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第五章表象 1坐标表象与动量表象 2本征值为分立的力学量表象 3表象变换 4Dirac符号 1坐标表象与动量表象 表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 坐标表象的波函数 满足Schrodinger 对不显含时间t 则可以分离变量x与t 设上述定态方程的解为 并设是正交归一的 即 则含时Schrodinger方程的一般解为 Cn为迭加常数 由初始条件决定 若 则 动量表象 两边同乘 满足的方程 两边同乘 P 表象中的运动方程 特例 当V不显含时间t时 例1在P表象中计算一维谐振子的定态能量和波函数 解 定态方程 2本征值为分立的力学量表象 1 力学量F表象的波函数 设力学量取本征值 相应的本征函数为 即若满足正交归一性 则构成完备系 x 表象波函数可表示为 考虑到波函数可以看成函数空间中的矢量 可以用矩阵表示方法来表示F表象中的波函数 波函数归一化 是的厄米共轭矩阵 2 任一算符在F表象中的表示 算符在F表象中为一方阵 3 算符在自身表象中 基 其本征函数在自身表象中 即对角的 4 波函数的内积 x 中内积 F 5 F 中的Schrodinger方程 同样 对定态Schrodinger方程 V不显含t 则 该方程有非零解 6 平均值 说明 对三维运动 要选择三个相互对易的力学量完全集 如的共同本征函数完备集作为表象的基 如设的本征值都是分离的 分别为其量子数分别为 它们的共同本征函数记为 则可选定一排序方法 并依次记为1 2 如记 则得到表象中相应的表示 求 李子的定态能量和波函数 已知t 0的波函数为求任意t时刻的波函数 例 设Q表象的基为 某粒子的HamiltonianH在Q表象中的矩阵为 解 本征函数 一般解 3表象变换 本节讨论本征值为分立的力学量表象之间的波函数变换与算符变换 为方便计 我们考虑一维的情况 但这并不失一般性 设表象 A 中 其基为 算符 则在 B 中 波函数和算符L如何表示 现有另一表象 B 基为 显然 任意波函数 记 则 或 S矩阵的性质 S是幺正的 力学量在 A B 中的关系 在A中 在B中 又有 4Dirac符号 1 右矢 Dirac引进右矢表示一般抽象的态矢 为清楚起见 则于其内标t的某种记号 如表示波函数的态可记为 而对于本征值 常用本征值或相应的量子数标在右矢内 如坐标的本征值为 本征函数则记为 动量的本征值为 本征函数则记为 能量的本征值为 本征函数则记为 一般的 力学量 其本征
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