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专题：万有引力定律及应用万有引力定律及其应用II (考纲要求)一、开普勒行星运动定律1. 开普勒第一定律（轨道定律）:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。2. 开普勒第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的面积。（近日点速率最大，远日点速率最小） 3. 开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等。即（M为中心天体质量）K是一个与行星无关的常量，仅与中心天体有关二、万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比2表达式：F，G为引力常量：G6.671011 Nm2/kg2.3适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离.环绕速度II (考纲要求)1.第一宇宙速度又叫环绕速度推导过程为：由mg得：v 7.9 km/s.2第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度3第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度第二宇宙速度和第三宇宙速度I (考纲要求)1.第二宇宙速度(脱离速度)：v211.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度2.第三宇宙速度(逃逸速度)：v316.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度特别提醒: (1)两种周期自转周期和公转周期的不同 (2)两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大的环绕速度等于最小的发射速度 (3)两个半径天体半径R和卫星轨道半径r不同1人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系 越高越慢2同步卫星的五个“一定”轨道平面与赤道平面共面.与地球自转周期相同，即T24 h.与地球自转的角速度相同.由Gm(Rh)得同步, 卫星离地面的高度h R.v .3计算中心天体的质量及密度基本思路：(1)从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r等条件 (2)从中心天体本身出发:已知中心天体的表面重力加速度g和半径R4 卫星的机械能 由机械能守恒定律，对地球与卫星组成的系统，在地球表面的机械能与飞到无限远处的机械能相等。由引力势能的表达式： 卫星的机械能应该是卫星的动能和势能之和，即得 考点一 万有引力定律在天体运动中的应用(小专题)利用万有引力定律解决天体运动的一般思路1一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型2两组公式Gmm2rmrmamg(g为星体表面处的重力加速度)【典例1】 火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍根据以上数据，以下说法正确的是()A火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B火星公转的周期比地球的小C火星公转的线速度比地球的大 D火星公转的向心加速度比地球的大解析本题考查万有引力定律和有关天体运动的问题，意在考查考生对天体运动中各物理量之间的相互关系的掌握情况和分析比较能力由mg得：2，所以选项A正确；由GMr，得T，1，所以选项B错误；由GM，得v ，a，所以选项C、D都不对 答案A【变式1】 “嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，月球半径为地球半径的，根据以上信息，下列说法错误的是()A绕月与绕地飞行周期之比为 B绕月与绕地飞行周期之比为C绕月与绕地飞行向心加速度之比为16 D月球与地球质量之比为196解析由Gmg可得月球与地球质量之比：，D正确由于在近地及近月轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似等于地球的半径与月球的半径，由Gm2R，可得： ，A正确由Gma可得：，C正确 答案B【变式2】 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G6.671011 Nm2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为()A1.8103 kg/m3 B5.6103 kg/m3 C1.1104 kg/m3 D2.9104 kg/m3解析近地卫星绕地球做圆周运动时，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，即：Gm2R，由密度、质量和体积关系有MR3，由两式得：5.56103 kg/m3.由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即15.56103 kg/m32.9104 kg/m3，D正确 答案D考点二天体表面重力加速度的求解星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mgG，即g(或GMgR2)若物体距星体表面高度为h，则重力mgG，即gg.【典例2】 英国新科学家(New Scientist)杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650500双星系统中发现的最小黑洞位列其中若某黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A108 m/s2 B1010 m/s2 C1012 m/s2 D1014 m/s2解析星球表面的物体满足mgG，即GMR2g，由题中所给条件推出GMRc2，则GMR2gRc2，代入数据解得g1012 m/s2，C正确 答案C【变式3】 近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则()A. B. C.2 D.2解析由mr知：，又卫星所在处重力提供向心力mgm2r，可得：，故B正确 答案B考点三卫星的在轨运行和变轨问题(1)圆轨道上的稳定运行 Gmmr2mr2(2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度v突然改变时，受到的万有引力G和需要的向心力m不再相等，卫星将偏离原轨道运动当Gm时，卫星做近心运动，其轨道半径r变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当Gm时，卫星做离心运动，其轨道半径r变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小【典例3】 如图所示，北京飞控中心对“天宫一号”的对接机构进行测试，确保满足交会对接要求，在“神舟八号”发射之前20天，北京飞控中心将通过3至4次轨道控制，对“天宫一号”进行轨道相位调整，使其进入预定的交会对接轨道，等待“神舟八号”到来，要使“神舟八号”与“天宫一号”交会，并最终实施对接，“神舟八号”为了追上“天宫一号”()A应从较低轨道上加速 B应从较高轨道上加速C应在从同空间站同一轨道上加速 D无论在什么轨道上只要加速就行解析“神舟八号”要追上“天宫一号”，不能像汽车或飞机那样，对准目标加速飞去，因为在同一轨道上，“神舟八号”一旦加速，它就离开原来轨道，进入另外一条较高的椭圆轨道，为了缩短距离，“神舟八号”应该从较低轨道加速，加速后轨道高度升高，才能与“天宫一号”在同一轨道上完成对接据Gm2r，得T2，先让“神舟八号”在低轨上运行，“天宫一号”在高轨道上的运动周期大、“神舟八号”在低轨道上的运行周期小，然后“神舟八号”适时加速后做离心运动，使之与“天宫一号”在高轨道上实现对接，故选项A对B错若“神舟八号”在同一轨道上只加速，将要离开原轨道向外，所以只加速不减速是不可能进行对接的，因此选项C、D都错 答案A【变式4】 “天宫一号”被长征二号火箭发射后，准确进入预定轨道，如图543所示，“天宫一号”在轨道1上运行4周后，在Q点开启发动机短时间加速，关闭发动机后，“天宫一号”沿椭圆轨道2运行到达P点，开启发动机再次加速，进入轨道3绕地球做圆周运动，“天宫一号”在图示轨道1、2、3上正常运行时，下列说法正确的是()A“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C“天宫一号”在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度D“天宫一号”在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度解析据v ，可知v3v1，选项A错误；据 可知31，选项B错误；加速度与万有引力大小有关，r相同，则a相同，与轨道无关，选项C错误，选项D正确 答案D 考点四 双星模型 1.