截距，由勾股定理求得第三边，作和后利用基本不等式求最值解答：解：由y=，得，则，曲线 y=（x0）在点 p（x0，y0）处的切线方程为：y=（xx0）整理得：取y=0，得：x=2x0，取x=0，得|ab|=2oab的周长为=（x00）当且仅当x0=1时上式等号成立故选：a点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是中档题11若直线（3+1）x+（1）y+66=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是( )a（，）（9，+）b，（，1）（9，+）c（1，9）d（，）考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论解答：解：（3+1）x+（1）y+66=0等价为（3xy6）+（x+y+6）=0，则，解得，即直线过定点d（0，6）作出不等式组对应的平面区域如图：其中a（2，1），b（5，2），此时ad的斜率k=，bd的斜率k=，当直线过a时，=9，当直线过b时，=，则若直线（3+1）x+（1）y+66=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则满足直线的斜率，解得（，）（9，+），故选：a点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，运算量较大12在平面直角坐标系中，点p是直线 l：x=上一动点，点 f（，0），点q为pf的中点，点m满足mqpf，且 =（r）过点m作圆 （x3）2+y2=2的切线，切点分别为s，t，则|st|的最小值为( )abcd考点：圆的切线方程 专题：直线与圆分析：由题意首先求出m的轨迹方程，然后在m满足的曲线上设点，只要求曲线上到圆心的距离的最小值，即可得到|st|的最小值解答：解：设m坐标为 m（x，y），由mpl知p（，y）；由“点q为pf的中点”知 q（0，）；又因为qmpf，qm、pf斜率乘积为1，即 ，解得：y2=2x，所以m的轨迹是抛物线，设m（y2，y），到圆心（3，0）的距离为d，d2=（y23）2+2y2=y44y2+9=（y22）2+5，y2=2时，dmln=，此时的切线长为，所以切点距离为2=；|st|的最小值为；故选a点评：本题考查了抛物线轨迹方程的求法以及与圆相关的距离的最小值求法，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设随机变量 n（，2），且 p（1）=p（1），p（2）=0.3，则p（20）=0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据正态分布的性质求解解答：解：因为p（1）=p（1），所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为p（2）=0.3，所以p（20）=故答案为：0.2点评：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位14若正四梭锥pabcd的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为（62）考点：球内接多面体 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：运用分割思想，连接op，oa，ob，oc，od，得到四个三棱锥和一个四棱锥，由大的四棱锥的体积等于四个三棱锥的体积和一个小的四棱锥的体积之和，根据正四棱锥的性质，求出斜高，即可求出球的半径r，从而得到球的表面积解答：解：设球的半径为r，连接op，oa，ob，oc，od，得到四个三棱锥和一个四棱锥它们的高均为r，则vpabcd=vopab+vopad+vopbc+vopcd+voabcd即222=r（4spbc+4），由四棱锥的高和斜高，及斜高在底面的射影构成的直角三角形得到，斜高为，spbc=2=，r=，则球的表面积为4（）2=（62）故答案为：（62）点评：本题主要考查球与正四棱锥的关系，通过分割，运用体积转换的思想，是解决本题的关键15将函数 y=sin（x）sin（x+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数的最小值为2考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：化简可得y=sin（x）+将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin（x）+，所得图象关于y轴对称，可得=k，kz，从而可解得正数的最小值解答：解：y=sin（x）sin（x+）=sin2+sinx=sin（x）+，将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin（x）+=sin（x）+，所得图象关于y轴对称，=k，kz，可解得：=6k4，kz，k=1时，正数的最小值为2，故答案为：2点评：本题主要考查了函数y=asin（x+）的图象变换，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查16在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当c取最大值时，abc的面积为考点：余弦定理；正弦定理 专题：计算题；解三角形；不等式的解法及应用分析：运用余弦定理和基本不等式，求出最小值，注意等号成立的条件，再由面积公式，即可得到解答：解：由于b=1，a=2c，由余弦定理，可得，cosc=（3c+）=，当且仅当c=，cosc取得最小值，即有c取最大值，此时a=，则面积为absinc=故答案为：点评：本题考查余弦定理和三角形面积公式的运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知an，bn 