对称正交对称矩阵的广义特征值反问题.pdf

第44卷 第2期吉 林 大 学 学 报 理 学 版 Vol 44 No 2 2006年3月JOURNAL OF J I L I N UN I VERSITY SCIENCE ED ITI ON Mar 2006 研究简报 对称正交对称矩阵的广义特征值反问题 周 硕 1 2 吴柏生 1 1 吉林大学 数学研究所 长春130012 2 东北电力学院 数理科学系 吉林省 吉林132012 摘要 已知矩阵X及对角阵 讨论对称正交对称矩阵广义特征值反问题AX BX 的解 A B 利用矩阵的奇异值分解和矩阵分块法 给出其解的一般表达式 并用算例说明了这 种方法是可行的 关键词 广义特征值 反问题 对称正交对称矩阵 奇异值分解 中图分类号 O241 6 文献标识码 A 文章编号 167125489 2006 0220185204 I nverse Generalized Eigenvalue Problem for Symmetric Orthogonal SymmetricMatrices ZHOU Shuo 1 2 WU Bai2sheng 1 1 Institute of M athem atics Jilin University Changchun130012 China 2 Department of M athem atics and Physics Northeast China Institute of Electric Power Engineering Jilin132012 Jilin Province China Abstract Given matrixXand diagonalmatrix the solutions A B of the symmetric orthogonal symmetric matrices for inverse generalized eigenvalue problemAX BX are discussed Based on singular values decomposition of a matrix the general form of such solutions is established Numerical exampleswere presen2 ted to illustrate the validity of the proposed method Key words generalized eigenvalue inverse problem symmetric orthogonal symmetric matrix singular value decomposition 收稿日期 2005204208 作者简介 周 硕 1968 男 汉族 博士研究生 副教授 从事科学与工程计算的研究 E2mail zhou2shuo 163 com 联系人 吴柏生 1963 男 汉族 博士 教授 博士生导师 从事科学与工程计算的研究 E2mail bs wu public cc jl cn 基金项目 国家自然科学基金 批准号 10472037 高等学校博士点科研基金 批准号 20020183041 吉林省科技发展计划基金 批准号 20030106 和东北电力学院 大学 科研基金 批准号 DDYKY200509 矩阵及矩阵反问题的研究已成为当今计算数学中一个非常活跃的研究课题 1 6 由结构动力学等 实际问题中提出的矩阵广义特征值反问题在固体力学 分子光谱学 结构设计 振动控制 系统参数 识别等领域都有重要应用 目前关于广义特征值反问题已有许多研究成果 1 4 文献 1 3 研究了对 称矩阵的广义特征值反问题 文献 4 讨论了双对称矩阵的广义特征值反问题 对称正交对称矩阵是 比对称矩阵 双对称矩阵更广泛的一类矩阵 而对称正交对称矩阵在信息论 线性系统理论 线性估 计理论及数值分析 结构模型修正 振动设计与控制等领域中应用广泛 相应的矩阵反问题及其最佳 逼近解已取得一些研究结果 7 8 本文研究对称正交对称矩阵的广义特征值反问题 令R n m表示所有 n m阶实矩阵集合 OR n n表示所有 n阶正交矩阵的集合 SR n n表示所有 n阶 对称矩阵的集合 BSR n n表示所有 n阶双对称矩阵的集合 用rank A R A N A 分别表示矩阵A 的秩 列空间 零空间 A 表示 A的Moore2Penrose广义逆 Ik表示k阶单位阵 表示Frobenius范 数 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 设P是给定的n阶对称正交矩阵 即P R n n满足 P T P P 1 则存在n阶正交矩阵U 使得 P U In k0 0 Ik U T 定义1 7 8 设A为n阶矩阵 若A R n n满足 A U A10 0A2 U T A1 SR n k n k A2 SR k k 即A A T PA PA T 则称A为对称正交对称矩阵 对称正交对称矩阵的全体记为SR n n p 设ei为n阶单位阵In的第i列 i 1 2 n 记Sn e n en 1 e1 易知S T nSn I S T n Sn 对于n 2k时的情形 令 D 1 2 IkIk Sk Sk 则D OR 2k 2k 即D TD I2k 对于n 2k 1时的情形 令 D 1 2 Ik0Ik 020 Sk0 Sk 则D OR 2k 1 2k 1 即D TD I2k 1 k n 2 表示不大于n 2的最大整数 定义2 设A为n阶矩阵 若A R n n满足 A D A10 0A2 D T A1 SR n k n k A2 SR k k 即A A T S nASn A 则称A为双对称矩阵 问题1 已知X R n m diag 1Ik1 2Ik2 lIkl 1 2 l互异 l j 1 kj m 求A B SR n n p 使得AX BX 注 若P In 则问题1转化为对称矩阵的广义特征值反问题 1 3 若P Sn 则问题1转化为双 对称矩阵的广义特征值反问题 4 引理1 9 设Y R s n X R m l Z Rs l 则集合 S 3 A R n m f A YAX Z min 1 的通式可表示为 A Y ZX G Y YGXX G R n m 2 而当f A 0时 S 3 非空的充要条件是 YY ZX X Z 3 引理2 若A diag 1Ik1 2Ik2 sIks 且 1 2 s互不相同 s i 1 mi n 则AB BA 的充要条件是B diag B 1 B2 Bs 为与A分法相同的分块对角阵 其中Bi为任意的mi阶方阵 应用矩阵的奇异值分解和矩阵分块法 类似于文献 10 的定理证明可得 定理1 给定X R n m diag 1Ik1 2Ik2 lIkl 1 2 l互异 l j 1 kj m 设r rank X 则满足AX BX 且 A T A B T B的矩阵对 A B 的通解为 A A0 RA0 A0R T U2A22U T 2 B B0 RB0 B0R T