模型概述: 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星2.模型特点: (1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗行星上 (2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等(3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r1r2L. 【典例4】 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式解析(1)证明两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度一定要相同，它们做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直线上设两者的圆心为O点，轨道半径分别为R1和R2，如图所示对两天体，由万有引力定律可分别列出Gm12R1 Gm22R2所以，所以，即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比(2)由两式相加得G2(R1R2)，因为R1R2L，所以 .答案(1)见解析(2) 【历年高考试题赏析】1.“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常数G，半径为R的球体体积公式V=R3，则可估算月球的( ) A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期2.由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( ) A质量可以不同 B轨道半径可以不同 C轨道平面可以不同 D速率可以不同3.已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述正确的是( ) A、卫星距地面的高度为 B、卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C、卫星运行时受到的向心力大小为 D、卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度4.甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是( ) A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方5.一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则( ) A恒星的质量为 B行星的质量为 C行星运动的轨道半径为 D行星运动的加速度为6质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )A线速度 B角速度 C运行周期 D向心加速度7.据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancrie”该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie”与地球做匀速圆周运动，则“55Cancrie”与地球的( ) A.轨道半径之比约为 B. 轨道半径之比约为2C.向心加速度之比约为2 D. 向心加速度之比约为解析：母星与太阳密度相等，而体积约为60倍，说明母星的质量是太阳质量的60倍。由万有引力提供向心力可知 ，所以,代入数据得到B正确，由加速度知道，加速度之比为，所以CD均错误。8.某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，该行星与地球的公转半径比为 ( ) A B. C D. 【解析】地球周期年，经过N年，地球比行星多转一圈，即多转 ，角速度之差为，所以 ，即，环绕周期公式为 ，所以，化简得9为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则（ ） A. X星球的质量为 B. X星球表面的重力加速度为 C. 登陆舱在与轨道上运动是的速度大小之比为 D. 登陆舱在半径为轨道上做圆周运动的周期为【解析】根据、，可得、，故A、D正确；登陆舱在半径为的圆轨道上运动的向心加速度，此加速度与X星球表面的重力加速度并不相等，故C错误；根据，得，则，故C错误。10卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8105km）（ ） A.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s解析：由开普勒第三定律，（R地6.41035km，c3108m/s）计算可知，11人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将 (填“减小”或“增大”)；其动能将 (填“减小”或“增大”)。【答案】增大，增大12.2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗星的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为和，向心加速度分别为和，则=_。=_（可用根式表示）答案：（或） （或） 解析：由万有引力提供向心力，解得： 北斗星的同步卫星和GPS导航卫星的周期比T1：T2=2：1，所以 又，得，所以13.一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( ) A.B.C.D.【解析】本题考查万有引力定律的应用，涉及到天体自转时万有引力提供向心力和天体自转周期与物体运动周期的关系。物体在对天体压力为零，说明万有引力全部提供物体做圆周运动的向心力，并且天体自转周期就是物体绕天体做圆周运动的周期。根据万有引力定律有，又因为球的质量。两式联立解得。D项正确。14.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比A轨道半径变小 B向心加速度变小 C线速度变小 D角速度变小15.2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道进入椭圆轨道，B为轨道上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( ) A.在轨道上经过A的速度小于经过B的速度 B.在轨道上经过A的动能小于在轨道上经过A的动能 C.在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期 D.在轨道上经过A的加速度小于在轨道上经过A的加速度16. 月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，他们都围绕月地连线上某点做匀速圆周运动据此观点，可知月球与地球绕点运动的线速度大小之比约为 A1:6400 B1:80 C80:1 D6400:117.为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为和的圆轨道上运动时，周期分别为和。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出A火星的密度和火星表面的重力加速度 B火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C火星的半径和“萤火一号”的质量 D