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第2 4 卷 第4 期 2 0 0 7 年 8月 计算力学学报 Ch i n e s e J o u r n a l o f C o mp u t a t i o n a l Me c h a n i c s Vo 1 2 4 No 4 Au gus t 2 00 7 文章 编号 1 o 0 7 4 7 0 8 2 o 0 7 0 4 0 4 7 2 0 5 基于广义卡尔曼滤波的桥梁结构物理参数识别 樊素英 李忠献 天津大学 建筑工程学 院 天津 3 0 0 0 7 2 摘 要 基于广义卡尔曼滤波提 出了随机荷载作用下 桥梁结构 物理 参数 的识别方法 首先 以荷 载为观测对 象 推导 出基于有限元模型 的桥梁结构系统的观测 方程 以结 构待识别 的物理参数 为状态 向量 建立 系统状 态方 程 然后 对该状态方程和观测方程构成 的非线性参数系统应用广义卡 尔曼滤波 从而识别 出结构 的物理参数 对一 座简支粱桥 和一座三跨连续梁桥在不同工况下 的物理参 数识别进行 了数值仿 真 结果 表 明本 文方法能够 准确地 识别桥梁结 构全部 刚度参数 质量参数和阻尼参数 且具 有很强 的抗 噪性 能 从而验证 了本文方 法的有效 性和鲁 棒性 可应用于识别大型桥梁结构 的物理参数 关键词 桥梁结构 物理参数 识别 广义卡 尔曼滤波 有 限元 随机荷载 中图分类号 U4 4 8 1 4 T B 1 1 4 2 文献标识 码 A 1 引 言 广义卡尔曼滤波 1 是一种可用于非平稳 随机 信号估计的实时递推算法 近年来 许多学者将其 用于土木工程结 构 的系统 识别 2 其 中 文献 E 2 1 提出了一种加权全局迭代的广义卡尔曼滤波算 法 E KF WG I 来解决算法的收敛问题 并对一三 自由度剪切型建筑结构的刚度参数和阻尼参数进 行了识别 文献E 5 1 采用减缩变量的广义卡尔曼滤 波法 去掉状态向量中的位移和速度等状态参数 只留下结构参数 这样就解决了状态参数和结构参 数的耦合 减少了计算工作量 识别了一三 自由度 和一七 自由度剪切型建筑的刚度参数和阻尼参数 文献 9 3 用一种基于微分算 子的广义卡尔 曼滤波 法 直接以结构参数为状态变量 对一三 自由度剪 切型结构的刚度参数和阻尼参数进行 了识别 文 献 4 3 和文献E l O 3 研究了等效线性系统和双线性迟 滞恢复力系统 的结构参数识别问题 文献 E s l 将 E KF WG I 用于简支梁的荷载 基频和阻尼系数 的 识别 文献E 6 将卡尔曼滤波与有限元结合 识别 了弹性平面板的弹性模量 E 文献 8 3 利用一三层 钢结构模型的试验数据 识别了该结构的频率和阻 尼 比 从上述各文献不难看出 用广义卡尔曼滤波进 收稿 日期 2 0 0 5 0 6 0 2 修改稿收到 日期 2 0 0 6 一 O 1 1 1 基金项 目 国家杰出青年科学基金 5 0 4 2 5 8 2 4 资助项 目 作者 简介 樊索英 1 9 7 0 一 女 讲 师 硕士 李忠献 1 9 6 1 一 男 博士 教授 博士生导师 行结构物理参数识别的研究现状如下 1 剪切型建筑结构的参数识别研究较多 桥 梁结构的物理参数识别除文献E s R I 未见其他文 献 2 识别的参数数 目较少 最多为六个 3 只对结构的部分物理参数进行了识别 例 如识别刚度参数和阻尼参数时 以假定质量已知为 前 提 4 结构动力方程中 结构质量矩阵均为集中 质量矩阵 本文把卡尔曼滤波和有限元结合起来 进行桥 梁结构全部物理参数 的识别 文中给 出了由结构 动力有限元平衡方程得到卡尔曼滤波观测方程的 推导过 程 用 作者 编制 的 Ma t l a b程序 进行 了一 座 简支梁桥和一座连续梁桥在随机荷载作用下的全 部物理参数 包括刚度参数 阻尼参数和质量参数 的识别 结构单元采用梁单元 单元质量矩阵采用 一 致质量矩阵 2 广义卡尔曼滤波 如果把桥梁结构看作一个 系统 的话 那么在 用卡尔曼滤波在对其进行参数识别时采用的是非 线性连续一 离散系统 即状态方程是非线性连续方 程 观测方程是非线性离散方程 用于处理非线性 系统的卡尔曼滤波被称为广义卡尔曼滤波 下面 将简要介绍一下广义卡尔曼滤波的基本公式 维普资讯 第4 期 樊素英 等 基于广义卡尔曼滤波的桥梁结构物理参数识别4 7 3 非线性连续一 离散系统的状态方程和观测方程为 一 f i X t 1 Z t f 1 一 h x t H 一 1 t f 1 V t H 一 1 2 式 中 x 是连续状态 