高考数学一轮复习专题2.4函数的周期性、对称性练习（含解析）.docx

第四讲 函数的周期性与对称性【套路秘籍】-千里之行始于足下1 对称性（1） 对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。2.常见函数的对称轴常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（k，0）是它的对称中心，x=k+/2是它的对称轴正弦型函数：正弦型函数y=Asin(x+)既是轴对称又是中心对称，只需从x+=k中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从x+=k+/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=k是它的对称轴，（k+/2，0）是它的对称中心正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（k/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（k,0）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。绝对值函数：这里主要说的是y=f(x)和y=f(x)两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=lnx就没有对称性，而y=sinx却仍然是轴对称（2） 中心对称1.概念：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心2.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称二、周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 周期性【例1】（1）若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)则f f _.（2）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)2，且对任意的x都有f(x2)，则f(2 020)_.（3）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_【答案】（1） （2）2 （3）6【解析】（1）由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f f f f f f f f sin .（2）由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)f(4)因为f(22)，所以f(4)2.故f(2 020)2.（3）f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.【套路总结】函数周期的常见结论设函数yf(x)，xR，a0.(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a；(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(xa)，则函数的周期为2a；(4)若f(xa)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线xa与xb对称，那么函数f(x)的周期为2|ba|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|ba|；(7)若函数f(x)关于直线xa对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|ba|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4a.【举一反三】1设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.【答案】1【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.f f(1)f f(2)f f 0f f(0)f f f f(0)f f f(0)12011.2.已知函数f(x)的定义域为R.当x时，f f .则f(6)()A.2 B.1 C.0 D.2【答案】D【解析】当x时，由f(x)f(x)，得f(x)f(x1)，f(6)f(1)，又由题意知f(1)f(1)，且f(1)(1)312.因此f(6)f(1)2.答案D3定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2018)等于()A336 B339 C1678 D2012【答案】B【解析】f(x6)f(x)，函数f(x)的周期T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1.f(1)f(2)f(3)f(2015)f(2016)1336.又f(2017)f(1)1，f(2018)f(2)2，f(1)f(2)f(3)f(2018)339.故选B.4.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a，bR.若f f ，则a3b的值为_【答案】10【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f 且f(1)f(1)，故f f，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.