项链李代数的同构与同构群.pdf

数学年刊 2 0 1 3 3 4 A 5 5 6 9 5 7 8 项 链 李 代 数 的 同 构 与 同 构 群 冰 余 德 民 梅 超 群 郭 晋 云 提要研究 了一些特殊箭图的同构 这些特殊箭 图包括垂直叠加的箭 图和水平叠加的箭图 跟以前的 研究方法相 比 文中的研 究方法是不 同的和新颖的 即利用指标数组把复杂的李运算转换为多重指标 集的运算 关键词 箭图 项链字 项链李代数 同构 M R 2 0 0 0 主题分类 1 7 B 0 5 1 7 B 4 0 1 7 B 6 5 中图法分类O1 5 2 5 文献标志码A 文章编号 1 0 0 0 8 3 1 4 2 0 1 3 0 5 0 5 6 9 1 0 1 引 言 无限维李代数出现在共形理论 数学物理 统计力学和哈密顿系统等领域中 最近几 十年 特征 0上的一些无限维李代数被很多学者研究 1 1 3 项链李代数是一类无限维李 代数 这类无限维李代数同时被 B o c k l a n d t 和 L e B r u y n M 以及 Gi n z b u r g 1 5 介绍 利用 项链李代数 他们研 究了非交换辛几何 的投射代数 然而 直到现在 有关项链李代数结构的研究结果还很少 本文中 c表示复数域 z表示整数 z 表示正整数 V n z 表示 n阶置换群 以下我们介绍项链李代 数 NQ 箭图Q Q Q s 是一个有礼个顶点 Q 1 V 2 n 2 和m条有向 边 箭 Q a l a 2 n 的有限有向图 箭图 Q每一个顶点间不能有环 但两 个顶点之间可以有多重边 有向边 n的始点 s a V t 和终点 t a v j 记作 a v t v j 对于 Q 中的每个箭 v v 添加 关于 v v 的对称箭 即 v 一V 记 Q a 0 n 和 Q Q u Q 一个有 向循环 C a i a i a i 使得 t a i s a i a t s a i 和 珏 2 记为循环 C 的长度 我们也记着 l c l 依 次置换循环 C的箭图而得到的循环 c 称为 c的等价类 一个项链字就是箭 图的一个等价 类 所有 的项链字形成了一个集合 我们将此集合记为 所有的项链字将在复数域 上形成一个线性空间 将此线性空间记为 NQ 例如在 图 1中 垒 0 m z nl 图 1 本文 2 0 1 2年 4月 2 2 日收到 2 0 1 2年 9月 1 3日收到修 改稿 湖南理工学院数学 系 湖南 岳阳 4 1 4 0 0 0 E ma i l y u d e mi n g 8 6 4 0 0 2 4 1 2 6 c o m 首都经济贸易大学统计学院 北京 1 0 0 0 7 0 E ma i l me i c h a o q c u e b e d u c a 湘潭大学数学 与计算机学院 湖南 湘潭 4 1 2 0 0 0 E ma i l g j y x t u e d u C Y I 本文受到湖南省自然科学基金 N o 1 0 J J 6 0 1 3 和湖南省重点建设学科建设项目的资助 里 塑 兰 型 堂 堡 项链字 W l a l a 2 a k a 等价于项链字 w 2 a 2 a a ma 1 项链字 w 3 am 口 a2 a I w 4 al a l al a l al a 1 是不同的项链字 定义 J Nwv V w l W 2 N 若 0 2 1 O t 1 O t 0 2 O i Q V i 1 r J 1 s V a Q 令 仃 ij 0 1 022 1 一 羹 称新项链字 嚣 1 0 2 2 是 0 2 1 0 2 2在 i J之处关于 的一次连接 V w 2 定义项链字的 李运算如下 V a i b j C z Y Nq 令 定义 r S r S Ix l a i I a i 1 2 1 j l 1 j l 李运算满足雅可比恒等式 l 就是所谓的项链李代数 V w l u 2 N 有 乏 孝 七 李运算 1 0 2 2 即 V Q 如果 出现于 1中 再找寻 Q 是否出现于 2中 若是 则同时删去 Q和 以打开 和 0 2 这两个项链 将打开后的两条路的首尾对应相接 同一顶点接在一 起 构成一个新的项链字 然后在 0 2中找寻上述的 在 中找寻 重复上述操作 得到又一新的项链字组合 