南开大学高等数学课件1.3 导数与微分.ppt

第一章微积分1 3导数与微分 2 3导数与微分 主要教学内容 导数与微分的概念 计算高阶导数隐函数的导数与微分分段函数的导数经济学函数的弹性用微分作近似计算二元函数的导数与微分 2 3导数与微分 导数的概念1 曲线的切线斜率圆的切线 与圆相交于唯一点的直线 但对于一般曲线 切线是不能这样定义的 例如下图中右边的曲线在P点处的切线 除P点外还交曲线于Q点 2 3导数与微分 为确切表达切线的含义 需应用极限的思想 请看下图 2 3导数与微分 点P x0 f x0 P x0 y0 是曲线y f x 上的给定点 点Q x y Q x f x 是曲线上的动点 可在P的两侧 在右侧时x x0 在左侧时x x0 动直线PQ是曲线的割线 如果动点Q无限地逼近定点P时 动直线PQ有一个极限位置PT 即则称PT为曲线在P点的切线 建立PT的方程 只需确定其斜率 由于PT是PQ的极限 从而PT的斜率是PQ斜率的极限 极限过程是由Q P产生 而Q P即x x0 现设PT对于x轴的倾角 即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角 为 PT的斜率为k tan 2 3导数与微分 现在割线PQ的斜率为 则切线PT的斜率为 由此得切线PT的方程是 y f x0 k x x0 2 3导数与微分 2 导数的定义定义 设函数y f x 在点x0的一个邻域X内有定义 y0 f x0 如果x X x0 我们称 x x x0 读作delta 为自变量的改变量 y f x f x0 为函数的 对应 改变量 比值为函数的差商或平均变化率 如果极限存在 则称函数y f x 在点x0可导 或可微 该极限称为函数y f x 在x0点关于自变量x的导数 或微商 记作 因 x x x0 x x0 x 故还有 此时 曲线y f x 在点 x0 f x0 的切线方程是注 x可正可负 依x大于或小于x0而定 2 3导数与微分 2 3导数与微分 根据定义求已知函数y f x 在给定点x0的导数的步骤是 1 计算函数在自变量x0 x处的函数值f x0 x 2 计算函数的对应改变量 y f x0 x f x0 3 写出函数的差商4 计算极限 即导数值 2 3导数与微分 例2 3 1求常数函数y c的导数 解 因 y y x x y x c c 0 差商此处x可为任意实数 即常数函数y 在任意点x处的导数为0 2 3导数与微分 例2 3 2设n是正整数 求幂函数y xn在点x处的导数 解 因特别 当n 1时 函数y x在任意点x处的导数为1 2 3导数与微分 例2 3 3求曲线y x3在点 2 8 处的切线方程 解 在上例中取n 3可知函数y x3在点x处的导数为3x2 于是在点 2 8 处的切线斜率是 y 2 3 22 12 故曲线y x3在 2 8 处的切线方程是 y 8 12 x 2 即12x y 16 0 2 3导数与微分 注 1 一般情况下 给定函数y f x 在某个区间X内每一点都可导 这样可求出X内每一点的导数y x x X 于是y x 成为X内有意义的一个新函数 它为给定函数y f x 的导函数 且常常省略定义中的字样 在x点处关于自变量的 甚至简称f x 的导数 例如 常数函数y c的导数是0 y x的导数是1 y xn的导数是nxn 1等等 分别记作c 0 x 1 xn nxn 1等等 2 关于改变量的记号 应把它与其后面的变量x或y看作一个整体 绝不能把 x看成 与x的乘积 为避免误解 用 x 2来表示 x的平方 2 3导数与微分 例2 3 4y sinx的导数是 sinx cosx y cosx的导数是 cosx sinx 证同理可证 cosx sinx 2 3导数与微分 例2 3 5y logax 0 a 1 的导数是 logax 特别 lnx 1 x 2 3导数与微分 例2 3 6指数函数y ax 0 a 1 的导数是 ax axlna 证 ax 特别 2 3导数与微分 2 3 2 变化率问题1 运动速度问题设一质点沿直线运动 经过的路程s是时间t的函数 s s t 时刻t到t t时间段内质点的平均速度为 该瞬时速度v t 就是极限 即质点运动速度是路程s关于时间t的导数 2 3导数与微分 例2 3 