向量 X t i 一 是 t f l 时刻状 态 向量 z f 1 是 t 斗 1 时刻观测向量 v t f 1 是 t 时刻观 测 噪 声 向量 且 为 均 值 为零 协 方 差 为 E V t y 一R 岛 屯 的高斯白噪声 其中 岛 为 函数 卡尔曼滤波是一种递推算法 如果系统的初始 状态向量 X t t 初始误差协方差矩阵 P t t 以及观测向量 Z t 已知 则该系统的广义卡尔 曼滤波方程 f 1 t t I ti l Y E x t d 3 P t f l t f 一 f t i t f l t i P t i E x t f t i t t i 4 K f l t f t f l P t f l t f H x f l t i t f 1 H x f 1 t f t 1 P f 1 t i H E x t f l t t f 1 R 1 5 f l t f 1 一 f l t KE x t f l t f 1 z i 1 一J l H 一 1 t i t 1 6 P t i 1 t f 1 一 I KE x t f 1 t f t f 1 HE x t f 1 t f t f 1 P t f 1 t f 7 式中X t t 和 P t t 分别为 t 时刻的状态估 计和误差协方差矩阵 a E x t t t f l t i 为从 t 时刻 到 t f l时刻 的状态 转移 矩阵 K f 1 t t f 1 是 增 益 矩 阵 I为单 位 矩 阵 H X t f l t t 州 是非线性向量函数 J l 的雅克比矩阵 1 1 一 8 式中 h 为 J l 的第 是个分量 为状态向量 X t f 1 的第 个分量 3 桥梁结构状态方程和观测方程 在用有限元分析结构动力学问题时 结构的动 力平衡方程为 M cY KY P 9 式中 M C和K分别为质量矩阵 阻尼矩阵和刚度 矩阵 y 和 分别为节点位移 速度和加速度向 量 P 为荷载向量 设 为结构单元数 则结构刚度矩阵为 K一 m T 1 0 1 式中 k 为局部坐标系下的单元 刚度矩阵 为单 元贡献矩阵 一 T 1 1 式中 为单元坐标转换矩阵 为单元定位矩阵 对于 任一 单 刚矩 阵 k 提取 待识别 刚 度参 数 即 k i 一 k i 1 2 式 中 为待识别刚度参数 k 为提取0 之后的单 元刚度矩阵 则式 9 中的第三项可表示为 K Y 一 T T Y 一 风 1 3 i 1 暑 1 式 中 H j i f T Y 1 4 若 记 H 一 H 1 H 2 Hh 1 5 一 1 6 则有 KY H 0 1 7 同理 有 M r T 历 T f H H 0 f 1 f 鼻 1 1 8 式中 为待识别的质量参数 H 一F历 T 如果采 用 R a y l e i g h阻 尼 即 C a M b K 1 9 则有 CY 一 a M b K Y a t t b H 2 0 式 中 H 一 H 1 H 2 H 2 1 Hb 一 矾 H6 H6 2 2 H 口 F历 T H b 一 F T 2 3 2 4 令 Z 一 P 0 0 m口b 2 5 则式 9 变为 Z 一 H 0 H 0 a H 0 b H 0 一 h O 2 6 维普资讯 计 算 力 学 学 报 第2 4卷 若以 z 为观测对象 则有 z 一 h o t 3 y 2 7 式中 y 的定义同式 2 将观测方程离散化 得到结构系统离散的观测 方 程 Z t H 1 一 h o t H 1 v t 1 2 8 即结构系统的非线性离散观测方程 取待识别的结构物理参数为状态变量 即 X 一 0 2 9 假设在滤波时间段内结构参数不发生变化 由式 1 可得到该系统 的状态方程 一 0 3 0 对方程 2 8 和 3 0 应用卡尔曼滤波 就可 以 识别出结构物理参数 0 4 数值仿真分析 算例 1 选择一钢筋混凝土简支梁桥 计算跨 径 z 一 4 0 m 材料密度 lD 一 2 5 0 0 k g m 弹性模量 E 一 3 1 0 P a 截 面 面 积 A 一 1 1 1 2 4 m 截 面 抗弯惯性矩 j一 0 3 3 8 m 将其划分 为四个梁单 元 从左至右顺次编号为 1 4 单元刚度矩阵和单 元质量矩阵分别为 k i Ei I i m 一 1 5 6 2 2 l f 5 4 1 3 l f 2 2 l 4 1 3 l f 一 3 5 4 1 3 l i 1 56 2 2 l f 一 1 3Z 一 3 2 2l 4 3 1 3 2 各待识别参数的真值见表 2 用Ne wma r k 8 法 计算各 自由度的位移 速度和加速度的时程响应 