均为等差数列，前n项和分别为sn，tn（1）若平面内三个不共线向量，满足=a3+a15，且a，b，c三点共线是否存在正整数n，使sn为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；（2）若对 nn+，有 =，求使 为整数的正整数n的集合考点：数列与向量的综合；数列的求和 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用分析：（1）根据平面向量的基本定理和a，b，c三点共线，以及等差数列的性质和求和公式，即可求出定值；（2）根据等差数列的求和公式得到=31+，继而求出正整数n的集合解答：解：（1）a，b，c三点共线r，使=，=（），即=（1）+，又平面向量的基本定理得，消去得到a3+a15=1，a3+a15=a1+a17=1，s17=17（a1+a17）=即存在n=17时，s17为定值（2）由于=31+根据题意n+1的可能取值为2，4，所以n的取值为1或3，即使 为整数的正整数n的集合为1，3点评：本题主要考查了向量以及等差数列的通项公式和求和公式的应用考查了学生创造性解决问题的能力，属于中档题18如图，abc中，abc=90，点d在bc边上，点e在ad上（l）若点d是cb的中点，ced=30，de=1，ce=求ace的面积；（2）若 ae=2cd，cae=15，ced=45，求dab的余弦值考点：三角形中的几何计算 专题：计算题；解三角形分析：（1）运用余弦定理，解出cd=1，再解直角三角形adb，得到ae=1，再由面积公式，即可得到ace的面积；（2）在ace和cde中，分别运用正弦定理，求出ce，及sincde，再由诱导公式，即可得到dab的余弦值解答：解：（1）在cde中，cd=，解得cd=1，在直角三角形abd中，adb=60，ad=2，ae=1，sace=；（2）设cd=a，在ace中，=，ce=（）a，在ced中，=，sincde=1，则cosdab=cos（cde90）=sincde=1点评：本题考查解三角形的运用，考查正弦定理和余弦定理，及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题19已知圆s经过点a（7，8）和点b（8，7），圆心s在直线2xy4=0上（1）求圆s的方程（2）若直线x+ym=0与圆s相交于c，d两点，若cod为钝角（o为坐标原点），求实数m的取值范围考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程 专题：直线与圆分析：（1）线段ab的中垂线方程：y=x，联立，得s（4，4），由此能求出圆s的半径|sa|（2）由x+ym=0，变形得y=x+m，代入圆s的方程，得2x22mx+m28m+7=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围解答：解：（1）线段ab的中垂线方程：y=x，联立，得s（4，4），a（7，8），圆s的半径|sa|=5圆s的方程为（x4）2+（y4）2=25（2）由x+ym=0，变形得y=x+m，代入圆s的方程，得2x22mx+m28m+7=0，令=（2m）28（m28m+7）0，得，设点c，d上的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=m，依题意，得0，x1x2+（x1+m）（x2+m）0，m28m+70，解得1m7实数m的取值范围是（1，7）点评：本题考查圆的半径的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意根的判别式和韦达定理的合理运用20如图，直四棱柱abcda1b1c1d1，底面abcd为梯形abcd，abc=90，bc=cd=2ab=2（1）若cc1=2，e为cd1的中点，在侧面abb1a1内是否存在点f，使ef平面acd1，若存在，请确定点f的位置；若不存在，请说明理由；（2）令点k为bb1的中点，平面d1ac与平面ack所成锐二面角为60，求dd1的长考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）以b为原点，bc，ba，bb1分别为x，y，z轴，建立坐标系，若存在这样的点f，则可设f（0，y，z），其中0y1，0z2，利用ef平面acd1，求出y=3，z=5，与0y1，0z2矛盾，即可得出结论；（2）设|dd1|=2k（k0），求出平面ack的法向量、平面acd1的法向量，利用向量的夹角公式，结合平面d1ac与平面ack所成锐二面角为60，求出k，即可求dd1的长解答：解：（1）以b为原点，bc，ba，bb1分别为x，y，z轴，建立坐标系，则a（0，1，0），b（0，0，0），c（2，0，0），d1（2，2，2），若存在这样的点f，则可设f（0，y，z），其中0y1，0z2，=（2，y1，z1），=（2，1，0），=（0，2，2），ef平面acd1，y=3，z=5，与0y1，0z2矛盾，不存在满足条件的点f；（2）设|dd1|=2k（k0），则k（0，0，k），d1（2，2，2k），=（0，1，k），=（2，1，2k），设平面ack的法向量为=（x，y，z），则，取=（k，2k，2），同理平面acd1的法向量为=（k，2k，2），则=k=或（负值舍去），dd1的长为或点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键21已知过点m（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p0）交于a，b两点，且=3，其中o为坐标原点（1）求p的值；（2）当|am|+4|bm|最小时，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设a（x1，y1），bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；（2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得b的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程解答：解：（1）设a（x1，y1），bx2，