考向二 对称性【例2】（1）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),且y=f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A f(-4.5)f(3.5)f(12.5) B f(3.5)f(-4.5)f(12.5)C f(12.5)f(3.5)f(-4.5) D f(3.5)f(12.5)f(-4.5)（2）已知函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，当(-,1时，函数f(x)单调递减，设a=f(log412),b=f(log133),c=f(log39)，则a,b,c的大小关系是（ ）A abc B cab C acb D cba（3）已知函数f(x-1)(xR)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，当x-1,1时，f(x)=x-1，则f(2019)=()A -2 B -1 C 0 D 2【答案】（1）B （2）B （3）D【解析】（1）由f(x+6)=f(x)，可得T=6，又y=f(x+3)为偶函数， f(x)的图像关于x=3对称，所以f(3.5)=f(2.5)f-4.5=f1.5，f(12.5)=f(0.5).又f(x)在(0,3)内单调递减 f(3.5)f(-4.5)f(12.5).故选B.（2）根据题意，函数fx满足f1-x=f1+x，则函数fx 关于直线x=1对称，又由当-,1时，函数fx单调递减，则函数在1,+上单调递增，又由a=flog412=f-log42=f-12=f52，b=flog133=f-1=f3，c=flog39=f2，则有cab，故选B.（3）根据题意，函数f(x-1)(xR)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x=-1，则有f(x)=f(-2-x)，又由函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，则f(x)=-f(2-x)，则有f(-2-x)=-f(2-x)，即f(x+4)=-f(x)，变形可得f(x+8)=f(x)，则函数是周期为8的周期函数，f(2019)=f(3+2528)=f(3)=-f(-1)=-(-1-1)=2；故选D【套路总结】1 对称轴常见类型1.2.的图象关于直线对称3.的图象关于直线对称4.的图象关于直线对称二对称中心常见类型2.的图象关于点对称3.的图象关于点对称4.的图象关于点对称三周期与对称性的区分若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。【举一反三】1设函数f(x)的定义域为0,4，若f(x)在0,2上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则下列结论正确的是A f(e)f(5)f(1) B f(1)f(5)f(e)C f(5)f(e)f1 D f(5)f(1)f(e)【答案】C【解析】f(x+2)为偶函数，则fx+2=f-x+2，函数图像关于直线x=2对称，f(x)在0,2上单调递减，则f(x)在2,4上单调递增，由对称性可得f1=f3，由于5e3，故f5fef3，即f(5)f(e)0则f32、f(2)、f(3)从小到大的关系是（ ）Af32f(2)f(3)Bf(3)f(2)f32Cf32f(3)f(2)Df(3)f32f(2)【答案】D【解析】对于任意的xR，都有f(x+1)=f(x-1),所以函数的周期为T=2;函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)关于直线x=1对称；对于任意的x1,x20,1，都有fx1-fx2x1-x20，所以函数在（0,1）单调递增，因为f(3)=f(1),f(32)=f(12),f(2)=f(0),1120，所以f(3)f32f(2)，故选：D3已知f（x）是定义域为（-，+）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x），f（1）=2，则f（-1）+f（3）=（）A4B0C-2D-4【答案】D【解析】根据题意，f（x）是定义域为（，+）的奇函数，且f（1）=2， 则f（1）=f（1）=2， 又由f（x）满足f（1x）=f（1+x），则函数f（x）的对称轴为x=1， 则f（3）=f（1）=f（1）=2， 则（1）+f（3）=4； 故选：D4已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x)=fx-1，则函数y=g(x)的图象关于（ ）A直线x=-1对称B直线x=1对称C原点对称Dy轴对称【答案】B【解析】设函数h(x)=f(x), 所以有h(-x)=f(-x)=f(x)h(x)=h(-x)定义域为R，所以函数h(x)是R上的偶函数，图象关于y轴对称，也就是关于直线x=0对称.而g(x)=fx-1的图象是由函数h(x)=f(x)向右平移一个单位长度得到的。因此函数y=g(x)的图象关于直线x=1对称，故本题选B.5已知函数fx=sin2x-1,x0,且a1,x0的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）A0,33 B55,1 C33,1 D0,55【答案】D【解析】若x0，则-x0，因为x0时，fx=sin2x-1，所以f-x=sin-2x-1=-sin2x-1，所以若fx=sin2x-1x0，设gx=-sin2x-1x0，画出函数gx的图像：要使gx=-sin2x-1x0与fx=logaxx0的图像至少有3个交点，则0a1且满足g5 f5，即-2loga5，解得0a55，故选D。考向三 函数基本性质的综合运用【例3】 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0)(0,2上，f(x)则f(2 021)_.（2）已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_.（3）已知函数fx满足：f2-x=fx，当x1时，fx=2-x,x1,2,x2-4,x2,+,若不等式fx6x+a恒成立，则实数a的取值范围是 。【答案】（1） （2）2 （3）【解析】（1）设0x2，则2x0，f(x)axb.