化学中数学模型的特点及应用.pdf

2 6 高等 函授学 报 I 9 9 4年第 5期 化学中数学模型的特点及应用 李秀 芹 徐 富清 数学方 法是人们研究 自然科学 社会 科学 和思维科学 的重 要方法之 一 数学 方法在科 学研 究 中的应用 其重要形 式就是 建立客观 描述 自然现象 中各有 关因素 间数量关系 的数学模型 并 且应用 它们进 行计算 以解决 有关 的实际问题 一 自然科学领域 内的两类数学模 型 若 依据 所描述 的 自然现象 的空 间形式 及量 的变化规律 可将 数学模 型分 为四类 描 述 自然 界 中必然性 现象规律 的确定性 数学模型 描述随机性现象 规律的随机性 数学模型 描述模 糊现 象 模 糊信 息规律 的模糊性数学模型 以及描述 自然界普遍存 在的不连续 的突变现象 突变 过程 规律 的突变性 数学模 型 若依据数学模 型建立的方 法 则可将它 们分 成理论 数学 模型和经验 数 学模型 两类 理论数学模 型 是根据物理 规律建立 的 描述 了 自然现象 中各有关物理 量 的定量关 系 其 建立方 法有两种 一种 是理论 推导 的方法 即从 已确 定的科学 概念 定理 出发 按 一定 的规则 以逻辑推理 的形 式建立的数 学模 型 例 如描述 电流通过 电阻 为 R的导线 时放 出的热量 O 与电 流强 度 通 电时 间 关系的数 学模 型 Q I z Rt 焦耳定 律 就 是从 已知的静 电学 规律 和欧 姆 定律 推导建立 的 另外 一种是将 长期 的生产实践经验 加以总结和归 纳的方法 使用这种方 法建 立 的数学模 型 只能通 过实践印证而无法进行理 论推导 例 如描述传热规律 的数学模 型 q KA 式 中 口 K A 分 别为传热 速率 传热 系数 传热面积 平均传 热温 度差 就是 用这种 方法 建立的 它是人们对传热 现象 总结 和归纳的结 果 经验数 学模型 是 根据 实验 数据或结果建 立 的 描述 了 自然 现象 中各有关 物理量 的数字 关 系 其建立方法 有三种 一是将实验 数据 或结果加 以总结和归纳 的方 法 例如描述化 学反 应速 度常数 k与温度 关 系的数学模 型 即 AT T h e n i u s 公 式 就是 瑞典物理化 学家 阿 累尼 乌斯 通过 反复实验 将大 量实验数据 总结 和归纳后建立 的 二是 将理论推导与 实验 数据或结果 相结 合 的方法 例 如描述流体在光 滑管 内湍流流动时摩擦 阻力系数 与 流速 流 体密度 P 流体粘 度 和管 径 d关 系的数学模型 0 3 1 6 4 R 即 Bl a s i u s 公式 就是用 这种方法建立 的 建 立 过程 中 先用因次分析 的数学方法推导 出 与雷诺 e y h o l d s 准数 R u p u 的关系式 枷 再通过大量实验 确定前述条件下 a和 b 的数值分别为 0 3 1 6 4 和一0 2 5 三则是先将 实 际的 自然现象加 以合理简化 提 出一个理想模 型来 通 过理 论推 导 得 出描 述理 想模型 规律 的数学模 型 然 后 根据 实验 数据对 以上数学模 型加 以修正 从而得 出符合实际情 况的经验数 学 模型 例如柏努 利 e r n o I I 在研究 流体在管 道 内流动时 的动量传递规律 时 首 先假定流体 是不可压缩的 无粘性 的理 想流体 然后依据能量 守恒 的原理 推导 出了理 想流体 的柏努 利 方 程 蒡 pP A I H 豸 pP A z 作者 单位 曲阜师范大学化学系 焉豇 辟 Q 维普资讯 高 等函授学报 1 9 9 4年第 5期 2 7 考虑 到实际流体具有 粘性 流 动过程 中必然有能量 损失 再 将上式修正 为 l 若 一 式中 为外加压头 H 为损失压头 以米流体柱作单位的能量损失 其数值由实验捷供 二 化 学 中 两 类 数 学 模 型 的 特 点 1 理论数 学模型的特点与经验数学 模型相 比较 理论数学 模型有 四个 特点 1 唯一性也就是说描述 自然现象某特 定规律的 数学模 型只有一个 例 如依据质量 