大型柔性空间结构热_非线性动力学耦合有限元分析.pdf

ISSN 1000 0054 CN 11 2223 N 清华大学学报 自然科学版 J T singhua Univ Sci 热 动力学分析 大转动 几何非线 性 翘曲 中图分类号 V 414 1文献标识码 A 文章编号 1000 0054 2008 02 0276 04 Coupled thermal and nonlinear dynamics finite element analysis of flexible large space structures DUANJin XUE Mingde XIANG Zhihai Department of Engineering Mechanics Tsinghua University Beijing 100084 China Abstract A consistent beam element was developed for a coupled thermally and dynamics finite element analysis from solid mechanics theory and the basic principles of virtual work The geometric nonlinearities and sectional warping are taken into account Large rotation is considered by the structural element using Rodrigues formula Besides the nodal temperature variables are decomposed into both the average and the perturbation temperatures T he nonlinear governing equation is solved using the Newmark method and Newton Raphson iteration A transient temperature analysis is consolidated with a geometric nonlinear displacement analysis by the beamelement foranalyzing the coupled nonlinearthermal and dynamics response of large flexible space structures T he validity of the method is verified by comparing with well known numerical simulations in the literature A thermal and dynamics analysis of the HST solar array is presented to demonstrate the performance of the scheme Key words space structures thermally dynamic analysis large rotation geometric nonlinearity warping 开口和闭口薄壁杆件大量应用于航天结构的柔性 附件中 比如太阳翼和天线等 在进出地球阴影时 由 于热流条件的突变 其温度场会发生变化 从而容易诱 发该类结构的热 动力学问题 最有名的如1990 年 哈勃太空望远镜发射升空后 其太阳翼发生明显的弯 曲和扭转振动 绕地球几个周期后 结构发生屈曲破 坏 1 Thornton 和Kim 1 对该太阳翼进行热诱发振动 理论分析 较好地解释了该结构在进出地球阴影时 由 于热流条件的突变容易诱发弯曲振动 Xue 和Ding 2 采用有限元方法 提出了一种考虑辐射的闭口薄壁温 度杆单元 轴向温度采用两节点线性插值 截面内温度 分解成平均温度和摄动温度 并构造周向插值函数使 各谐温度解耦 Xue Duan 等 3 将该温度单元推广到 开口薄壁截面 并导出了小变形情况下的热 动力学 耦合方程 利用该单元对哈勃望远镜太阳翼进行热诱 发振动分析 其结果显示 进出地球阴影时 太阳翼会 发生明显的弯曲和扭转振动 文 1 4 均以小变形假设为前提 而航天器的 附件大多为柔性构件 应该考虑几何非线性的影响 本文考虑大转动的影响 采用更新的 Lagrange 格 式 推导 Euler Bernoulli 梁几何非线性热 动力学 方程 并采用Newmark 方法和Newton Raphson 迭 代联合求解 梁单元温度场不仅包含传统的平均温 度 还包括截面温差 2 3 梁单元的大转动分为侧向 转动和绕轴线的转动 前者采用 Rodrigues 公式计 算 后者是平面转动 本文将文 2 3 的温度场单元应用于几何非线 性动力学分析 将薄壁杆的瞬态温度场和几何非线 性统一起来 