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江苏省建湖高级中学2014届第一次热身训练数学试题一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上1设集合，则 2复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 象限3函数的定义域为 （第7题图）ABCQRA1PB1C14甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 组（第5题图） （第4题图）5已知某算法的伪代码如图所示，则可算得的值为 6一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是 7已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等蚂蚁甲从点沿表面经过棱，爬到点，蚂蚁乙从点沿表面经过棱爬到点如图，设，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则 8已知函数，则不等式的解集是 （第10题图）9若过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为 10已知函数（，是常数，）的部分图象如图所示若，则 11设数列的前项和为，若和都是公差为的等差数列，则 12已知平面向量，满足， ，则的最小值为 13已知，是函数图象上的两个不同点，且在，两点处的切线互相平行，则的取值范围为 14设等差数列的公差为，前项和为，且，则的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分14分）在中，内角，的对边分别为，向量，且（1）求角；（2）若，求的面积的最大值16（本小题满分14分）如图，在梯形中，平面平面，四边形是矩形，点在线段上（1）求证：平面；MBACDE（第16题图）F（2）当为何值时，平面？证明你的结论17（本小题满分14分）第二届夏季青奥会将于2014年8月在南京市举办为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，均在圆弧上，于点设，求矩形的宽为多少时，可使喷泉的面积最大；（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中，米若，求喷泉的面积的取值范围O1O2MBACD观 赏 长 廊N（第17题图乙）MBACDO1（第17题图甲）O218（本小题满分16分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作直线与椭圆交于点、（1）若椭圆的离心率为，右准线的方程为，为椭圆上顶点，直线交右准线于点，求的值；（2）当时，设为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，证明：点在定直线上19（本小题满分16分）在数列，中，已知，且，成等差数列，也成等差数列（1）求证：是等比数列；（2）设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对20（本小题满分16分）已知函数，（1）当，时，求函数的单调区间；（2）当时，若对恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数的图象在点、两处的切线分别为、若，且，求实数的最小值江苏省建湖高级中学2014届第一次热身训练数学试题附加题21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题纸指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）NMOBAC（第21-A题图）在中，是的平分线，的外接圆交边于点求证：B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵的一个特征值及对应的一个特征向量 （1）求的值；（2）求曲线在对应的变换作用下的新曲线的方程C选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为若直线与曲线交于、两点，试求线段的垂直平分线的极坐标方程D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知均为正数，且，求的最小值，并指出取得最小值时的值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22（本小题满分10分） 甲、乙等五名青奥会志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者（）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列23.（本小题满分10分）过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点.(1)求PQ中点R的轨迹L的方程;(2).证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.江苏省建湖高级中学2014届第一次热身训练数学试题答案一、填空题1 2二 3 4甲 5 67 8 9 10 1112 13 14二、解答题15（1）因为，所以，所以，即， 4分所以，又，所以 7分（2）在中，由余弦定理有，所以，由基本不等式，可得，当且仅当时，取等，12分所以的面积，故的面积的最大值为 14分NMBACDE（第16题图）F16（1）由题意知，为等腰梯形，且，所以，又平面平面，平面平面，所以平面 6分（2）当，平面 8分在梯形中，设，连结，则，因为，所以，又，所以四边形为平行四边形，11分所以，又平面，平面，所以平面 14分17（1）在直角中，则，所以矩形的面积，4分令，则，令，得设，且，列表如下：0极大值所以当，即时，矩形的面积最大 10分（2）由（1）易得，喷泉的面积，由知，所以函数是单调增函数，所以 13分答：（1）矩形的宽（米）时，可使喷泉的面积最大；（2）喷泉的面积的取值范围是（单位：平方米） 14分18（1）设，则，解得，所以椭圆的方程为， 2分则直线的方程为，令，可得，联立，得，所以， 4分所以6分 （2）设，则直线的方程为，令，可得， 8分由可知，整理得，又，联立，解得， 14分所以点在定直线上 16分19（1）由，成等差数列可得，由，成等差数列可得， 得，所以是以6为首项、为公比的等比数列 4分（2）由（1）知，得， 得， 8分代入，得，所以，整理得，所以， 12分由是不超过100的正整数，可得，所以或，当时，此时，则，符合题意；当时，此时，则，符合题意故使成立的所有数对为， 16分20函数，求导得（1）当，时，若，则恒成立，所以在上单调减；若，则，令，解得或（舍），当时，在上单调减；当时，在上单调增所以函数的单调减区间是，单调增区间是 4分（2）当，时，而，所以当时，在上单调减；当时，在上单调增所以函数在上的最小值为，所以恒成立，解得或，又由，得，所以实数的取值范围是 9分（3）由知，而，则，若，则，所以，解得，不符合题意； 11分故，则，整理得，由得， 13分令，则，所以，设，则，当时，在上单调减；当时，在上单调增所以，函数的最小值为，故实数的最小值为 16分江苏省建湖高级中学2014届第一次热身训练数学试题附加题答案21.A在中，因为是的平分线，所以又，所以 4分因为与是圆过同一点的弦，所以，即 8分由、可知 ，所以 10分B（1）由已知，所以，解得5分（2）设曲线上任一点在对应的变换作用下对应点，则，即，解得，代入曲线得即曲线在对应的变换作用下的新曲线的方程是10分C直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为， 5分所以线段的垂直平分线是过圆心且与直线垂直的直线，其方程为，故线段的垂直平分线的极坐标方程为10分D因为，所以，因为为正数，所以由柯西不等式得，当且仅当等式成立所以，所以的最小值是， 8分此时 10分22解：（）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是3分（）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.6分（）随机变量可能取的值为1，2事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则所以，的分布列是13.10分23. (1)抛物线的焦点为,设的直线方程为.由得,设M,N的横坐标分别为,则,得,而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.代入得.设动点R的坐标,则,因此,故PQ中点R