高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课后习题 新人教A版必修4.doc

2.2.3向量数乘运算及其几何意义一、a组1.已知非零向量a,b满足a+4b=0,则() a.|a|+4|b|=0b.a与b是相反向量c.a与b的方向相同d.a与b的方向相反解析:a+4b=0,a=-4b,|a|=4|b|,且a与b的方向相反.答案:d2.如图所示,在abc中,点d是边ab的中点,则向量dc=()a.12ba+bcb.12ba-bcc.-12ba-bcd.-12ba+bc解析:点d是边ab的中点,cd=12(ca+cb).dc=-12(ca+cb)=-12ba+bc.故选d.答案:d3.设a,b不共线,ab=a+kb,ac=ma+b(k,mr),则a,b,c三点共线时有()a.k=mb.km-1=0c.km+1=0d.k+m=0解析:若a,b,c三点共线,则ab与ac共线,存在唯一实数,使ab=ac,a+kb=(ma+b),即a+kb=ma+b,m=1,=k,km=1.即km-1=0.答案:b4.如图,已知ab=a,ac=b,bd=3dc,用a,b表示ad,则ad=()a.a+34bb.34a+14bc.14a+14bd.14a+34b解析:ad=ab+bd=ab+34bc=ab+34(ac-ab)=14ab+34ac=14a+34b.答案:d5.已知p是abc所在平面内的一点,若cb=pa+pb,其中r,则点p一定在()a.abc的内部b.ac边所在直线上c.ab边所在直线上d.bc边所在直线上解析:cb=pa+pb,cb-pb=pa,cb+bp=pa,cp=pa,cp与pa共线.c,p,a三点共线,故选b.答案:b6.化简:3(6a+b)-9a+13b=.解析:原式=18a+3b-9a-3b=9a.答案:9a7.如图,在平行四边形abcd中,e是cd的中点,且ab=a,ad=b,则be=.解析:be=bc+ce=ad+-12ab=-12a+b.答案:-12a+b8.导学号08720054在abc中,点m为边ab的中点,若opom,且op=xoa+yob(x0),则yx=.解析:m为ab的中点,om=12(oa+ob).又opom,存在实数,使op=om,op=2(oa+ob)=2oa+2ob,x=y=2,yx=1.答案:19.(2016河北定兴三中高一月考)已知obc中,点a是线段bc的中点,点d是线段ob的一个靠近b的三等分点,设ab=a,ao=b.(1)用向量a与b表示向量oc,cd;(2)若oe=35oa,判断c,d,e是否共线,并说明理由.解:(1)ab=a,ao=b,点a是bc的中点,ac=-a.oc=oa+ac=-a-b,cd=cb+bd=cb+13bo=cb+13(ba+ao)=2a+13(-a+b)=53a+13b.(2)ce=co+oe=a+b+35(-b)=a+25b,假设存在实数,使ce=cd,则有a+25b=53a+13b,53=1,13=25,此方程组无解,不存在实数,满足ce=cd.c,d,e三点不共线.10.如图,设abc的重心为m,o为平面上任一点,oa=a,ob=b,oc=c,试用a,b,c表示向量om.解:如图,连接am并延长交bc于点d.m是abc的重心,d是bc的中点,且am=23ad.am=23ad=2312(ab+ac)=13(ab+ac)=13(ob-oa+oc-oa)=13ob+13oc-23oa=13b+13c-23a.om=oa+am=a+13b+13c-23a=13(a+b+c).二、b组1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(kr)与向量n=e2-2e1共线,则()a.k=0b.k=1c.k=2d.k=12解析:mn,存在r,使m=n,即-e1+ke2=(e2-2e1).-2=-1,k=.k=12.答案:d2.若o是abcd的中心,ab=2e1,bc=3e2,则32e2-e1等于()a.bob.aoc.cod.do解析:32e2-e1=12bc-12ab=12(bc-ab)=12(bc+ba)=12bd=bo.答案:a3.已知四边形abcd是菱形,点p在其对角线ac上(不包括端点a,c),则ap=()a.(ab+ad),(0,1)b.(ab+bc),0,22c.(ab-ad),(0,1)d.(ab-bc),0,22解析:由向量加法的运算法则可知,ac=ab+ad.又点p在线段ac上,故ap与ac同向,且|ap|ac|,所以ap=(ab+ad),(0,1).答案:a4.p是abc内的一点,ap=13(ab+ac),则abc的面积与pbc的面积之比为()a.2b.3c.32d.6解析:设bc的中点为d,则ab+ac=2ad.ap=13(ab+ac)=23ad,如图,过a作aebc,交bc于点e,过p作pfbc,交bc于点f,则|pf|ae|=|pd|ad|=13.sabcspbc=12|ab|ae|12|ab|pf|=3.答案:b5.已知a,b,c三点共线,ac=-23cb,且ab=ca,则实数=.解析:ac=-23cb,|ac|=23|cb|.a,b,c三点共线,a,b,c的位置如图,即点a为线段bc的三等分点,且|ab|=12|ac|.又ab,ca同向,ab=12ca.=12.答案:126.如图,向量oa,ob,oc的终点在同一直线上,且ac=-3cb,设oa=p,ob=q,oc=r,则r=.解析:ac=-3cb,oc-oa=-3(ob-oc)=-3ob+3oc,2oc=-oa+3ob.oc=-12oa+32ob,即r=-12p+32q.答案:-12p+32q7.(1)设a,b是两个不共线的非零向量,已知ab=3a-2b,bc=-2a+4b,cd=-2a-4b,试判断a,c,d三点是否共线;(2)在四边形abcd中,ab=a+2b,bc=-4a-b,cd=-5a-3b,证明这个四边形为梯形.(1)解:ac=ab+bc=(3a-2b)+(-2a+4b)=a+2b,又cd=-2a-4b=-2(a+2b),cd=-2ac,从而向量cd与ac共线,故a,c,d三点共线.(2)证明:ad=ab+bc+cd=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b),ad=2bc.ad与bc共线,且|ad|=2|bc|.这两个向量所在直线不重合,adbc,且ad=2bc.四边形abcd是以ad,bc为两条底边的梯形.8.导学号08720055如图,四边形oadb是以向量oa=a,ob=b为边的平行四边形.若bm=13bc,cn=13cd,试用a,b表示om,on,mn.解:ba=