以正弦荷载P 一8 9 1 0 s i n 2 5 t N加上白噪声 表 1 卡 尔曼 滤波初值 Ta b 1 I ni t i a l c o n di t i o ns 表 2 参数真值与识别结果 Ta b 2 Es t i m a t e d va l u e s of p a r a me t e r s 参数 m 1 m 4 k g m 2 m 3 k g E 1 1 E 4 h N m E 2 如 E 3 h N m 2 真值 2 7 8 1 0 2 7 8 1 0 1 0 1 4 1 0 z 0 l 0 1 4 1 0 1 o R 0 0 1 2 7 7 8 0 2 7 8 0 3 1 0 1 2 9 1 0 t o 1 0 1 3 7 1 0 l o 0 0 3 2 7 7 4 3 2 7 8 0 7 1 0 1 2 7 1 0 1 o 1 0 1 4 4 1 O Z O 0 0 5 2 7 7 4 9 2 7 7 9 8 l 0 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1 3 8 1 0 z 0 模拟随机荷载 垂直作用于各节点上 并 以此作为 卡尔曼滤波的量测数据 采样时间间隔 A t 一 0 0 1 S 采 样 点数 为 2 0 0 结 构 系统 的初始 状 态 向量 X t o t 和初始 误 差 协方 差 矩 阵 P t o t 列 入 表 1 其 中P t t o 给出的是对角线元素 而非对角线 元素为零 对应于不同的信噪比 S NR 参数识别结 果 见表 2 从表 2可以看 出 质量 刚度参数识别结果较 好 最大 识别 误 差 不 超过 0 5 虽然 随 着量 测 噪 声的增大 参数识别误差有所增加 但其识别精度 并没有明显的降低 这表明本方法是稳定 的 并具 有 较强 的抗噪性 能 如果结构系统的初始状态向量 X t t 和初 始误差协方差矩阵 P t o t 见表 3 而待识别参数 除各单元刚度和质量以外 阻尼系数 n和b也为待 识别参数 即 0 a b 0 3 5 且用 白噪声模拟成随机荷载作用于各节点上 并 以 此作为卡尔曼滤波的量测数据 对应于不同的信噪 比 S NR 质量 阻尼及刚度参数识别结果分别列入 表 4 表 6 表 3 卡尔曼滤波初值 Ta b 3 I ni t i a l c o n di t i o ns 参数ml m z k g m 3 m k g n 6 E i l i 1 2 3 4 N m P t o t 0 1 X I O 1 XI O 1 XI O 1 XI O 1 XI O 表 4 质量参数真值与识别结果 Ta b 4 Es t i m a t e d va l u e s of ma s s p a r a m e t e r s 参数 l ml k g mz k g ms k g m4 k g 真值 2 7 8 1 0 2 7 8 4 1 2 7 8 7 0 2 7 9 2 9 2 7 8 1 0 2 7 8 4 0 2 7 8 6 7 2 7 9 3 0 6 一 2 一 6 一 4 一 百 6一 2一 6一 望 6 一 4 一 6 一 2 一 0 厶 一3 一 6一 一 6一 0 0 0 lJ R R R 识别结果 维普资讯 第4 期 樊素英 等 基于广 义卡尔曼滤波的桥梁结构物理参数识别4 7 5 表 5 阻尼质量参数真值与识别结果 Ta b 5 Es t i ma t e d v al u e s o f d a mpi n g p a r a m e t e r s 参数 口 b 真值 0 9 4 2 3 r 0 0 0 1 7 识 S NR 0 0 1 0 9 7 4 9 0 0 0 1 7 别 S NR 0 0 3 1 0 5 0 7 0 0 0 1 7 结 果 S NR 0 0 5 1 0 7 6 9 0 0 0 1 7 6 表 6 刚度质量参数真值与识别结果 Ta b 6 Es t i m a t e d v a l u e s o f s t i f f ne s s p a r a m e t e r s 参数 真值 SNR SNR SNR 日f f i 一 1 4 N IT 1 0 E I f f i 一 2 3 N I T 1 0 识 别 结 果 繁 o o 5 l o 9 9 4 2 1 o 0 1 0 1 4 1 0 1 0 1 0 1 4 4 1 0 1 0 1 0 1 3 3 1 0 l o 1 0 0 3 3 1 01 0 表 4 表 6 的结果表明 随机荷载作用下各质 量 刚度和阻尼参数 