用先得到的新的项链字组合减去后得到项链字组合 最后遍 历 V Q1 把相减后得到的所有的项链字加起来 假设 Q e l 0 那么 Q n 0 a i 和 a i 具有相反的方向 定义 1 1 如果 一个项链字 a i 1 n a j 2 a i 2 0 a i a i l a i 2 a i z a l a 2 a 0 a j n 0 a 多重集 L o i l 称为项链字 的左指 标数组 多重集 R o j l 称为右指标数组 左右指标数组都是多重集 类似集合的关系和运算我们可定义指标数组的关系与运 算 例如 口一 V 一 Q U 唧 V 5期 余德民 梅超群 郭晋云 项链李代数的同构与同构群 5 7 1 如果 1 2 3 1 2 1 3 1 那么 厶 如果 厶 l 1 1 那么 I 1 2 2 C I 1 I 1 n 2 1 I i U 1 1 1 五一 1 一I 1 如果 l 2 3 4 1 2 1 3 4 5 4 1 那么厶 4 3 一厶 2 2 4 一 5 4 U厶 1 2 3 4 1 2 1 3 4 5 4 1 如n 4 1 1 3 4 厶 4 考察箭图 Q 图 2 a4 记项链字 0 1 n 0 1 n 2 n 0 2 0 3 那么 L o 1 1 2 2 3 R o 1 2 R o C L o R o n L o 1 2 根据多重集的分类 任何项链字 N 都可以分成 5类 即 A u 1 N R o C L o 和 2 I R o 例如 在图2 中 n 1 0 i 0 1 n 2 n 0 2 0 3 那么 兄 2 1 2 2 1 1 2 2 3 R C 2 2 一 R B 1 u N L o C R o和 兕 一L O 例如 在图 3中 假设 0 1 0 0 n 0 2 n 0 那么 L o 1 2 R o 1 1 3 2 2 L o C R o R o L o C I N L o R 2 例如 在图 2中 设 0 1 0 4 0 n 0 n 3 那么 L o l 4 3 R o f 4 1 3 L o R o D u l N L o R o L o n R o 例如 在图3中 图 3 a5 记 a 4 a s a 6 a 3 a 2 a 1 那么 L o 4 5 6 R o 1 2 3 n R o E I N 2 I n兕 2 I 2 n 砚 兕 L 已 n 在图4中 n5 a3 图 4 a4 数学年刊 3 4卷 A 辑 记 c 0 n 3 0 4 0 5 n 0 0 2 男 么 2 2 3 4 5 R 1 2 3 L o n R o 2 3 2 一 些 特 殊 项 链 李 代 数 同 构 和 同 构 群 在本节中 我们首先定义单向循环 混向循环 水平叠加和垂直叠加 然后研究一些 特殊项链李代数的同构和同构群 定义 2 1 一个单 向循环 c是此循环中的箭都在 Q 出现且循环中的顶点都只出现 两次 例如 ak 一 a m 一 2 al 那么 c a l a 2 a k a 是一个单 向循环 Q仅仅有一个单 向循环 定义 2 2 一个混向循环 C 是此循环 L R o Ro n L 且循环中的所有顶点都只出现两次 例如 c 1 血 2 是一个混向循环 定义 2 3 如果一个项链字 1 2 1 2 1 2 0 3 0 L 4 O L 1和 O L 2出现 k z 次 和 出现 z 次 记 1 2 1 2 1 2 1 2 z k是项链字 的复制指数 类似地 如果一个项链字 u I i O L 2 0 1 3 0 1 O L 2 O L 3 Q 1 2 3 1 2 3 那么 尼 1 是项 链字 的复制指数 如果一个项链字 a 1 1 O I O L O L I O l k 那么 2 是项链 字 的复制指数 设箭 图 Q1 如下 5期 余德民 梅超群 郭晋云 项链李代数的同构与同构群 5 7 3 6 1 箭图 Q1 仅仅有一个单向循环 O L 1 0 2 0 L 3 箭图 Q1 所诱导的项链李代数 没 有D类元和 E类元 记 h i O L i O L 并定义线性映射 1 Q 一 Q f l h i h 2 f l h 2 h 3 f l h 3 h i N 一 1 2 3 f l w f l 在项链李代数 N Q 的基上线性 扩张 定理 2 1 是同构 证 显而易见 是线性映射 