守 恒原理建立 的吸 收操作线方程 Y 一 x 式 中 和 分 别为塔 内纯 吸收剂 和惰性 气体的 流量 rod s Y 和 分别是塔 底气 液两相 的组成 摩 尔比 Y和 x 则分别是 塔 内任一截面处 的气 液两相 组成 该方程 是描述吸收塔 内 任一截面处气 液两 相组成关 系的唯 一数学模型 2 广泛 的适用性 例 如牛顿力学三定律 一0 ma F 适用 于 自然界中所有 的 宏 观 运 动 现 象 3 准确性 即 利用理 论数学模 型计算 出来的结果是 绝对可靠的 4 因次一致性即理论数学 模型 中所有 物理 量 的单位属 于 同一种 单位 制度 并且 等号 两边 具有相同的单位及 方次 2 经验 数 学模 型的特 点 与其相对应 经验数学模 型也有四个特 点 1 多元性即描述 自然现象某特 定规律 的数学模 型很可 能不止一个 例如描述 流体在 光滑 管 内湍流流动 时摩 擦阻 力系数与诸 因素的关系式 除 了前面提到 的柏拉修斯公式外 还有 一 些 其它的公式 柯 纳柯夫公式 1 8 t g R 1 5 就是其 中的一个 究其原因 主要是 不同的人采用 了不 同的实验方法或不 同的数学 处理方法造成 的 2 范 围性 由于经验数学 模型是 依据 实验 数据 或结果 建立 的 而 实验 总是 在有 限有 条 件下 进行 的 所以经验数学 模型往往 具有一定 的适 用范 围 例如柏拉修斯 公式 就仅适用于光滑 管 且 一3 1 0 l 1 0 3 粗略性任何实验都要 使用仪 器和设备 而仪器 和设备又 都是历史 的产物 都是在 一 定的生产力和科学技 术水平的条件 下研 制出来的 它们的质 量 灵敏度和效 率必然受当时生产 和科 学技术水平 的限制 因此 在一定的历史 时期所进行 的科学 实验 呆 能达到相应的深 度和 范围 而 依据实验数据或结 果建立的数学模 型也 就或多或少地偏离 实际研究对象 4 因次可能不一致性 由于经验 数学 模 型中每 一个物 理量 的单 位 是 由模 型 的建立 人 在总结和 归纳实验 数据时指 定的 因此 可能出现两 种情 况 一 是模 型中各个 物理量 的单位 隶 属 于不同的单位 制度 二 是模型 中等号两边 的单位及方次 未必 一致 例 如描述 气体 4在 气体 B中的扩散 系数 D 与压强 P 温度 与 B的摩尔质量 与 与 B的摩 尔体积 和 关 系的经验 数学模型 即 Ma x W e l l Gi l l i a u d公式 4 3 l O r T 1 M l MB 1 一 P vy 3 v 式中指定 D 的单位为 m P的单 位为 a g m T的 单位为 和 的单位 皆为 g mo l 1 和 的单位为 c too l 很显 然 以上物 理量的 单位并 不属于 同一单 位制度 而 是分别 居于 s J 工程 单位制和 C GS制 同时 等号两边 的单 位与方次也不 一致 再例 如化学 动力学 研究中 维普资讯 2 8 高等函授学报 1 9 9 4 年第 5 期 的重要经验数学模型 阿 累尼乌斯公式 A e一 式中 叫作指前 因子 或频 率因子 是 经验常数 没有单位 E是反应的 活化能 单位 为 t l 为气体常数 单位为 J mo 1 K 温度 的单位 为 不 难看 出 上式 等号 右边是 没有单位 的 由动 力学方 程 r 一 c c 整理可得 一r c c 的单位应 为 m D f m s t 一 s 其 中 一 b 是反应的级数 所 以 阿 累尼乌斯公 式等号 两边的 单位与方次并 不相同 三 应用数学模型进 行计算时应该注意 的问题 怎样 应用 已有的数学馍型进行 计算以解决有关 的实际 问题呢 概 括地 说 就 是选择 的数学 模型适 当 计算 时正确 无误 对 于经验 数学模型的选 择 有时并 非是容 易的事情 这 一方面 是因为 每一个 经验数学 模型 都有其一 定的适用范 围 而这个适用 范围往往又窄 又小 选 择时稍不 注意 就会 出错 如 下 四 例 例 l 描述给热 系数 与流 体的 导热系数 管径 d 流动形态 R 及 普兰特准数 