b 的识别精度较高 误差在 5 以内 阻尼参数 a的识别精度相对较低 随着信 噪 比的增加 误差增大 在信噪比为 5 时 识别误差 达到 1 4 3 对 比表 2和 表 4 表 6的结 果 可以发 现 表 2 的识别效果相对好一些 这是因为只识别刚度和质 量参数时 观测方程 中参数与观测值之间为线性关 系 所以识别效果较好 而当识别所有的参数时 参 数与观测值之间为非线性关 系 在用 卡尔曼滤波 时 会存在线性化误差 故参数识别效果会差一点 算例 2 为了验证本方法的适用性 下面将对 一 三跨连续梁桥的物理参数进行识别 该连续梁桥 每跨计算跨径相等 为 z 一 4 O m 材料密度 D 一2 5 0 0 表 7 卡尔曼滤波初值 Ta b 7 I ni t i a l c o nd i t i o ns k g m 弹性 模 量 E 3 1 O P a 截 面 面积 A 一 0 9 8 7 8 m 截面抗弯惯性矩 J一 0 2 6 8 m 每跨划分为两个梁单元 则全桥分为六个单元 取各单元刚度 质量参数及阻尼参数为待识别 参数 即 9 9 a b 3 6 式 中 9 一 3 7 一 z 3 8 各待识别参数的真值见表 8 用白噪声模拟成随机 荷载作用于各节点上 并 以此作为卡尔曼滤波的量 测数据 采样 时间 间隔 A t一 0 0 1 S 采样点数为 2 0 0 结构系统的初始状态 向量 X t t 和初始误 差协方差矩阵 P t t 列人表 7 对应于不同的信 噪比 S NR 参数识别结果见表 8 表 8中数据表 明 随机荷载作用下各单元质 量 刚度及阻尼参数 a b的识别精度均较高 误差 在 1 O 以内 虽然随着量测噪声的增大 参数识别 误差有所增加 但其识 别精度并 没有 明显的降低 这表明对于连续梁结构 用卡尔曼滤波方法进行参 数识别也是可行的 表 8 参数真值与识别结果 Ta b 8 Es t i m a t e d v a l ue s o f pa r a m e t e r s 参数 m f 1 6 1 m 2 5 k g m 3 4 k g 4 6 E d f 1 6 N I11 2 E d d i 2 5 N m 丘J 3 4 N I11 2 真值 4 9 3 9 0 4 9 3 9 0 4 9 3 9 0 0 6 2 4 7 0 0 0 3 9 8 0 4 0 0 l 0 g 8 0 4 0 0 1 0 0 8 0 4 0 0 1 0 0 R 0 0 1 4 9 3 3 0 4 9 4 9 1 4 9 4 1 5 0 6 3 2 8 0 0 0 3 9 7 8 0 5 2 2 X 1 0 9 8 0 5 0 2X1 0 0 8 0 5 8 6 X 1 0 0 R 0 0 3 4 9 1 6 1 4 9 7 4 3 4 9 4 4 3 0 6 3 7 1 0 0 0 4 1 2 7 8 9 7 0 l 0 g 8 0 8 1 7 l 0 g 8 0 6 7 0 1 0 0 0 0 5 4 9 0 3 2 4 9 9 3 4 4 9 4 6 8 0 6 4 4 9 0 0 0 4 2 1 7 8 9 5 1 l 0 g 8 0 4 0 4 1 0 0 8 0 6 8 7 1 0 0 5 结 论 本文将卡尔曼滤波与有限元结合 推导出了基 于有 限元的以荷载为观测值 的观测方程 并成功地 将广义卡尔曼滤波用于桥梁物理参数 的直接识别 通过数值仿真分析结果 得到以下结论 1 广义卡尔曼滤波与有限元结合 可识别 出 桥梁结构全部的物理参数 包括刚度 质量和阻尼 参数 这是本文创新性的成果 2 仅把刚度和质量作为待识别参数时 识别 结果接近于参数真值 识别结构 的全部物理参数 时 识别结果与真值相差在 l O 以内 表明本方 法具有较强的抗噪声能力 3 由表 1 表 3和表 5可以看出 本方法对参 数初值和误差协方差矩阵初值要求不高 另外 程 序对于观测噪声方差阵的取值 也没有 限制 这使 得该方法应用起来更方便 4 本文所选算例为简支梁桥和连续梁桥 但 文中方法同样适用于悬臂梁等其他桥梁结构 只 是随着跨数和跨度的增加 结构单元数也会增加 维普资讯 4 7 6 计 算 力 学 学 报 第2 4卷 待识别参数数量就会增加 计算速度会减慢很多 这样会使该方法失去实时性这一优势 所以 对于 多跨的大跨度桥梁结构 应采用子结构方法来解决 待识别参数较多时计算速度慢的问题 这也是进 一 步要做的工作 5 卡尔曼滤波是一种实时的递推算法 这使 得其用于桥梁结构健康检测成为可能 参考文献 Re f e r e n c e s 1 2 3 3 4 5 3 6 