一 1 2 3 则 显然 V w 3 0 2 4 h i h 2 V w 3 N 一 h i h 2 h 3 由于 3 4 f l w 3 w 4 0 3 4 f l W 3 f l 4 Cd 3 4 h 3 能推导 厂 f l w 4 0 f l 0 1 3 4 f l w 3 f l W 4 如果 C d 3 N 一 1 2 3 4 h i h 2 3 环 O i O L 2 O Z 3 N 没有 D 类元和 E类元 如果 C O 3 C 可推出 由于箭图 Q 仅仅只有一个单向循 I 3 i f l O 0 f l 3 f l h i 如果 0 2 3 A 可以假设 C d 3 O L i O 1 2 O 3 k f l W 3 k 3 w 3 1 2 3 f l w 3 f l h i 3 f l h i k 3 W 3 f l W 3 t V i 1 2 3 如果 0 2 3 B 可以假设 0 2 3 0 Z 3 0 2 0 L 1 k f l 02 3 h i 一 4 u 3 V i 1 2 3 f l W 3 厂 1 t 0 2 3 f l h i 一 k 4 w 3 3 t V i 1 2 3 2 2 对任意情况 有 定理得证 3 0 2 4 3 V w 3 0 2 4 Q 5 7 4 数学年刊 3 4卷 A 辑 定义以下线性映射 2 NQ 一 Q 2 h i h 2 2 h 2 h i f 2 h 3 h 3 f 3 Q 一 Q f 3 h i h 3 f 3 h 3 h 2 f 3 h 2 h i f 4 l V Q 一 Q f 4 h i h i f 4 2 h 3 4 h 3 h 2 5 Q 一 Q f 5 h i h 3 f 5 h 2 h 2 f 5 h 3 h i NQ 一 Q f 4 h i h i 6 h 2 h 2 f 6 h 3 h 3 另外 定义 f i w u V i 2 3 4 5 6 V u N 一 九 1 h 2 3 在项链李代数 Q 的基上线性扩张 平行于定理 2 1 显而易见可以看出 i 2 3 4 5 6 都是同构 设 H 1 2 3 4 5 6 在集合 日 上定义映射的合成 o 即 N 那么 日 是对于 O构成乘法群 定理 2 2 H 1 2 厂 3 4 5 6 证首先 显而易见 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 3 2 和恒等元 e是置换群 岛 的所有元 素 定义映射 F F H一岛 厂 1 一 1 2 3 厂 2 一 1 2 f 3 一 1 3 2 4 一 2 3 5 一 1 3 6 一 e 根据 F的定义可得 H 设箭 图 Q3如下 箭图 Q3 仅仅有一个混向循环 O z 1 0 Z 2 0 Z 3 0 Z 4 0 L 5 0 Z 6 箭 图 Q3诱导了项链李代数 Nq N 没有 类元和 B类元 记 h i i 1 2 3 6 1 0 1 0 O z 有 1 h i 1 i 1 2 3 1 h i u 0 2 1 i 4 5 6 另外一方面 定义线性映射如下 f l Q 一 Q h i h 2 f l h 2 h 3 f l h 3 h i f l h i h i i 4 2 N Q 一 Q f 2 h i h 2 f 2 h 2 h i f 2 h 3 h 3 f 2 h i h i i 4 3 N Q 一N Q f 3 h i h 3 f 3 h 3 h 2 f 3 h 2 h i f 3 h i h i i 4 A Q 一 Q h i h i f 4 h 2 h 3 f 4 h 3 h 2 4 h i h i i 4 5 Q 一N Q f 5 h 1 h 3 5 h 2 h 2 5 h 3 h i 5 h i h i i 4 f 6 N Q 一NQ f 6 h 1 h i f 6 h 2 h 2 f 6 h 3 h 3 6 h i i 4 5期 余德民 梅超群 郭晋云 项链李代数的同构与同构群 5 7 5 定义 1 2 3 4 5 6 V w N 一 1 2 3 4 h 5 6 在项链李 代数 的基上线性扩张 然后 定义以下线性映射 g l Q 3 一 g l h 4 h 5 g l h 5 h 6 g l h 6 h 4 g l h i h i i 3 