河南省焦作市沁阳一中高中数学 2.3.3空间两点间的距离公式导学案 新人教A版必修1.docVIP

2.3.3 空间两点间的距离公式学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.知识要点：1. 空间两点、间的距离公式：.2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：在立体几何图形中建立空间直角坐标系；依题意确定各相应点的坐标 ；通过坐标运算得到答案.3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点p(x, y, z) 关于坐标平面xoy、yoz、zox的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).例题精讲：【例1】已知a(x,2,3)、b(5,4,7)，且|ab|=6，求x的值.解：|ab|=6， 即，解得x=1或x=9.【例2】求点p(1,2,3)关于坐标平面xoy的对称点的坐标.解：设点p关于坐标平面xoy的对称点为，连交坐标平面xoy于q，则坐标平面xoy，且|pq|=|q|，在x轴、y轴上的射影分别与p在x轴、y轴上的射影重合， 在z轴上的射影与p在z轴上的射影关于原点对称，与p的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数， 点p(1,2,3)关于坐标平面xoy的对称点的坐标为(1,2,-3).【例3】在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离. 解：以d为坐标原点，从d点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设p、q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y. 要求异面直线间的距离，即求p、q两点间的最短距离. 设p在平面ac上的射影是h，由在中，所以，x=a-z， p的坐标为(a-z, a-z, z) |pq|= 当时，|pq|取得最小值，最小值为. 异面直线间的距离为.点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0.【例4】在四面体p-abc中，pa、pb、pc两两垂直，设pa=pb=pc=a，求点p到平面abc的距离. 解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系p-xyz，则p(0,0，0)，a（a,0,0），b（0,a,0），c（0,0,a）.过p作ph平面abc，交平面abc于h，则ph的长即为点p到平面abc的距离. pa=pb=pc,h为abc的外心，又 abc为正三角形，h为abc的重心，可得h点的坐标为.|ph|=,点p到平面abc的距离为点评：重心h的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本题也可以用几何中的等体积法来求解.基础达标1点到的距离相等，则x的值为（ ）. a. b. 1 c. d. 22设点b是点关于xoy面的对称点，则=（ ）. a. 10 b. c. d. 383到点，的距离相等的点的坐标满足（ ）. a. b. c. d. 4已知，在y轴上求一点b，使，则点b的坐标为（ ）. a. b. 或 c. d. 或 5已知三角形abc的顶点a（2，2，0），b（0，2，0），c(0，1，4)，则三角形abc是（ ）. a直角三角形 b锐角三角形 c钝角三角形 d等腰三角形6在空间直角坐标系下，点满足，则动点p表示的空间几何体的表面积是 . 7点到x轴的距离为 . 能力提高8（1）已知a(2,5，-6)，在y轴上求一点b，使得|ab|=7；（2）求点p(5,-2，3)关于点a(2,0，-1)的对称点的坐标.9已知、，在平面内的点m到a点与b点等距离，求点m的轨迹.探究创新10点p在坐标平面xoy内，a点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|pa|=5的点p的轨迹是什么？答案：15 babba； 6. ； 7. .8. 解：（1）b(0,2，0)或b(0,8，0).（2）(-1,2，-5)9. 解：设点m的坐标为，则有，化简得，即.所以，点m的轨迹是平面内的一条直线.10. 解：设点p的坐标为(x, y, z)， 点p在坐标平面xoy内，z=0.|pa|=5，即=25，点p在以点a为球心，半径为5的球面上，点p的轨迹是坐标平面xoy与以点a为球心，半径为5的球面的交线，即在