U2B22U T 2 4 其中A0 X TC X B0 X TCX R U2WU T 1 C diag C 1 C2 Cl C j I kj V2jV 2j Gj I kj V2jV 2j Gj SR kj kj j 1 2 l V T 2 V T 21 V T 22 V T 2l V 2j R kj m r r rank X U U 1 U2 OR n n R U1 R X R U2 N X T V2 R m m r V T 2V2 Im r R V 2 N X W R r n r A22 B22 SR n r n r 681 吉 林 大 学 学 报 理 学 版 第44卷 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 定理2 对给定的X R n m diag 1Ik1 2Ik2 lIkl 1 2 l互异 l j 1 kj m 记 U TX X1 X2 X1 R n k m X2 R k m 则问题1恒有解A B SR n n p 且其解可以表示为 A U A10 0A2 U T B U B10 0B2 U T 5 其中Ai A i 0 RiA i 0 A i 0 R T i U i 2 A i 22 U i T 2 Bi B i 0 RiB i 0 B i 0 R T i U i 2 B i 22 U i T 2 A i 0 X i TC i X i B i 0 X i TC i X i Ri U i 2 WiU i T 1 i 1 2 C i diag C i 1 C i 2 C i l C i j I kj V i 2j V i 2j G i j I kj V i 2j V i 2j G i j SR kj kj j 1 2 l V i T 2 V i T 21 V i T 22 V i T 2l V i 2j R kj m ri ri rank X i U 1 U 1 1 U 1 2 OR n k n k U 2 U 2 1 U 2 2 OR k k R U i 1 R Xi R U i 2 N XT i V i 2 R m m ri V i T 2 V i 2 Im ri R V i 2 N Xi W1 R r1 n k r1 W2 R r2 k r2 A 1 22 B 1 22 SR n k r1 n k r1 A 2 22 B 2 22 SR k r2 k r2 证明略 记D TX X1 X2 X1 R n k m X2 R k m 若P In 则问题1转化为对称矩阵的广义特征值反问 题 见定理1 若P Sn 则问题1转化为双对称矩阵的广义特征值反问题 可得 推论1 对给定的X R n m diag 1Ik1 2Ik2 lIkl 1 2 l互异 l j 1 kj m 记 D TX X1 X2 X1 R n k m X2 R k m 则问题1恒有解A B BSR n n 且其解可表示为 A D A10 0A2 D T B D B10 0B2 D T 6 其中A i 0 X i T C i X i B i 0 X i TC i X i ri rank Xi R U i 1 R Xi R U i 2 N X T i R V i 2 N Xi 其余符号的含义同定理2 例1 设n 4 m 2 P 0100 1000 000 1 00 10 给定 X 1 1 10 01 0 1 10 02 容易计算 P 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 1 1 1 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 T 781 第2期 周 硕 等 对称正交对称矩阵的广义特征值反问题 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved X1 0 1 2 02 X2 2 1 2 00 X1和X2的奇异值分解为 X1 1 5 2 5 2 5 1 5 10 2 0 00 0 1 10 T X2 10 01 10 2 0 00 2 5 1 5 1 5 2 5 T 由定理2求得问题1的一组解A B为 A 0 080 08 0 160 16 0 080 08 0 160 16 0 16 0 160 32 0 32 0 160 16 0 320 32 B 0 040 04 0 080 08 0 040 04 0 080 08 0 08 0 080 16 0 16 0 080 08 0 160 16 参考文献 1 周树荃 戴 华 代数特征值反问题 M 郑州 河南科学技术出版社 1991 2 DA IHua OptimalApproximation ofMatrix Pencil underLinear Restriction J Mathematica Numerica Sinica 1989 11 1 29237 戴 华 线性约束下的矩阵束最佳逼近及其应用 J 计算数学 1989 11 1 292 37 3 DA IHua Optimal Approximation of Real Symmetric Matrix Pencil under Spectral Restriction J Numer Math J Chinese Univ 1990 12 2 1772187 戴 华 谱约束下实对称矩阵束的最佳逼近 J 高等学校计算数学学 报 1990 12 2 1772187 4 WU Zhu2zhu Solutions of Inverse Generalized Eigenvalue Problems forBisymmetricMatrices J Journal of Shaoguan University 2001 22 9 125 吴筑筑 双对称矩阵广义特征值反问题的解 J 韶关学院学报 2001 22 9 12 5 5 WU Wei Ostrowski2Taussky Inequality over Generalized Positive Matrices and Its Extension J Journal of Jilin University Science Edition 2003 41 3 3262328 吴 伟 广义正定矩阵上的Ostrowski2Taussky不等式及其 推广 J 吉林大学学报 理学版 2003 41 3 3262328 6 YUAN Hui2ping Determinantal Inequality of Generalized Positive Subdefinite Matrices J Journal of Jilin University Science Edition 2004 42 3 3462350 袁晖坪 广义次正定矩阵的行列式不等式 J 吉林大学学报 理学 版 2004 42 3 3462350 7 HU 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