g 2 NQ 一 N Q g 2 h a h 6 9 2 h 6 h 5 g u h 5 h 4 g 2 h i h i i 3 g 3 一 Q g 3 h 4 h 4 g 3 h 5 h 6 g 3 h 6 h 5 g 3 h i h i i 3 g 4 N Q 一 Q g 4 h 4 h 6 g a h 5 h 5 g a h 6 h a g 4 h i h i i 3 g 5 N Q 一 Q g h a h 5 g 5 h 5 h 4 g 5 h 6 h 6 g D h i h i i 3 g 6 一 NQ g 6 h 6 h 6 g 6 h 5 h 5 g 6 h a h 4 g 6 h i h i i 3 另外 定义 g i z V i 1 2 3 4 5 6 V w N 一 1 2 3 4 h 5 6 g i 在项链 李代数 的基上线性扩张 定理 2 3 i 1 2 3 4 5 6 和 g j J 1 2 3 4 5 6 都是同构 证显而易见 是同构 类似地 i 2 3 4 5 6 和 g i 1 2 3 4 5 6 是同 构 定理证毕 定义 2 4 单向循环和混向循环都称为单循环 定义 2 5 如果两个单循环没有公共边 这两个单循环称为垂直叠加 定义 2 6 如果两个单循环有公共边 这两个单循环称为水平叠加 假定箭图 Q 如下 在箭图 Q4中 单 向循环 C 1 9 1 O L 2 3和单向循环 c 2 O 4 0 L 5 6是垂直叠加 箭图 Q 诱导了项链李代数 记 1 l 2 3 1 5 d 2 4 口 5 6 2 h i c i a V i 1 2 有 1 h i k l W l i 1 2 3 2 k 2 w 2 i 4 5 6 0 2 1 h i 0 i 4 5 6 2 h t 0 i l 2 3 5 7 6 另 数 定义以下线性映射 f l Q 一 Q 2 Q 一 NQ 3 NQ 4 NQ 4 l 4 N Q 4 Uq 4 5 Uq 一 Q f 6 Q 一 NQ 外 定义 1 2 h i h i 4 h i 5 h i 6 h i f V Q 的基上线性扩张 定义以下映射 9 1 Q 4 NQ 4 g 2 Q 4 NQ 4 g 3 l v q4 No4 9 4 NQ 4 Q 4 9 5 NQ4 NQ4 9 6 NQ4 十NQ4 另外 定义 g i c o 9 1 h 4 g 2 h 4 g a h 4 g 4 h 4 g s h 4 g 6 h 6 f Vi 数学年刊 2 h 2 h 3 f x h 3 h i h 2 厂 2 h 2 h i 2 h a h 3 h 3 3 h a h 2 3 2 h i h i 4 h 2 h 3 4 h 3 h 2 h a 5 h 2 h 2 5 h 3 h t h i 6 2 h 2 6 h a h 3 1 2 3 4 5 6 V c o N 一 1 2 5 9 1 h 5 h 6 9 a h 6 h 4 h 6 9 2 h 6 h 5 9 2 h 5 h 4 h 4 9 3 h 5 h 6 g a h 6 h 5 h 6 9 4 h 5 h 5 g 4 h 6 h 4 5 9 5 h 5 h 4 9 h 6 h 6 h 6 g 6 h 5 h 5 9 6 h 4 h 4 3 4 5 6 N 一 1 2 数 NQ 的基上线性扩张 定理 2 4 i 1 2 3 4 5 6 和 9 j J 证显然 I厂 1 是同构 类似地 i 2 定理证明完毕 设箭 图 Q5 如下 3 4卷 A 辑 h i h i i 4 2 h i h i i 4 h i h i i 4 4 t i 4 5 t 4 6 h i 玩 4 6 在项链李代 9 1 g 2 h g 3 h i 9 4 h 9 5 h i 9 6 h 6 1 2 3 4 5 6 都是同构 h i hi hi h i hi h i g i 3 i 3 i 3 i 3 i 3 3 在项链李代 3 4 5 6 和 9 i 1 2 3 4 5 6 也是同构 箭图Q 5 有两个单循环C 1 O 1 2 O L3 0 5 和 C 2 水平叠加 箭图 Q s 所诱导了项链李代数 2 3 5 0 2 2 4 1 C d 3 O L 1 0 2O 1 30 L 4 定义线性映射如下 NQ 一 a f