3 J AZ W I NSKI A H S t o c h a s t i c Pr o c e s s e s a n d Fi l t e r i n g T h e o r y M N e w Y o r k Ac a d e mi c P r e s s 1 9 7 0 H SHI YA M S AI T0 E S t r u c t u r a l i d e n t i f i c a t i o n b y e x t e n d e d k a l ma n f i l t e r J J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g Me c h a n i c s AS CE 1 9 8 4 1 1 0 1 2 1 7 5 7 1 7 7 0 HOSHI YA M M ARUYAM A 0 I d e n t i f i c a t i o n o f r u n n i n g l o a d a n d b e a m s y s t e m J J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g Me c h a n i c s AS CE 1 9 8 7 1 1 3 6 8 1 3 8 2 4 L0H C H TS AUR Y H Ti me d o ma i n e s t i ma t i o n o f s t r u c t u r a l p a r a me t e r s J E n g i n e e r i n g S t r u c t u r e s 1 9 8 8 1 0 4 9 5 1 0 5 尚久铨 卡尔曼滤波法在结构动态参数估 计 中的应 用 J 地 震 工 程 与 工 程 震 动 1 9 9 1 1 1 2 6 2 7 2 S HAN J i u q u a n Ap p l i c a t i o n o f Ka l ma n f i l t e r me t h o d i n e s t i ma t i o n o f s t r u c t u r a l d y n a mi c p a r a me t e r s J Ear t h qu ak e En gi n e e r i n g a nd En gi ne e r i n g Vi b r a t i o n 1 9 9 1 1 1 2 6 2 7 2 i n Ch i n e s e H0SH I YA M S UT0H A Ka l ma n f i l t e r f i n i t e e l e me n t me t h o d i n i d e n t i f i c a t i o n J J o u rna l o f E n g i n e e r i n g Me c h a n i c s ASC E 1 9 9 3 1 1 9 2 1 9 7 2 1 0 7 3 GHANE M R S HI N 0Z UKA M S t r u c t u r a l s y s t e m i d e n t i f i c a t i o n I t h e o r y J J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g Me c h a n i c s ASC E 1 9 9 5 1 2 1 2 2 5 5 2 6 4 8 3 GHANE M R S HI N0Z UK A M S t r u c t u r a l s y s t e m i d e n t i f i c a t i o n I I e x p e r i me n t a l v e r i f i c a t i o n J J o u r n a l o f E n g i n e e r i n g Me c h a n i c s AS C E 1 9 9 5 1 2 1 2 26 5 27 3 9 3 李 杰 基 于微分算子 变换的广义卡 尔曼滤 波估计方 法 J 计 算 结构 力 学及 其 应 用 1 9 9 5 1 2 4 3 9 4 4 0 0 LI J i e Th e e x t e n d e d Ka l ma n e s t i ma t i o n me t h o d b a s e d o n t h e d e f e r e n t i a l o p e r a t o r t r a n s f o r m J