7已知自由落体的运动方程为s gt 其中g 9 8 m s2 是重力加速度常数 t与s分别以秒 s 和米 m 为单位 求 1 落体在t到t t时间内的平均速度 2 落体在t 2 t 0 1 0 01 0 001 0 0001这些时间段内的平均速度 3 落体在t及t 2时刻的瞬时速度 解 1 落体在t到t t时间内的行程是 s 因此平均速度 2 3导数与微分 2 按照 1 所求出的平均速度表达式 我们用下表列出t 2开始的各个时间段内的平均速度 t时刻的瞬时速度 在t 2时刻的瞬时速度是 v 2 2g 2 9 8 19 6 m s 2 3导数与微分 2 经济学函数的边际 不作为基本要求 边际 导数在经济理论中的别名 设y f x 是某个经济学函数 经济学把自变量在x0处变化一个单位所引起的函数变化称为函数f x 在x0处的边际变化 自变量单位的大小可能引起大小不同的误差 比如成本函数C C x 自变量x是产量 用吨作单位与千克作单位 引起的成本变化就相差很大 为减小这种误差 应取尽可能小的单位 但不管取多小的单位 自变量的取值还是非负整数 为了运用科学的微积分工具 我们假定成本等经济学函数的自变量x可取连续的非负实数值 2 3导数与微分 下面仍以成本函数C C x 为例 自变量 产量 x0 x0 x变化 x 个单位 函数 成本 C x0 C x0 x 变化 C C x0 x C x0 差商是 x个产量的平均成本 即从x0到x0 x时1个单位的自变量变化引起函数的平均变化 如果 x 1 得C x0 C C x0 1 C x0 由此可见 C x0 近似地表示产量从x0增加1个单位时的添加成本 或近似地表示第x0 1个单位产量的成 但经济学中常略去 近似 二字 把C x0 称为边际成本 并解释为在产量x0的水平上 再增加1个单位产量所增加的成本 定义设经济学函数y f x 在x0可导 则称导数f x0 为函数f x 在x0处的边际值 若f x 是可导函数 则导数f x 称为f x 的边际函数 2 3导数与微分 例2 3 8设某产品的总成本函数为C x 1100 其中x为产量数 求 1 生产900个单位时的总成本与平均成本 2 生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率 3 生产900个单位时的边际成本 并解释其实际经济意义 解 1 生产900个单位时的总成本为C 900 1100 1775 此时的平均成本为 2 3导数与微分 2 生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为 3 生产x个单位时的边际成本为 因此生产900个单位时的边际成本为 其经济意义是 当产量在900的水平上 若生产增加 或减少 1个单位 成本将增加 或减少 1 5 注 此处C 900 1 5 指的是近似于1 5 即生产第901个产品的成本近似于1 5 生产第900个产品的成本也近似于1 5 实际上 经计算C 901 C 900 1 5008 C 900 C 899 1 4992 教材第51页上 应该熟记 基本初等函数的导数公式 2 3导数与微分 已得基本初等函数导数公式如下 2 3导数与微分 2 3 3微分概念在学习了导数之后 我们学习与导数相伴的微分概念 让我们回到导数定义的图 并放大P点邻近的图形 在光滑曲线y f x 上点P x0 f x0 的邻近 曲线看起来像直线 就是过P的切线 其斜率是导数f x0 由于一次函数的计算比绝大多数别的函数简单 因此我们可以期望在P的邻近近似地用切线PT来代替曲线 即用一次函数y f x0 f x0 x x0 来代替y f x 设函数y f x 可导 其图象是光滑曲线 取定点P x0 f x0 如下图所示 2 3导数与微分 2 3导数与微分 2 3导数与微分 2 3导数与微分 定义 设函数y f x 在x0可导 则 x的线性倍数f x0 x称为y f x 在x0对应于自变量改变量 x的微分 记作dy f x0 x 注1 微分依赖于两个因素 1 函数的导数f x0 2 是自变量的改变量 x 一旦x0取定 导数f x0 也就取定 此时微分仅与 x成正比 比例系数即f x0 2 3导数与微分 2 3导数与微分 定理2 3 1若函数y f x 在x0可导 则f x 在x0连续 