l h 2 h 3 Q 一 Q f l h 2 h 2 Q 一 Q f a h 3 h 3 Q 一 Q f a h 2 h 2 f l h a 1 h 2 f l h 3 h a 1 2 3 4 C 1 2 3 5 和 C 2 Q 1 2 3 4 假设 h i Q 1 2 3 4 5 C0 1 f a h 2 h 2 3 3 h 3 h 3 f a h i h i h i h i 1 h 4 h i h i h 4 h 4 h 4 h 4 h 4 h i h 4 h 4 Y l h 5 f l 5 5 1 5 5 5 h5 h5 5期 余德民 梅超群 郭晋云 项链李代数的同构与同构群 5 7 7 另外 我们定义 1 2 3 4 N 一 h i h 2 5 在项链李代 数 的基上线性扩张 定理 2 5 i 1 2 3 4 都是同构 证显而易见 是同构 类似地 i 2 3 4 是同构 设 1 2 并且在映射集 H7 定义映射的合成 即 f f j V w N i J 1 2 是群对于映射的合成 O 显然 H7 设 H7 2 3 f 4 我们在映射集 定义映射的合成 o 即 o N i J 3 4 2 关于映射的合成 0是一个群 显然 r 2 定义映射的合成 即 o N i 1 2 J 3 4 设 西 o V i l 2 J 3 4 那么 胁 关于 是一个群 定理 2 6 H7 因 证很容易证 明 日7 囟 致谢 真诚感谢审稿老师的宝贵意见 参 考 文 献 1 O s b o r n J M Z h a o K M G e n e r a li z e d P o i s s o n b r a c k e t a n d L ie a l g e b r a s o f t y p e H in c h a r a c t e r i s t i c 0 J I n v e n t Ma t h 1 9 9 9 2 3 0 1 0 7 1 4 3 2 B e n k a r t G Z e l m a n o v E L ie a l g e b r a s g r a d e d b y fi n i t e r o o t s y s t e m s a n d i n t e r s e c t io n m a t r i x a l g e b r a s J I n v e n t Ma t h 1 9 9 6 1 2 6 1 4 5 3 Ma t h i e u 0 C l a s s fi c a t i o n o f Ha r i s h C h a n d r a mo d u l e s o v e r t h e Vi r a s o r o a l g e b r a J I nv e nt M a t h 1 9 9 2 1 0 7 2 2 5 2 3 4 4 B a k e s I T h e s t r u c u r e o f t h e a l g e b r a J C o mm Ma t h P h y s 1 9 9 0 1 3 4 4 8 7 5 0 8 f 5 P a t e r a J Z a s s e n h a u s H T h e h i g h e r r a n k V ir a s o r o a lg e b r a s J C o m m Ma t h P h y s 1 9 9 1 1 3 6 1 1 4 f 6 S u Y C Ha r i s h C h a n d r a mo d u l e s o f t h e i n t e r me d i a t e s e r i e s o v e r t h e h i g h r a n k Vi r a s o r o a l g e b r as a n d h ig h r a n k s u p e r V i r a s o r o a l g e b r a s J J Ma t h P h y s 1 9 9 4 3 5 2 0 1 3 2 0 2 3 7 O s b o r n J M Z h a o K M I n fi n i t e d i m e n s i o n a l L i e a l g e b r a s o f t y p