因为f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，所以f(x)f(x)ax1axb，所以b1.而f(2)f(24)f(2)，所以2ab2a1，解得a，所以f(2 021)f(1)11.（2）f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)0，又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.（3）由f2-x=fx，可知函数fx图像关于直线x=1对称，作出函数fx示意图，如图所示.显然，当x2时，fx=x2-4，fx=2x，由题意，切线斜率为6所以2x=6，解得x=3所以在切点3,5的切线方程为y-5=6x-3，即y=6x-13，由fx6x+a恒成立，可得y=fx图像与y=6x-13的图像相切或恒在y=6x-13图像的上方，故所求a的范围为【举一反三】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则f(25)，f(11)，f(80)的大小关系为_【答案】f(25)f(80)f(11)【解析】因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)所以f(25)f(80)f(11)2.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当xf(x)，则实数x的取值范围是_【答案】(3,2)【解析】g(x)是奇函数，当x0时，xf(x)，可得6x2x，即x2x60，3x2.3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调增函数如果实数t满足f(ln t)f 2f(1)，那么t的取值范围是_【答案】【解析】f(ln t)f f(ln t)f(ln t)2f(ln t)2f(|ln t|)，于是f(ln t)f 2f(1)，所以f(|ln t|)f(1)，所以|ln t|1，所以1ln t1，所以te.4.已知函数f(x)sin xx，则关于x的不等式f(1x2)f(5x7)0的解集为_【答案】(2,3)【解析】因为f(x)sin(x)xsin xxf(x)，所以f(x)为奇函数又因为f(x)sin xx2x，所以易判断f(x)在R上单调递减，所以f(1x2)f(5x7)0，即f(1x2)75x，即x25x60，解得2x3.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1若函数fx的图像与函数gx=10x的图像关于直线y=x对称，则f100=（ ）A10 B-1 C2 D-2【答案】C【解析】fx与gx关于y=x对称fx为gx的反函数fx=lgxf100=lg100=2本题正确选项：C2已知函数f（x）（xR）满足f（x）=f（2-x），且对任意的x1，x2（-，1（x1x2）有（x1-x2）（f（x1）-f（x2）0则（）Af(2)f(-1)f(1)Bf(1)f(2)f(-1)Cf(1)f(-1)f(2)Df(2)f(1)f（2）f（1） 即f（-1）f（2）f（1） 故选：B3函数f(x)满足：y=f(x+1)为偶函数：在1,+)上为增函数.若x2-1，且x1+x2f(-x2)Bf(-x1)-1，则-x21，又由x1+x2-2，则x1+2-x2f(-x2)，又由f(-x1)=f(2+x1)，则f(-x1)f(-x2)，故选：A4已知函数f (x)=f (-x),且当x(-2,2)时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则AabcBbcaCcbaDcab【答案】D【解析】由f（x）f（x）知，f（x）的图象关于x2对称，又当x(-2,2)时，f（x）x+sinx是增函数，所以x(2,32)，f（x）是减函数，又f（1）f（1），2213，由单调性可得f（2）f（1）f（3），即bac故选：D5已知函数f(x)=x2+log2x，则不等式f(x+1)-f(2)0的解集为（ ）A(-3,-1)(-1,1) B（-3,1） C(-,-1)(3,+) D(-1,1)(1,3)【答案】A【解析】不等式f（x+1）f（2）0等价为f（x+1）f（2），f（x）x2+log2|x|，f（x）（x）2+log2|x|x2+log2|x|f（x），则函数f（x）是偶函数，且当x0时，f（x）x2+log2x为增函数，则不等式f（x+1）f（2）等价为f（|x+1|）f（2），|x+1|2且x+10，即2x+12且x1，则3x1且x1，不等式的解集为（3，1）（1，1），故选：A6已知函数y=f(x+1)关于直线x=-1对称，且f(x)在(0,+)上单调递增，a=f-log315，b=f-2-0.3，c=f2log32，则a，b，c的大小关系是（ ）Aabc Bbac Ccab Dbclog341,-1-(12)0.30根据函数对称性及单调性可知bca所以选D7已知函数fx为偶函数，且函数fx与gx的图象关于直线y=x对称，若g2=3，则f-3=A-2 B2C-3 D3【答案】B【解析】f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，且g（2）=3, f（3）=2,f（x）为偶函数,f（3）=f（3）=2故答案为B.8已知定义在R上的函数fx在1,+上单调递减，且fx+1是偶函数，不等式fm+2fx-1对任意的x-1,0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A-3,1 B-4,2 C-,-31,+ D-,-42,+【答案】A【解析】fx+1是偶函数f-x+1=fx+1，fx的图像关于x=1对称，由fm+2fx-1得m+2-1x-1-1，m+12，解得-3m1，故选A9设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)lnx，则有Af13f2f12 Bf12f2f13Cf12f13f2 Df2f12f13【答案】C【解析】函数满足f(2x)f(x)，则：f12=f2-12=f32，f13=f2-13=f53，当x1时，f(x)lnx，即函数在区间1,+上单调递增，由函数的单调性可得：f32f53f2，故f12f13f2.