居高临下深入浅出——谈数学问题解决的模式识别法.pdf

4 6 数学教学研究第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月 居高临下 深入浅出 谈数学问题解决的模式识别法 江保兵 安徽省枞阳县宏实中学2 4 6 7 0 0 解决问题策略的研究一直是认知心理学 家们感兴趣的课题 美国著名的科学家 认知 心理学家西蒙 A S i m o n 从研究人工智能的 角度 通过对一系列数学问题的研究 归纳出 一种解题策略 模式识别解题策略 它的 核心思想是人们在解决数学问题时 大多数 是通过模式识别来解决的 首先要识别眼前 的问题模式 然后依此搜索储存在记忆中的 相关知识并加以应用 这就是模式识别 正确 的对已有模式的识别和辨认 是这一方法应 用的前提 在问题的解决的过程中如何寻找 建构适当的解题模式是这一方法应用的关 键 在解题中提炼出新的问题模式又是这一 方法应用的提升 本文结合笔者在运用模式 识别法解决数学问题的几个案例 谈谈自己 运用该方法的一点体会 供同行们参考 1 回归教材 套用模式 例1求 z 1 z 2 z 砣 的展开 式中z 2 项的系数 分析教材中的公式 定理 性质的探 索 发现 推导过程中包含重要的解题方法 在教学中引导学生认真挖掘 就会发现一系 列的数学问题的解题模式 解题时对号入座 就会轻松解决 本例中 在学习二项式定理 口 6 C 2 6 H 中 我们认真探就二 i m 一0 项式 口 6 中项的系数与组合数之间的关 系 就会得到这类问题的解题模式 解欲求矿 2 项的系数 只需从 z 1 z 2 z 竹 这行个二项式中任取两个 二项式 将其常数项相乘 那么 所有这样的 常数项积的和 便是展开式中z 2 项的系 数 即为 墨 一生型啭幽 1 i j 2 分析结构 识破模式 例2 人教版教材必修4 第1 5 3 页 观 察以下等式 s i n 2 3 0 C O S 2 6 0 s i n3 0 C O S6 0 一 s i n 2 2 0 C O S 2 5 0 s i n2 0 C O S5 0 0 一 s i n z1 5 C O S 2 4 5 十s i n1 5 C O S4 5 分析上述各式的共同特点 写出能够反映一 般规律的等式 并对等式的正确性作出证明 分析仔细观察上式的结构特点 联想 到余弦定理 a 2 b 2 2 a b c o sC c 2 为此构 造三角形 利用正 余弦定理的模式来解 解把题中各式按照正弦定理的模式改 写为 s i n 2 3 0 s i n 2 3 0 2 s i n3 0 s i n3 0 C O s1 2 0 s i n z1 2 0 s i n 2 2 0 上s i n 2 4 0 2 s i n2 0 s i n4 0 C O S1 2 0 一s i n z l 2 0 s i n 21 5 s i n 2 4 5 2 s i n1 5 s i n4 5 C O S1 2 0 0 s i n s1 2 0 所以 一般规律的等式为 s i n s 口 s i n s 6 0 2 s i na s i n 6 0 a C O s1 2 0 万方数据 第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月数学教学研究 4 7 一s i n 21 2 0 证明过程较为简单 略去 倒3 第2 0 届伊朗数学奥林匹克试题 已知z Y z 为正实数 矿 彬2 4 求证 z y 4 3 分析观察上式的结构特点 专 2 号 2 专 2 2 号 上2 三22 1 联想到三角形中著名的三角恒等式 C O S 2 A C O S 2 B C O S 2 C 2 c o sA c o sB c o sC 一1 故这道试题证明的一种模式为三角代换法 证明设 詈2 c sA 詈一c sB 号一c sc 其中O A B c C O S 2 A c o s B C c o s B C C O SA C O S 2 B C O S 2 C 一1 O c o s 2 A E c o s B C c o s B C C O SA c o s B C c o s B C 0 净 c o sA c o s B C E c o sA c o s B C o C O SA c o s B C 0 净A B C 又由J e n s e n 不等式知 z 卜z 2 c o sA 2 c o sB 2 c o sC 6 C O S 半 3 3 上下求索 构造模式 例4 在 k A B C 中 求证 口2 6 2 十f 2 4 S B c 口一6 2 6 一c 2 c 一口 2 等号何时成立 构造模式如图1 作A A B C 的内切圆 分别切B C c A A B 于D E F 记A E A F z B D B F Y C D C E z 贝4 口 y z 6 一z z c z Y z Y z O 证明对所证的不 等式作等量代换 图1 n Y 十z 6 一z 十z c z Y 其中z Y z O 则由海伦公式 S 邶c 一 夕 p 一口 p 一6 p c 得到 S 脚一 p p 一口 户一6 p f x y z x y z 1 其中p 一寺 口 6 c 原不等式的等价为 z 2 z z 2 z z 2 1 4 3 x y z x y 1 z y 一 2 芝一z 2 z 一 2 甘4 z y y z z z 4 3 x y z x y z 铮 z y y z z x 2 3 x y z x Y z 甘z 2 y Zz 2 z 2 y z y 2 z x z Z x y 1 铮去 z y y z 2 y z z