chp3 综合练习题.pdf

湖北民族学院理学院 数值分析 教学辅导材料 陈以平编写 1 第三章 综合练习题 1 函数逼近的概念 函数逼近是指 对函数类A中给定的函数 x f 记作 A x f 要求在另一类简单便 于计算的函数类B中求函数 p xBA 使 x p 与 x f 的误差在某中度量意义下最 小 函数类A通常是区间 b a 上的连续函数 记作 b a C 称为连续函数空间 而函 数类B通常为n次多项式 有理函数或分段低次多项式等 2 最佳一致逼近多项式的概念 给定 b a C x f 若存在 2 1 n nn PxHspanx xx 使得 max min min max nn P xHP xH a x ba x b f xPxf xPxf xP xf xP x 则称 x P n 是 x f 在 b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式 简称最佳逼 近多项式 3 最佳平方逼近多项式的概念 给定 b a C x f 若存在 2 1 n nn PxHspanx xx 使得 2 22 2 2 dmin min d nn bb aa P xHP xH f xP xf xP xxf xP xf xP xx 则称 x P n 是 x f 在 b a 上的最佳平方逼近多项式 4 最小二乘拟合的概念 对给定的一组数据 0 1 ii x yim 要求在函数类 01 n span 中找 一个函数 ySx 使误差平方和 2 2 22 2 001 min mmm iiiii S x iii SxyS xy 其中 0011 nn S xaxaxaxnm 湖北民族学院理学院 数值分析 教学辅导材料 陈以平编写 2 带权的最小二乘法 2 22 2 00 min mm iiiiii S x ii xSxf xxS xf x 其中 0 x 是 a b 上的权函数 5 最小二乘拟合曲线的求法 给定数据点 0 1 ii x yim 及 01 n spannm 和权函数 w x 通 常取 1 w x 设拟合曲线为 1 1 0 0 x a x a x a x S n n 并记 0 i k i j m i i k j x x x k i k i m i i k d x x f x f 0 则 S x 中的参数向量 01 n a aa 是下列方程组 称为 法方程 决定 d Ga 其中 1 0 1 0 T n T n d d d d a a a a 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 n n n n n n G 此时平方误差为 2 0 2 2 i i m i i x f x S x 若 1 1 n spanxxnm 则法方程为 0 21 1 12 n ii iiiii n iii iiiiii n nnn n iii iiiiii a y xx a x y xxx a x y xxx 6 n R 上常用的几种范数有 1 向量的 范数 答案 1 max i i n x x 2 向量的1 范数 答案 1 1 n i i x x 湖北民族学院理学院 数值分析 教学辅导材料 陈以平编写 3 3 向量的2 范数 答案 1 2 2 2 1 n i i x x 4 向量的 p 范数 答案 1 1 n p p i p i x x 7 对连续函数空间 C a b 常用的几种范数有 1 范数 答案 max a x b ff x 2 1 范数 答案 1 b a ff x dx 3 2 范数 答案 1 2 2 2 b a ff xdx 8 设X 为一个内积空间 12 n u uuX 则 12 n u uu 线性无关的充要条件是格拉姆 Gram 矩阵 11211 12222 12 n n nnnn u uu uu u u uu uu u G u uu uu u 为 答案 非奇异 9 x 2 3 1 5 f x cosx 0 求 1 2 范数 解 10 数据拟合的直线方程为y a0 a1x 如果记 y x n y x l x n x l y n y x n x n k k k xy n k k xx n k k n k k 1 1 1 2 1 2 1 1 那么常数a0 a1 满足的方程组是 湖北民族学院理学院 数值分析 教学辅导材料 陈以平编写 4 A 1 0 1 0 xy xx l a l a x y a x na B 1 0 1 x a y a l l a xx xy C 1 0 1 0 xy xx l a l a x n y x a a D 1 0 1 0 xy xx l a l a x y x a a 答案 B 11 已知 i x 2 1 0 1 2 i x f 4 2 1 3 5 求 x f 的二次拟合曲线 2 x p 并求 0 f 的近似值 解 i i x i y 2 i x 3 i x 4 i x i i y x i i y x 2 0 2 4 4 8 16 8 16 1 1 2 1 1 1 2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 10 20 0 15 10 0 34 3 41 正规方程组为 41 34 10 3 10 15 10 5 2 0 1 2 0 a a a a a 14 11 10 3 7 10 2 1 0 a a a 2 2 14 11 10 3 7 10 x x x p x x p 7 11 10 3 2 10 3 0 0 2 p f 12 已知下列实验数据 xi 1 36 1 95 2 16 f xi 16 844 17 378 18 435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据 解 列表如下 i i x i y 2 i x i i y x 0 1 36 16 844 1 8496 22 90784 1 1 95 17 378 3 8025 33 8871 2 2 16 18 435 4 6656 39 8196 5 47 52 657 10 3177 96 61454 设所求一次拟合多项式为 x a a y 1 0 则 61454 96 657 52 3177 10 47 5 47 5 3 1 0 a a 解得 7534 1 355 14 1 0 a a 湖北民族学院理学院 数值分析 教学辅导材料 陈以平编写 5 因而所求的一次拟合多项式为 x y 7534 1 355 14 13 已知数表 x 1 2 3 y 3 8 7 2 10 求最小二乘一次式 解 设最小一次式为 x a a x g 1 0 1 由系数公式得 3 1 0 n s 2 0 1 6 i i x s 14 2