本题选择C选项.10已知函数fx的定义域为R的奇函数，当x0,1时， fx=x3，且xR， fx=f2-x，则f2017.5=A-18 B18 C0 D1【答案】B【解析】因为fx=f2-x，所以函数图像关于x=1 对称因为fx的定义域为R的奇函数，所以函数的周期为T=4所以f2017.5=f5044+1.5=f1.5因为函数图像关于x=1 对称所以f1.5=f0.5=18 所以选B11函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，如图所示，则方程(f(x)2-5f(x)+6=0的所有根之和为（ ）A8B6C4D2【答案】A【解析】因为(f(x)2-5f(x)+6=0，所以f(x)=2或3，由函数y=f(x)的图象得f(x)=2有两个根x1，x2，且两个根关于直线x=2对称，所以x1+x2=22=4，同理f(x)=3的两个根的和为x3+x4=22=4，所以方程(f(x)2-5f(x)+6=0的所有根之和为4+4=8故选：A12定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，当x0,1时，f(x)=-x+1，设函数g(x)=e-|x-1|(-1x11的解集为（ ）A(-1,0)B(-1,0)(0,1)C(-1,0)(0,+)D(-1,0)(1,+)【答案】A【解析】依题意函数f(x)=m3x-1-52的图象关于(0,2)对称，得f(-1)+f(1)=m13-1-52+m3-1-52=4.解得m=-9.所以f(x)11即-93x-1-5211.整理得到3x+1-123x-10133x1 解得-1xbcBbcaCcbaDbac【答案】D【解析】由f(x+3)是偶函数可得其图象的对称轴为x=0，所以函数f(x)的图象关于直线x=3对称又函数f(x)在3,+)上单调递减，所以函数f(x)在(-,3上单调递增因为00.31.130.53，所以f0f(0.31.1)ac故选D16若函数y=6lnx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的(0)倍，所得函数的图象与函数y=-(x+2)2+a图象上存在关于原点对称的点，且a的最小值为1-3ln3，则实数=( )A3B2C3D9【答案】A【解析】函数y=6lnx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，所得图象的对应函数解析式为y=6lnx，即y=6lnx-6ln.因为曲线y=-(x+2)2+a关于原点对称的曲线为y=(-x+2)2-a，所以当曲线y=6lnx-6ln与曲线y=(-x+2)2-a有交点时，满足题意，故方程6lnx-6ln-(x-2)2+a=0有解，即a=(x-2)2-6lnx+6ln有解，令f(x)=(x-2)2-6lnx+6ln（x0），可知直线y=a与f(x)的图象有交点.又f(x)=2x-4-6x=2x2-4x-6x=2(x+1)(x-3)x，令f(x)=0，可得x=3，x=-1（舍去），故当0x3时，f(x)3时，f(x)0，f(x)单调递增，故f(x)min=f(3)=1-6ln3+6ln，故a1-6ln3+6ln，所以a的最小值为1-6ln3+6ln，又a的最小值为1-3ln3，1-6ln3+6ln=1-3ln3，解得=3，故选A.17已知函数f(x)=ex+a+e-x-a2(aR)满足f(x+2)=f(2-x)，则f(0)=()Ae2+12e Be4+12e2 Ce2+12 De4+12【答案】B【解析】函数f(x)=ex+a+e-x-a2(aR)满足f(x+2)=f(2-x)，x=2是函数f(x)=ex+a+e-x-a2(aR)的对称轴，y=ex+e-x2是偶函数，图象关于y轴对轴，y=ex+e-x2向右平移两个单位，得到f(x)，a=-2，f(x)=ex-2+e-x+22，f(0)=e-2+e22=e4+12e2故选：B18已知函数f(x)=log2|2x-a|(aR)满足f(x+1)=f(1-x)，则f(0)=()A2 B1 C0 D-1【答案】B【解析】由于f(x+1)=f(1-x)，所以x=1是f(x)图象的对称轴又y=log2|2x|是偶函数，其图象关于y轴对称将y=log2|2x|的图象向右平移1个单位，可得f(x)的图象，则a=2所以f(x)=log2|2x-2|则有f(0)=log2|-2|=1故选：B19已知函数y=fx+1是定义域为R的偶函数，且fx在1,+上单调递减，则不等式f2x-1fx+2的解集为（ ）A-,3 B12,3 C-13,3 D13,3【答案】D【解析】因为函数y=fx+1是定义域为R的偶函数，所以函数y=fx+1关于y轴对称，即函数y=fx关于x=1对称，因为函数fx在1，+上单调递减，所以函数fx在-，1上单调递增，因为f2x-1fx+2，所以2x-1到对称轴的距离小于x+2到对称轴的距离，即2x-1-1x+2-1，2x-22x+12，化简可得3x2-10x+30，3x-1x-30，解得13xbcBbcaCcbaDbac【答案】D【解析】根据题意，函数f（x+3）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x3对称，则flog264=f（6）f（0），又由函数f（x）在3，+）上单调递减，则f（x）在（，3上为增函数，又由0log32130.5，则flog264f（log32）f（30.5），则bac；故选：D22已知函数f(x)=1x+1+x+a-1是以(-1,-1)为中心的中心对称图形，g(x)=ebx+ax2+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与曲线y=g(x)在点(0,g(0)处的切线互相垂直，则a+b=_【答案】13【解析】由f(0)+f(-2)=-2，得a+a-4