e L J C o m m A lg e b r a 2 0 0 3 3 1 5 2 4 4 5 2 4 6 9 8 S u Y C Z h a o K M G e n e r a l iz e d V ir a s o r o a n d s u p e r V i r a s o r o a l g e b r a s a n d m o d u le s o f t h e i n t e r m e d i a t e s e r i e s J J A lg e b r a 2 0 0 2 2 5 2 1 1 9 5 7 8 数学年刊 3 4卷 A 辑 9 O s b o r n J M Z h a o K M D o u b l y Z g r a d e d L i e a l g e b r a s c o n t a i n i n g a V i r a s o r o a l g e b r a J J A lg 1 9 9 9 2 1 9 2 6 6 2 9 8 1 0 Z h a o K M R e p r e s e n t a t i o n s o f q a n a l o g u e o f t h e V i r a s o r a a lg e b r a J N o r t h w e s t Ma t h 1 9 9 7 1 3 2 1 9 7 2 0 4 1 1 s u Y C S i m p le mo d u l e s o f t h e h ig h e r r a n k s u p e r V i r a s o r o J L e t t Ma t h P h y s 2 0 0 0 5 3 2 6 3 2 7 2 1 2 L u C H Wa n Z x O n t h e m i n i m a l n u m b e r o f g e n e r a t o r s o f t h e L i e a lg e b r a g A J J Al g e b r a 1 9 8 6 1 0 1 47 0 47 2 1 3 P e n g L G X ia o J T r i a n g u l a t e d c a t e g o r i e s a n d K a c m o o d y a lg e b r a s J I n v e n t Ma t h 2 0 0 0 1 4 0 3 5 6 3 6 0 3 1 4 B o c k l a n d t R L e B r u y n L N e c k l a c e L i e a l g e b r a s a n d n o n c o m m u t a t iv e s y mp l e c t i c g e o m e t r y J Ma t h五2 0 0 2 2 4 0 1 1 4 1 1 6 7 1 5 G in z b u r g V N o n c o mm u t a t i v e s y mp l e c t i c g e o me t r y q u i v e r v a r ie t ie s a n d o p e r a d s J Ma t h Re 8 L e t t 2 0 0 1 s 3 3 7 7 4 0 0 Aut om o r phi s m s a nd A ut o m or phi s m G r ou ps o f N e c kl a c e Li e A l g e br a YU De mi n M EI Cha o q un GUO J i n yu n De pa r t m e n t o f M a t he ma t i c s Hu na n I ns t i t ut e o f S c i e nc e a n d Te c h no l o g y Yu e y a n g 4 1 4 0 0 0 Huna n Ch i n a E ma i l y ud e mi n g 8 6 40 0 2 4 1 2 6 c o m S c h o o l o f S t a t i s t i c s Ca p i t a l U n i v e r s i t y o f Ec o n