第2章 随机变量及其分布习题答案.pdf

习题 2 1 2 2 1 下列表中所列出的是否是某个随机变量的分布律 1 X 0 1 2 P 2 0 3 0 5 0 2 Y 1 2 3 P 1 0 3 0 4 0 3 解 由概率的非负性及规范性可知 2 不是 1 3 是 2 一袋中有 5 个乒乓球 编号分别为 1 2 3 4 5 从中随机抽取 3 个 以X表示取出的 3 个球中最大的号码 求X的分布律 解 基本事件总数为10 3 5 C 设 iAi最大号码为 5 4 3 i 于是 1 0 1 3 5 3 C AP 3 0 3 5 2 3 4 C C AP 6 0 3 5 2 4 5 C C AP 而 k APkXP 5 4 3 k 所以X的分布律如下表所示 X 3 4 5 P 1 0 3 0 6 0 3 对某一目标进行射击 直至击中为止 如果每次射击命中率为p 求射 击次数的分布律 解 直到第一次击中目标为止的射击次数的X分布律为 pqkXP k 1 2 1 k 4 设离散型随机变量X的分布律为 k CkXP 3 2 2 1 k 求C的值 解 由分布律的性质 有 11 2 3 2 1 kk k CCkXP 可求得 2 1 C 5 一幢大楼装有 5 个不同类型的供水设备 调查表明在任一时刻t每个设 备被使用的概率为 0 1 问在同一时刻 1 恰有 2 个设备被使用的概率是多少 2 至少有 3 个设备被使用的概率是多少 3 至多有 3 个设备被使用的概率是多少 4 至少有 1 个设备被使用的概率是多少 解 设被使用的设备数为 则 的可能值为 则 1 0729 0 9 0 1 0 2 322 5 CXP 2 00856 0 9 0 1 0 3 5 3 5 5 k kkk CXP 3 99954 0 9 0 1 0 3 3 0 5 5 k kkk CXP 4 40951 0 9 0 1 9 0 1 0 1 1 550 5 k CXP 6 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为 0 3 的泊松分布 试问 1 在一周内恰好发生 2 次交通事故的概率是多少 2 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率是多少 解 1 0334 0 2 3 0 2 3 02 e XP 2 259 0 1 3 0 1 1 1 1 3 0 e XPXP 7 已知一电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布 求 1 每分钟恰有 8 次呼唤的概率 2 每分钟呼唤次数大于 8 的概率 解 1 4 8 8 4 8 eXP 可以直接计算这个数值 但比较繁 使用泊松分布表 附表 可使计算简单多 了 查附表 对于4 8 0 7 0 02977 094887 097864 0 8 ii ii e i e i XP 2 8 0 4 02136 097864 01 4 1 8 1 8 i i e i XPXP 习题 2 3 1 设X的分布函数为 0 1 x eA xF 0 0 x x 求常数A及 31 XP 解 由1 lim xF x 而AeA x x 1 lim 因此1 A 1 3 1 3 31 FFXPXPxP 3113 1 1 eeee 2 一口袋中有 6 个球 球上分别标有3 3 1 1 1 2 这样的数字 从中任取一 球 设各个球被取到的可能性相同 求取得的球上标明的数字X的分布律与分 布函数 0 3 1 31 3 5 12 6 1 2 x x F xP Xx x x 解 3 1 6 2 3 1 6 1 2 C C XP 2 1 1 XP 6 1 2 XP 于是X的分布律为 的分布函数为 由 xx k k pxF 可得X 机变量X的分布函数为 0 1 0 4 11 0 8 13 1 3 x x F x x x 3 设离散型随 求X的分布律 解 由 xx k k pxF 可得X的分布律为 X 1 1 3 P 0 4 0 4 0 2 习题 2 4 1 设连续型随机变量X的概率密度为 01 0 Axx f x 其它 求 1 常数A 2 