Co mp u t a t i o n a l St r u c t u r a l M e c h a n i c s a n d Ap p l i c a t i o n s 1 9 9 5 1 2 4 3 9 4 4 0 0 i n Ch i n e s e 1 O 赵 昕 李 杰 一类加权全局迭代参数卡 尔曼滤波 算法 J 计 算 力 学 学 报 2 0 0 2 1 9 4 4 0 3 4 0 8 ZHA0 Xi n LI J i e A we i g h t e d g l o b a l i t e r a t i o n p a r a me t r i c Ka l ma n f i l t e r a l g o r i t h m J C o m p u t a t i o n a l St r u c t u r a l Me c h a n i c s a n d App l i c a t i o n s 2 0 0 2 1 9 4 4 0 3 4 0 8 i n C h i n e s e 1 1 洪锦如 桥 梁结构计算力学 M 上海 同济 大学出版 社 1 9 9 8 H0NG J i n g r u C o mp u t a t i o n a l Me c h a n i c s o f B r i d g e S t r u c t u r e s M S h a n g h a i T o n al Un i v e r s i t y P r e s s 1 9 9 8 i n Ch i n e s e 1 2 徐 建华 等 状态估计 和 系统识 别 M 北 京 科 学 出 版 社 1 9 8 1 XU J i a n h u a B I AN Gu mi NI Ch 0 n k u a n g S t a t e E s t i ma t i o n a n d S y s t e m I d e n t i f i c a t i o n M B e ij i n g S c i e n c e P r e s s 1 9 8 1 i n C h i n e s e I d e n t i f i c a t i o n o n ph y s i c a l pa r a m e t e r s o f b r i d g e s t r u c t u r e s ba s e d o n e x t e nd e d K a l m a n f i I t e r FAN Su y i n g LI Zho n g x i an S c h o o l o f Ci v i l En g i n e e r i n g Ti a n j i n Un i v e r s i t y Ti a n j i n 3 0 0 0 7 2 Ch i n a Ab s t r a c t Ba s e d o n t h e e x t e n d e d Ka l ma n f i l t e r a n i d e n t i f i c a t i o n me t h od o n p hy s i c a l pa r a me t e r s o f br i d g e s t r u c t u r e s s u b j e c t e d t o s t o c h a s t i c l o a d s i s p r o p o s e d Ta k i n g t h e l o a d s a s o b s e r v a t i o n o b j e c t s t h e o b s e r v a t i o n e q u a t i o n b a s e d o n f i n i t e e l e me n t mo d e l o f b r i d g e s t r u c t u r e s i s d e r i v e d Ta k i n g t h e u n k n o wn p h y s i c a l p a r a me t e r s of t h e s t r u c t u r e a s s t a t e va r i a bl e s t he s t a t e e q ua t i o n o f s y s t e m i s e s t a b l i s h e d Emp l oy i n g t he e xt e nd e d Ka l ma n f i l t e r a l go r i t h m t o t h