采用统一的梁单元模型求解其非线性 热 动力学响应 以期降低计算规模 分析大型柔性 空间结构的耦合热诱发振动问题 1 当前构型下梁的几何非线性热 动力学 方程 本文采用的单元模型是2 节点Euler Bernoulli 梁单元 满足如下假设条件 1 刚周边假定 2 大 转动 小应变 3 各向同性线弹性材料 在几何非线性分析中 梁单元的位移可分解为 刚体位移和弹性变形2 部分迭加 前者为几何非线 性分析提供参考构型 后者为其提供每一个迭代步 所需的预应力值 本文采用更新的Lagrange 格式 以t 时刻的梁构型 见图 1 为参考构型 建立梁单元 的平衡方程 以求解 t t 时刻的响应 由虚功原 理得 l 0 A t t t xx t x x t t t xy t x y t t t xz t xz dydzdx t tR 1 其中 t t t xx t t t x y和 t t t xz表示t t 时刻的轴向 应力 包括热应力 和剪应力 t x x t x y和t x z表示由t 至t t 时刻的增量应变 包括线性和非线性部分 t tR表示外载 包括惯性力 在该时间步内的虚功 式 1 积分得 M t t ta e t tKL t tKNL ta e t t tPe t t tPT t tP 2 其中 M 表示梁单元集中质量阵 t t ta e 表示t t 时刻梁节点的加速度 t tKL表示梁单元线性刚度阵 t tKNL表示梁单元几何非线性刚度阵 ta e 表示梁节 点的增量位移 t t tPe表示t t 时刻梁节点所受的 外 载 t t tPT表示t t 时刻梁节点的等效温度载 荷 详见文 3 t tP 表示t 时刻的节点内力 符号 表示扭转中心 图 1 开口薄壁梁单元运动图 上述方程通过3 次坐标转换并组集可得结 构总体方程 1 扭转中心转换到形心 转换矩阵记 为 3 2 t 时刻构型转换到0 时刻构型 转换矩阵 记为 t 0R 详见第2 节 3 0 时刻单元局部坐标转换 到总体坐标 结构总体的动力学方程为 M t ta tK a t tQ tF 3 其中 a 表示形心增量位移 t tQ表示外载 含等 效温度载荷 tF 表示结构内力 采用 Newmark 方法和Newton Raphson 迭代 可将式 3 改写为 5 tK 4 t 2 M a k t tQ t tF k 1 M 4 t 2 t ta k 1 ta 4 t ta ta 4 其中 k 表示迭代步 且 t tF 0 t F t ta 0 t a 须指出的是 薄壁杆单元的温度分解为平均温 度和摄动温度 反映在方程 4 的 tK 和t tQ 中 具体 计算参考文 3 2 大转动情况下梁节点位移的转换关系 对于本文的开口薄壁梁单元 每个节点共有7 个自由度 3 个位移自由度 3 个转角自由度 以及 截面翘曲自由度 该自由度与截面翘曲函数的乘积 可描述截面内任意点的翘曲值 3 对其作坐标转换 时 忽略翘曲自由度的转换 其转换矩阵可表示为 t 0R t 0R t 0R O 1 t 0R O t 0R 1 5 其中 t 0R 为3 3 矩阵 它表示坐标系 0 x 0 y 0 z 与 t x t y tz 的转换关系 O 为零矩阵 梁单元局部坐标通过刚体位移从0 时刻构型转 到t 时刻构型 其过程可分为侧向转动和轴向转动2 步 1 坐标轴 0 x 0y 和0z 绕空间某一轴线 沿该轴 线的单位矢量为 te 转动 t 角至 t x ty 和tz 如图2a 所示 该转动按Rodrigues 公式 6 计算 转动矩阵记 为 tR d t 其关键在于求解空间角矢量t 2 ty 和 tz 绕坐标轴 tx 转动t 角至ty 和tz 该过程是平面转 动 如图2b 所示 转动矩阵记为 tR a t 其关键在于 求解 t 图2 梁单元大转动 初始构型到当前构型的转换矩阵 t 0R 可表示为 t 0R tR a t tR d t 6 如图2a 所示 梁单元初始时刻的轴方向单位矢 量记为 0e x 是已知的 t 时刻的轴方向单位矢量记 为 te x 它由梁节点原始坐标和节点位移确定 也是 已知的 由 0e x和 te x可确定空间角矢量 t 即 277 段 进 等 大型柔性空间结构热 非线性动力学耦合有限元分析 t arccos 0e x te x 0e x te x 0e x te x 7 按Rodrigues 公式 6 侧向转动矩阵 tR d t 可 表示如下 tR d t T I sin t t S t 1 cos t t 2S t 2 8 其中 I 为3 3 的单位矩阵 S t 为3 3 反对称矩 阵 6 轴向转动是平面转动 Bathe 和Bolourchi 在文 7 中已给出详细表达式 3 数值算例 下面先给出 2 个典型的几何非线性动力学算 例 通过与已有文献结果比较 验证本文方法的可靠 性 然后利用本文方法分析哈勃望远镜的太阳翼 并 解释1990 年著名的哈勃太阳翼失效事件 3 1 固支梁受集中力作用 两端固支梁中部受突加的集中力作用 杆长为 L 横截面为矩形 宽和高分别为b 和h 