2 3导数与微分 现在 y dy 得计算函数值的近似公式f x0 x f x0 f x0 x例2 3 9求函数y x在x处对应于自变量改变量 x的微分 解 因x 1 故微分为dy y x x 1 x x 另一方面 y x dy dx 由此得dx x 这表明自变量的微分等于自变量的改变量 2 3导数与微分 于是又可把微分dy f x0 x写成dy f x0 dx 注意dx x是自变量x的改变量 恒不为0 又可得到综上所述 对每一函数y f x 有导数 可导 与有微分 可微 是同一件事 求导数与求微分的运算规律就完全统一在下述公式中 dy f x dx 2 3导数与微分 从前面得到的导数公式有如下微分公式 2 3导数与微分 函数y f x 在点x0导数为函数y f x 的微分为 dy f x dx 2 3导数与微分 2 3导数与微分 已得基本初等函数导数公式如下 2 3 4导数与微分的计算1 导数与微分的四则运算设u u x v v x 为可导函数 c为常数 则公式1 u v u v d u v du dv 证 u x v x 2 3导数与微分 公式2 uv u v uv d uv vdu udv证 2 3导数与微分 公式3 cu cu d cu cdu证 2 3导数与微分 2 3导数与微分 2 3导数与微分 2 3导数与微分 例12求y tanx y cotx的导数 2 3导数与微分 例13求y secx y cscx的导数 2 3导数与微分 例14求y 1 4x 2x2 3x3 的导数 2 3导数与微分 例15求函数y x sinx lnx的微分 2 复合函数的导数与微分定理2 3 2 链锁法则 设z f y y g x 分别在点y0 g x0 与x0可导 则复合函数z f g x 在x0可导 且 2 3导数与微分 链锁法则的几点说明1 略去法则中的x x0与y y0 法则成为公式2 计算复合函数值的过程为 而复合函数求导的过程为 2 3导数与微分 2 3导数与微分 例16求y sin5x的导数 2 3导数与微分 例17求y lncosx的导数 2 3导数与微分 例18求幂函数y xm的导数 m为任意实数 注3 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数 注4 在熟练掌握链锁法则以后 为简便写法 中间变量v u z等可不必写出 只要心中有数即可 注5 链锁法则的微分形式为 2 3导数与微分 例19求的导数 2 3导数与微分 例2 3 19求函数的微分 2 3导数与微分 基本初等函数的导数与微分公式例2 3 20求的微分 2 3导数与微分 2 3导数与微分 导数的导数 二阶导数定义 若函数y f x 的导数y f x 可导 则称y f x 的导数 y f x 为y f x 的二阶导数 记作 y f x 递推地 若函数y f x 的n 1阶导数存在且可导 则函数y f x 的n阶导数为 统称为函数y f x 的高阶导数 2 3导数与微分 2 3导数与微分 2 3导数与微分 隐函数的导数与微分定义 由方程F x y 0 其中x为自变量 y为因变量 确定的函数y f x 称之为隐函数 例如 有的可以从方程中解出y 表示为显函数y f x 有的不能 2 3导数与微分 隐函数求导的方法方法1 在方程F x y 0中 把y看成x的函数 y y x 于是方程可看成关于x的恒等式F x y x 0 其两端对x求导 即可求出隐函数的导数 2 3导数与微分 方法2 对方程两边求微分 再导出导数 2 3导数与微分 例2 3 26一飞机在离地面1200m的高空以速率150 m s 向探照灯L沿水平直线飞行 见右图 探照灯强光照在机身 试问 当飞机在地面上的正投影A离探照灯600m时 为使灯光不离开机身 探照灯应以怎样的速度逆时针旋转 2 3导数与微分 解 记时间变量为t 探照灯光线的仰角 由地平线逆时针转向光线的角 为 t 飞机在地面上的正投影A离探照灯L的距离LA为x x t 它们都是t的函数 按题意 首先建立变量 与x的联系方程 tan 1200 x 1 对此方程两边求微分 2 3导数与微分 2 3导数与微分 例2 3 27求曲线x2 xy y2 4在点 2 2 处的切线方程 解 过点 2 2 的切线由其斜率确定 为此先求该方程确定的函