00 5 PX 3 0 252 PX 解 1 1 0 2 1 A Axdxdxxf 即 2 A 2 25 02 5 00 5 0 0 xdxXP 3 9375 02 225 0 1 25 0 xdxXP X 3 1 2 P 3 1 2 1 6 1 2 设随机变量X具有概率概率密度 0 0 0 3 x xKe xf x 1 试确定常数K 2 求 0 1 P X 3 求 F x 解 1 3 1 0 3 K dxKedxxf x 即 3 K 2 7408 031 1 0 1 1 0 1 0 0 3 dxeXPXP x 3 x dttfxF 当0 x时 0 xF 当0 x时 x xx t edtedttfxF 3 00 3 13 从而 0 0 0 1 3 x xe xF x 3 设随机变量X的分布函数为 1 ln 0 xxF 1 1 ex ex x 1 求 2 XP 30 XP 252 XP 2 求X的概率密度 xf 解 1 2ln 2 2 FXP 101 0 3 0 3 30 FFXPXPXP 4 5 ln 2 2 5 2 5 2 2 5 2 FFXPXP 2 由 xFxf 有 0 1 x xf 其它 1ex 4 若随机变量K在 1 6 上服从均匀分布 求方程01 2 Kxx有实根的概 率是多少 解 由 在 1 6 上服从均匀分布 则 的概率概率密度为 其他 61 0 5 1 k kf 又01 2 kxx有实根 等价于04 2 k 得2 k或2 k 故方程有实 根的概率为 5 4 5 1 0 2 2 6 2 dkdkkfdkkfp 5 某类日光灯管的使用寿命X 单位 小时 服从参数为 1 2000 的指数分 布 任取一只这种灯管 求能正常使用 1000 小时以上的概率 解 1000 5 0 2000 607 0 2000 1 1000 edxeXP x 6 设 2 3 2 XN 1 求 25 410 2 3 PXPXPXP X 2 试确定c使得 P XcP Xc 3 设d满足 0 9P Xd 问d至多为多少 解 由题意 8 3 2 22 1 x exf 1 2 1 1 2 35 2 3 2 32 52 x PXP 5328 06915 018413 0 2 7 2 7 2 310 2 3 2 34 104 x PXP 9996 01 2 7 2 2 2 1 2 2 2 XPXPXPXPXP 2 32 2 3 2 32 2 3 1 X P X P 6977 0 2 5 2 1 1 5 05 01 0 1 2 33 2 3 1 3 1 3 X PXPXP 2 由 P XcP Xc 则 1cXPcXP 2 1 2 3 2 3 cX PcXP 2 1 2 3 c 查表得0 2 3 c 故3 c 3 9 0 dXP 即9 0 2 3 1 d 故 282 1 9 0 2 3 d 从而 282 1 2 3 d 因此436 0 d 7 公共汽车的高度是按男子与车门顶碰头的机会在 0 01 以下来设计的 设 男子身高X 单位 cm 服从正态分布 6 170 2 N 试确定车门的高度 解 设男子身高X 选择的车门高度x应满足 01 0 xXP 又 6 170 2 NX 所以 01 0 6 170 6 170 xX PxXP 即 99 0 6 170 x 31 2 6 170 x 所以86 183 x 故选择的车门高度应为 183 86cm 为便于制造可取为m84 1 习题 2 5 1 设离散型随机变量X的分布律为 2 012 P 0 1 0 2 0 3 0 3 0 1 求 1 31YX 的分布律 2 2 2ZX 的分布律 解 1 因为 的可能取值为 5 2 1 4 7 而且 1 0 2 5 XPYP 2 0 1 2 XPYP 3 0 0 1 XPYP 3 0 1 4 XPYP 1 0 2 7 XPYP 因而 的分布律为 2 2 2ZX 的分布律为 再 对 相等的值合并 得 2 设随机变量X服从 0 2 上的均匀分布 求随机变量 3 YX 的概率密度 解 利用定理 1 中 2 5 1 式求解 X的概率密度为 0 20 2 1 其他 x xf 函数 3 xxgy 其值域为 8 0 单调且有唯一反函数 3 1 