突加载荷P 2848N 几何尺寸和材料参数如图3 所示 梁中 部挠度w 与时间t 的关系曲线如图4 所示 其中非线 性解对应左侧坐标 线性解对应右侧坐标 图4显示 1 线性分析的振幅远大于非线性分 析振幅 其准静态变形 图中未显示 也有同样规律 这是因为该工况下非线性刚度远大于线性刚度 2 本文结果与文 8 9 的结果吻合较好 这在一定程 度上证明了本文方法的可靠性 另外 由于非线性振 动频率明显高于线性振动频率 计算时所取的时间 步长也不相同 本算例中非线性分析时间步长为25 2 平衡位置突然发生显著变化 图 6显示 当载荷参数 其定义见图6 P 0 195 时 曲 梁绕平衡位置 0 25 附近振动 振幅约为0 5 当 P 0 205 时 平衡位置突变到 1 6 振幅激增至 3 2 结构显然已经屈曲 因此 该曲梁的屈曲点应 该在P 0 195 0 205 略低于文 10 的计算结果 P 0 210 0 215 略高于文 11 的P 0 190 0 20 当P 0 205 时 本文的计算结果与文 12 的结 果吻合 当P 0 25 时 本文结果与文 10 11 的结 果吻合 另外 观察图6 可知 当载荷参数P 达到屈 曲载荷后 随着P 的增加 结构平衡位置和振幅均不 会明显增加 但屈曲时间点会明显提前 该结论与文 10 一致 图 5 简支曲梁模型图 3 3 哈勃太阳翼热 动力学分析 哈勃望远镜太阳翼模型如图 7 所示 太阳毯采 用梁单元构成的网来模拟 太阳热流始终垂直表面 入射 数值为1 350kW m 2 太阳翼几何尺寸和材料 图 6 简支曲梁挠度参数时间响应图 参数见文 1 3 左梁和右梁均是开口薄壁截面 由 于展开机构的原因 无法保证开口方向的对称性 本 文假设左梁开口朝Y 方向 右梁由Y 向Z 轴偏转 278 清 华 大 学 学 报 自 然 科 学 版 2008 48 2 角 当 0 时 太阳翼是左右对称结构 不会出现 扭转现象 该情况等效于文 1 的闭口薄壁模型 当 0 时 由于左右开口薄壁杆的温度分布不同 其 热 动力学响应也不同 结构会发生扭转振动 1 当 10 时 左梁和右梁端部的挠度时间曲线如图8 所示 左右梁端部的挠度偏差约为0 2m 2 当 20 时 挠度时间曲线如图9 所示 非线性分析结果 显示哈勃望远镜的太阳翼此时已经发生动力屈曲 该结论跟实际观测的结果 1 一致 图7 哈勃太阳翼模型图 图8 10 梁端部挠度图 图9 20 梁端部挠度图 4 结 论 本文考虑大转动的影响 导出薄壁杆结构几何 非线性热 动力学有限元方程 对于厚壁杆或者实 心杆 可忽略截面翘曲或者选取特殊的翘曲函数 因 此本文方法对于普通梁杆结构有一定的通用性 本 文将薄壁构件的瞬态温度场计算与几何非线性动力 学分析统一起来 大大降低了计算规模 提高了计算 效率 可用来方便地分析大型柔性空间结构 用本文 方法分析哈勃望远镜的太阳毯 得出了与实际观测 一致的结论 参考文献 References 1 T hornton E A Kim Y K Thermally induced bending vibrationsofaflexiblerolled upsolararray J J Sp acecraf t Rockets 1993 30 4 438 448 2 Ding Y Xue M D Kim J K Thermo structural analysis of space structures using Fourier tube elements J Comp ut Mech 2005 36 4 289 297 3 XUEMingde DU AN Jin XIANGZhihai T hermally induced bending torsion coupling vibration of large scale spacestructures J Comp utationalMechanics 2007 40 4 707 723 4 程乐锦 薛明德 大型空间结构热 动力学耦合有限元分析 J 清华大学学报 自然科学版 2004 44 5 681 684 688 CHENG Lejin XUEMingde Coupled thermal dynamic FEM analysis of large scale space structures J J Tsinghua Univ Sci T ech 2004 44 5 681 684 688 in Chinese 5 BatheKJ FiniteElementProcedures M NJ Prentice Hall 1996 6 Crisfield M A Non Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures Advanced T opics M Chichester Wiley 1997 7 Bathe K J Bolourchi S Large displacement analysis of three dimensi