P 等诸因 素关 系的经验 数学模型 D g t t u 8 B o e l t e r公式 一 o o 2 3 吾 砖 P 此式 仅适用于流体在 圆管内流动 且 1 0 0 0 0 0 7 P 1 2 0 管 长与 管径之 比大 于 6 0 低粘 度流 体 实际情 况只要有一项偏 离规 定的要求 就必须按照 规定对计算结 果作相应的 修正 另 一 方面则是有些 经验 数学模型的适 用范围不能直接判 定 给 我们的选择带来 困难 例 2 描 述球 形 颗粒 在流体 中沉降时 沉降速度 与颗粒直 径 d 颗粒 密度 P 流 体密度 J 流体粘度 关系的 经验数学模型有 三个 它 们分 别是 St o k e s a t j n 一 N ew t on equat i on of set tl i ng 0 77 d P s p 一 广一 5 4 5 d p p 以上三个 数学 模型的适用 范围分 别是 1 0一 R 1 1 R 1 0 1 0 R 2 1 0 式 中 R R d J 为颗粒 沉降时 的雷诺准数 很 显然 如 果知道颗 粒沉降 时的雷 诺准数值 便可 确定选 用哪一个 数学模型进行 计算 问题 是 R 中含有未 知的沉 降速度 故不能直 接判 定 使用哪一个数学模 型 这 种情况 时 常常采用 试差法 即首先假设 R 的数值范 围 以确 定选 择哪 一个数学模型 然后根据选 定的数学模型计 算出颗粒 的沉 降速 度 最 后用计算 出来 的沉降 速度 求出 R 的值 以验 正原先假设的 R 数值范 围是 否正确 若 R 的值在原 先假 设范围之 内 表 明选择的数学模 型是正确的 否则 应 另设 另选 例 3 欲求 比重为 0 9 直径 为 l 5 m 的油滴在 2 O C的空气 中的 沉降速度 已知 2 0 的空 气粘度 1 8 l O s p S 密度 J 1 2 1 k g m 计算前 考虑到 油滴直径 非常小 比重 又不 大 故设 l 0 R 1 采用 S t o k e s e q u a t i o u进行计算 一 塑 0 o 6 h 一 一 了 一U U U o l 下 转 第 5 一 t 3页 维普资讯 高等 函授 学报 1 9 9 4年第 5期 4 3 满射 R 2 V a U r 一 I a I l 所 以 U Ke r V C 若 U 坝0 一 I I l Ke r 9 因此 Ke f g U 根据 同态基本定 理 C v R 也可 以直接建立 C v 到 R 的同构映射 事实上 由例 3 以 0为 圆心 的同 心圆与实半 轴有 且 只有 一个 交点 这个 相交关 系给 出 了 C v 与 R 之间的一个双射 妒 r U r V r U C v 妒 r U s U 一 妒 r s U 一 r s一 妒 r U 妒 d J 所以 妒是 到 R 的同构映射 例 8 设 一 l 一 一 5 z 6 z 一4 3 6 3 求 的 值 分析 是实系数 多项式 尹 一 o a 是 实系数的不可约 多项式 在 实数域 上的多项式 环 R 中 尹 生成的理 想为 尹 那 么 尹 是极大理想 商环 R 3 p 一 d b p z I d b R 是域 并且域 R 尹 与 R r 一 a a b I a b R 同 构 求 a 的值可 以先用 尹 除 求 余式 r 即 设 一 口 r 则 a 一r a 解 p 一 a a 一 一2 3 一 一2 3 2 6 2 1 2 一 6 所 以 a 一6 a 6 1 一 2 i 用近世代 数的观 点来考查初等 数学 中的一些 问题 从 整 体出发认识 本质属 性对 问题 的理 解更深刻 如例 8 因为 一l 也 是实系数不可约 多项式 尹 的根 则 一6 一6 1 i 由于 R p 是 域 当 尹 时 a 0 还可 以求 a 一 上接 第 5 2 8页 再 由求 出的沉降速度计算 R 的值以验证原先 的假设是否正确 R 一 一 一 显然 这个数值 是所选沉降公式 的适 用范围 故 计算正确 例 4 如前面提到的实际流体的柏努利方程 并非适用于所有情况 由于在该