x 2 厶 z x z y 2 o 最后这个不等式显然成立 且等号当且仅当 z y z 时成立 所以原不等式成立的充要 条件是口 6 一c 从这道题的证明过程 我们构造一种非 常便利的解题模式 为了证明一个关于三角 形的三边不等式 可通过变换口 y z 6 z z c z y z Y z 0 转化为三个正数 z Y z 的代数不等式 由于三边口 b c 完全 确定三角形 从而三角形的各元素都可通过 这种模式用z Y z 表示 下面是三角形中部 分元素 经过变换后 用z Y 2 的表达式 万方数据 4 8 数学教学研究第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月 夕一寺 口 6 f 一z 十y 2 S A B c 夕 夕一口 p 一6 p c x y z x y z r 一学 m x y z i 肛酝a b c2 譬篆端 A BrCr a n 虿2 i a ni 2 了 a n 虿2 i 请读者试用这种解题模式 证明下面两 道试题 1 证明 c t 令 c t 詈 c 虿C 3 佤 2 已知a b f 0 求证 b 2 c 6 一c c 2 a c 一口 a 2 b a 一6 O 4 规律总结 提炼模式 数学问题的解答是有规律可循的 在解 题时 要注意解题方法的总结和解题模式的 提炼 在解决每一道习题后 要注重总结与反 思 提炼出一些新解题方法和解题模式 从而 提升自己的解题能力 下面以一道高考试题 为例 展示笔者提炼解题模式的过程 例5 2 0 1 3 年陕西高考数学理第2 1 题 已知函数 z 一e z R 设a b 比较 丛尘掣与笪兰掣的大小 并说明理 2 7 6 口 H 7 口u 7 位 由 解函数厂 z 一e x E R 净 z e 垒2 垒2 一 垒 二Z 璺2 26 一a e 4 pe 4 一e 6 2b a 常规思路是代数变形 构造函数 但本题 到了这一步 遇到了困难 试题中涉及两个变 量 怎么构造函数呢 能不能合为一个量呢 让我们去试一试 e 4 e b e a e 6 T 一再 叫 竿一百i e 4 一P 41 垒二垒21 1 竺二 2 二兰 二呈 二 2 2 6 一口 在这里 如果令6 一a t 这样两个量就合为 一个量了 也就可以构造函数了 探讨 因为口 O 呈 2 二 二竺2 2 丢 E t W 2 e l t 2 令g f 2 e 一2 我们现在来 研究这个一元函数 就比较容易 求导 9 7 t 一 3 e 7 1 0 所以 g g 0 一0 故也掣 丝掣 解题模式的总结 在解决本题所用的构 造函数的模式 笔者把它称之为 合二为一 所谓合二为一 指的是针对题目中所给两个 变量 可以通过适当的代数运算 构造出一个 新变量 使这两个量用这个新的变量来表示 从而使问题简化 请读者试用这种解题模式 解决下面两 道试题 1 安徽省皖南八校联考 设函数厂 z z 2 2 g z a l nX b x 设G z 一厂 z 一g z 有两个不同零点X X 2 且口 0 又 2 x o z l z 2 试探究G 7 z o 值的符号 2 安徽省江南十校联考 设函数 z b x c I nz 函数在X 土处取得极值 且 在z 一1 处的切线的斜率为1 P g o g z 厂 z X 2 求证 5 9 堑挚 3 9 P 2 9 q 知名美籍匈牙利数学教育家波利亚说 一种解题方法 无论是自己获得的 或是学来 下转第5 3 页 万方数据 第3 3 卷第9 期2 0 1 4 年9 月 数学教学研究 5 3 竺a 2 一等一1 上任意一点 M N 是c 上异于A 点的两点 若忌m 忌 A A A 一等 则直 线M N 过定点I A 孑a 丽2 b 2z 地a 2 2 A 一 6 2 b 2y 证明当忌删存在时 设k 忌删 则 业 y 2 y o A X l X OZ 2 一X o 设直线M N 的方程为 y 一志z m 联立双曲线方程得 口2 惫2 十炉 矿 2 a 2 忌 船 口2 m 2 口2 6 2 0 故计圹嚣鲁 口2 n 2 n 2 6 2 z l x z2 i 霭干矿 一2 6 2 m y l Y 2 一再两芽 b 2 m 2 一是2 口2 Y Y z 一 刁霭 石广 联立上述各式与 式即可得 n 2 l b 2 m 2 2 h a 2 忌面 2 b 2 y o m t a 2 惫2 2 3 A b Z x a 2 b 2 k 2 A a 2 b z a 2 点2 Y 3 6 2 胡 o 解得 l a z b z I 口2 6 2 m 一 瓣舡 十 瓣y o 代人直线M N 的方程即可得 y 一萼禹y o 一忌 z 一型a A b 2 z y 一 乏甄 虿一庀I z 一 函J 当志删不存在时 易得直线M N 的方程为 A 口2 6 2 z 一丽勘 综上 直线M N 过定点 I 口2 一b 2A 口2 6 2 I 丽勘 a 2 A b z y o 厂 类似地 我们可以得到如下结论 结论4若点A z Y o 是椭圆C 手 等2 1 上任意一点 M N 是c 上异于A 点的两点 若忌m 忌M A A 则直线 删过定点 瞄勘 萼羔弘 收稿日期 2 0 1 4 0 2 2 1 上接第4 8 页 的 听来的 只要经过了你自己的体验 那么 它对你来讲 就可成为一种楷模 当你再次碰 到类似的数学问题 它就是你可依照的模式 数学试题成千上万 我们不可能把它们一一 做完 但许多数学问题 无论是题设 结论还 是整体结构 数值 直观图像 解题方法都表 现出或隐含着某种数学模式 解题时 若善于 观察和捕捉这些模式特征 并由此分析 变 换 联想 转化 构造 往往可以迅速获得问题 解决的途径