yyhx 8 0 y Y 5 2 1 4 7 P 0 1 0 2 0 3 0 3 0 1 Y 2 2 2 2 1 2 2 02 2 12 2 22 P 0 1 0 2 0 3 0 3 0 1 Z 0 2 8 P 0 3 0 5 0 2 且 3 2 3 1 yyhx 将 xh y 及其导数代入 2 5 1 式 得Y的概率密度为 2 3 1 08 6 0 yy f y 其它 3 设 0 1 XN 求 2 21YX 的概率密度 解 1 0 1 yyFy 2 1 12 22 y XPyXPyYPyF 2 1 2 1 2 1 2 1yyy X y P 1 2 1 2 y 由 yFyf 有 1 4 1 1 2 1 0 y ey f yy 其它 自测题 2 满分 100 分 测试时间 100 分钟 一 单项选择题 本大题共 5 个小题 每小题 2 分 共 10 分 1 下面四个选项符合分布律要求的是 A 1 2 3 6 x P Xxx B 1 2 3 4 x P Xxx C 1 1 3 3 x P Xxx D 2 1 1 3 8 x P Xxx 2 设随机变量 2 NX 其概率密度的最大值为 A 0 B 1 C 2 1 D 2 1 2 2 3 设连续型随机变量X的分布函数是 xF 概率密度是 xf 则 P Xx A xF B xf C 0 D 以上都不对 4 若函数 xfy 是一随机变量X的概率密度 则 一定成立 A xfy 的定义域为 0 1 B xfy 非负 C xfy 的值域为 0 1 D xfy 在 内连续 5 设随机变量 2 XN 则随 的增大 概率 P X 应 A 单调增大 B 单调减小 C 保持不变 D 增减不定 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 C 二 填空题 本大题共 6 个小题 每小题 3 分 共 18 分 1 随机变量X的分布函数 xF是事件 的概率 2 已知离散型随机变量 X 的分布律如下表 X 1 2 3 P 0 2 0 3 0 5 则概率 3 P X 2 P X 3 设随机变量X服从 0 10 上的均匀分布 则 25 PX 4 已知连续型随机变量 EX 若 1 0 05P X 则 5 已知连续型随机变量X的分布函数是 3 0 0 1 03 27 1 3 x F xxx x 则 2 P X 11 PX 6 设随机变量 2 8 XN 则51YX 服从 分布 答案 1 P Xx 2 0 5 0 8 3 0 3 4 ln0 95 5 8 27 1 27 6 9 200 N 三 计算题 本大题 4 个小题 每小题 15 分 共 60 分 1 设随机变量X的概率密度为 01 0 0 0 b kxxbk f x 其它 且 1 0 75 2 P X 求bk 解 因为 1 1 1 0 b k dxkxdxxf b 又 25 0 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 1 b bb b k x b kdxkxXPXP 所以 1 2 bk 2 某手表厂 手表月误差 400 5 NX 单位 s 月误差在5 秒到10秒 之间为一级品 现从生产线上任取一手表 测试为一级的概率是多少 解 20 510 20 5 20 55 105 X PXP 2 1 4 1 4 1 20 5 2 1 X P 2902 0 6915 01 5987 0 3 设随机变量 2 XE 求 X Ye 的概率密度 解 因为 2 XE 所以 0 0 0 2 2 x xe xf x 再由定理 2 5 1 可得 0 0 2 3 其它 yy yf 4 已知随机变量的概率密度为 x f xAe x 求 1 求系数A 2 求分布函数 F x 3 求 11 PX 解 1 0 0 2 1AdxedxeAdxxf xx 即 5 0 A 2 由分布函数的定义 x dttfxF 当0 x时 x x t edtexF 2 1 2 1 当0 x时 x x tt edtedtexF 2 1 1 2 1 0 0 从而 1 0 2 1 1 0 2 x X x ex Fx ex 3 111 1 2 1 2 1 1 1 1 1