矩阵的转置和对称矩阵.pdf

2 3 向量向量组组的秩的秩 一 一 向量向量组组的的极极大无大无关组关组 二 向量二 向量组组的等价的等价 一 一 向量向量组组的的极极大无大无关组关组 定义定义1 如果一个向的分满如果一个向的分满 1 性无关性无关 2 向中的任一向可以用它性示向中的任一向可以用它性示 则称分为向的一个则称分为向的一个极大无关极大无关 引例引例 向向 1023 0102 是否性相关是否性相关 定义定义1 1 1 性无关性无关 2 从向中任取一个向添加到分从向中任取一个向添加到分 中中 新分性相关新分性相关 注 注 由定义知由定义知 向的一个极大无关就是向向的一个极大无关就是向 中含有向个数最多的一个无关 中含有向个数最多的一个无关 包含向的向一定有极大无关因为包含向的向一定有极大无关因为 单个的向一定是性无关的单个的向一定是性无关的 一个性无关向的极大无关就是其本一个性无关向的极大无关就是其本 如果向中含基本单位向如果向中含基本单位向 它就是此向它就是此向 的一个常漂亮的极大无关的一个常漂亮的极大无关 一个向的极大无关不一定唯一一个向的极大无关不一定唯一 注 注 两定义价两定义价 仅含有向的向一定性相关仅含有向的向一定性相关 故没有极故没有极 大无关大无关 1023 0102 例如例如 二 二 向量向量组组等价等价 定义定义2 2 有向有向 1 1 如果向如果向 1 1 中的每一个向可以用向中的每一个向可以用向 2 2 性示性示 则称则称向向 1 1 可以由向可以由向 2 2 性示性示 s 12 L t 12 L 2 如果向如果向 1 1 2 2 可以互相性示可以互相性示 则称则称 向向 1 1 与向与向 2 2 价价 作作 st 1212 LL 1 反性反性 a a a a 2 对称性对称性 a a b b 则则 b b a a 3 传性传性 a a b b b b c c 则则 a a c s 12 L t 12 L b a 和和 c c 1 2 k 向价的基本向价的基本性性 有向有向 由向出的传性可 由向出的传性可 例例1 1 明明 1 1 2 2 2 3 与与 1 1 0 2 0 1 价价 定理2 9定理2 9 向与它的极大无关价向与它的极大无关价 推论推论 向的任意两个极大无关价向的任意两个极大无关价 因因 向量向量 的的 大无大无 不唯一不唯一 而每而每个个 大大 都都 与与向量向量 等价等价 所以所以 明明 因为任意因为任意n 向可以由向可以由n 基本单位向基本单位向 性示性示 故故 1 2分别可以由分别可以由 1 2 性示 性示 另一方另一方 11221 xx 察此方程有无穷察此方程有无穷 多多 即即 1可以由可以由 1 2性示 同理性示 同理 可可 2可以由可以由 1 2性示 所以两个向价 性示 所以两个向价 另另 向向 1023 0102 与与 10 01 价 价 当当一一个个大的向量大的向量 可以由一可以由一个个小的向量小的向量 性表示性表示 能否能否 定大向量定大向量 的向量的向量 的的 性性 系 系 定理2 10定理2 10 A B 是两个向是两个向 1 向向A可以由可以由B性示性示 2 s t 则向则向A性相关性相关 12 s L 12 t L 推论2 推论2 两个价的性无关向所含向个数相同两个价的性无关向所含向个数相同 推论3 推论3 向的任意两个极大无关所含向个数相同向的任意两个极大无关所含向个数相同 推论1推论1 如果如果性无关性无关 并且可以由向并且可以由向 性示性示 则则s t 12 s L 12 t L 否命否命 极大无关所含向个数由向决定极大无关所含向个数由向决定 与极大无与极大无 关的取无关关的取无关 是向具有的特征是向具有的特征 定义3定义3 向的极大无关中所含向的个数向的极大无关中所含向的个数 称为称为向的秩向的秩 作作 12 s rrank L 注 注 1 仅含向的向的秩为仅含向的向的秩为0 0 2 含向的向的秩一定大于于含向的向的秩一定大于于1 1 3 一个向的秩为一个向的秩为0 0 则此向中所有向则此向中所有向 为为0 0向向 命题 命题 向向 性无关性无关 r s 12 s L 12 s L 21 sr s s 21 性相关性相关 否命否命 命题 命题 如果向如果向 I I 可以由向可以由向 II II 性出则性出则 I 的秩的秩 II 的秩 的秩 定理2 11 定理2 11 如果向如果向 与与 价价 则则 它们的秩相它们的秩相 12 s L 12 t L 注 注 其其命不真命不真 即两向秩相即两向秩相 不一定价不一定价 例如例如 向向 12 00 与与 00 12 显然不价显然不价 的秩为的秩为1 1 但二但二 例例21121212 ss LL 明明 与与 有相同的秩有相同的秩 1 s L 1 s L 析析 两向价两向价 则秩相则秩相 例例3 下列两向是否价下列两向是否价 123 110 2 0 2 310 与与 123 011 1 0 1 110 析析 方法一方法一 由定义明由定义明 112233 1 2 3 iiii xxxi 可明些可明些 方程有方程有 即即 123 123 可由可由性示 性示 112233 1 2 3 iiii xxxi 可明些可明些 方程有方程有 即即 123 123 可由可由性示 性示 故两向价 故两向价 注此方法烦一不用此方法 注此方法烦一不用此方法 方法二方法二 先可以明两向性无关先可以明两向性无关 由由 4 4个三向一定相关可知个三向一定相关可知 1231 相关相关 123 无关无关 则则 1 可由可由 123 性示 性示 123 23 也分别可由也分别可由性示 性示 同理同理 似的似的 可可 123 123 可由可由性示 性示 从二价 从二价 同理同理 也是也是 的一个极大无关的一个极大无关 从二从二 价 价 123 3 R 123 又由二为又由二为3 3 向向 则在向则在向 中中 任意添加任意添加3 3 向所成的新向一定性相关向所成的新向一定性相关 m 个个n向的向向的向 m n 则向性相关则向性相关 即任意 即任意3 3 向可以由向可以由 性示 性示 123 3 123 R 所以由所有的所以由所有的3 3向所成的合向所成的合 是它的一个极大无关 是它的一个极大无关 方法三方法三 先可以明两向性无关先可以明两向性无关 与此相关的目与此相关的目习二习二 86 86 16 1621 21 基本定理基本定理 可以由可以由 性示则性示则 12s L