祖暅原理的应用.pdf

研究性学习实例之三 祖暅原理的应用祖暅原理的应用 兼谈数学迁移中同化 顺应 重组 安徽省岳西中学 储炳南 一 问题的提出 球的体积的推导在中学教材中是构造性证明的典范 也是我国 古代数学的杰出成就之一 在中学教材中对其有详细的推导过程 但如果我们只停留在球的体积推导上面 那么这种构造性证明对思 维的锻炼价值就不能得到充分发挥 为此我们向学生提出如下问题 球是圆的旋转体 而椭圆 双曲线 抛物线与圆同属于圆锥曲线 那么椭圆 双曲线 抛物线绕其对称轴旋转所得到的几何体的体积 又如何求呢 我们能不能将球的体积的推导方法迁移到旋转椭球 体 旋转双曲体和旋转抛物体的求法中去 为此我们对这一问题 进行逐一加以研究 二 问题的迁移 1 同化性迁移 问题 1 椭球体的体积的求法 将椭圆 2 2 a x 2 2 b y 1 绕 y 轴旋转一周所得到的几何体称之为旋转椭 球体 那么这个椭球体的体积如何求呢 分析 椭圆和圆属于圆锥曲线 它们是类似图形 那么类似图形是否 也有类似的推导方法呢 下面我们尝试一下如何构建几何模型 取一个底面圆半径为a高为b的圆柱 从圆柱中挖去一个以圆 柱 上底面为底面 下底面圆心为顶点的圆锥 把所得的几何体和半椭球 体放在同一平面 上 那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间 了 现在用一平行于平面 的任意一个平面 去截这两个几何体 则 截面分别是圆面和圆环面 如图 1 所示 图 1 设截 与平面 的距离为 h 则圆面半径 OP 22 hb b a 圆环面 的大圆半径为 OA a 小圆半径为 OB b ah 所以 S圆 OP2 22 2 2 hb b a S圆环 a2 2 b ah 22 2 2 hb b a S圆 S圆环 由祖暅原理可知 V 2 1 椭圆 a2b 3 a2b 3 2 2b a V椭圆 3 4 2b a 评注 上述推导方法其实是球的体积推导方法的 重演 我们 用 拿来主义 的方法 地地道道地造出了一个有价值的 膺品 这实质上是一种同化性迁移 同化性迁移是学习迁移中最常见的 一种类型 也是比较典型的迁移现象 它是在不改变原有知识结 构的前提下 直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中 去 从而直接而速地完成迁移 在这里主要依赖于事物之间的本 质特征的相似性 在实质认同的基础上实现本质类化 这是我们 A P h B O O 教学的重要目标之一 但这也并非是教学的必然结果 2 顺应性迁移 旋转抛物体的体积求法 问题 2 已知抛物线 x2 2py p 0 以 y 轴为绕转轴将抛物线 旋转一周 得到一旋转抛物面 设 x 轴绕 y 轴旋转所得的平面为 为平行于 且到 的距离为 h 的平面 求平面 与旋转抛 物面所围成的几何体体积 分析 在问题 1 中我们通过本质类化的方法 很容易地将问题解 决了 在构造模型时 我们利用了两个基本的几何体 圆锥和圆柱 而作为同属于圆锥曲线的抛物线所旋转得到的几何体是否也可利用 这 两 个 基 本 图 形 来 构 造 新 的 模 型 来 解 决 这 个 问 题 呢 模型的构造 以旋转抛物体的上底面为底面作一高为 h 的圆柱体 然 后将旋转抛物体取出 如图 2 所示 置于平面是 内 现用一平行于 平面 且距 的距离为 h1 0 h1 h 的平面去截这个几何体 则截 面分别为一圆环和圆 图 2 易求得 S圆环 O1A2 O1B2 2ph 2ph A P h B O O 2p h h1 S圆 OC2 2P h h1 S圆环 S圆 由祖暅原理可知这两个几何体的体积相等 故所求旋转抛物体的体积 V 2 1 V圆柱 2 1 2Ph h ph2 评注 如果说问题 1 是对 历史的重演 那么问题 2 则是对 历史的 继承与发展 在这里由于球与旋转抛物体的本质的不同 本质类化 无法进行 因此原有的经验结构 圆柱体中挖去圆锥体 已不能将新 事物纳入其结构中 需要调整原有的经验或对新旧经验加以概括 形 成一种能包容新旧经验的更高一级的经验结构 以适应外界变化 这 就是迁移的较高层次 顺应 即将原有的经验应用于新的情境中 从而形成一种更高级的 包容 范围更广的经验结构 在教学中这种 顺应性迁移也是常见的迁移之一 3 重组性迁移 问题 3 将双曲线 2 2 a x 2 2 b y 1 绕虚轴旋转一周所得到的几何体称 之为旋转单叶双曲面 如果把实轴绕虚轴旋转一周所得到的平面记为 平面 是一个平行于 且距 的距离为 h 的平面 求 和旋转 单叶双曲面所围成的几何体的体积 分析 如果我们还是 仿照 问题 1 问题 2 中的方法去构造圆 柱体 再挖出一个圆锥体 已不再凑效 那么我们可考虑一下双曲线 有什么特殊的性质 那就是双曲线有两条渐近线 而椭圆与抛物线则 没有 如果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周 那么在 与 之间也就形成了一个圆锥体 如图 3 所示 这正是我 们所需的几何图模型 图 3 我们不难计算出 O1A2 x2 1 2 2 b h a2 O1B2 x2 2 22 b ha 则图中阴影部分的面积为 S圆环 O1A2 O1B2 1 2 2 b h 2 22 b ha a2 由祖暅原理可知 这个几何体挖去一圆锥体之后的体积为 v1 a2h 所以所求几何体体积为 V V1 V圆锥 a2h 3 h 2 22 b ha a2h 1 2 2 3b h 评注 对于问题 3 的解决我们没有去构造两个几何体使 它们的体积相等 而是运用了割补思想 创造地应用了祖暅 原理 在这里我们将原有经验系统中的某些构成要素或成分做了调 h A O B x y 整 使之形成一种新的关系与联系 从而应用于新情境 这实际上是 迁移的更高层次 重组 在问题 3 解决过程中 我们将基本经验 圆 锥体中挖出一个几何化学方程式体 进行了调整 将基本要素 所求 几何体 圆锥体 圆柱体等进行了重组 从而提高了经验的增殖性 扩展了基本原理的适应范围 这正是体现了创造性的思维的特征 以上我们通过对一类旋转几何体的体积的求法的研究 阐述了数 学迁移的三个层次 同化 顺应 与重组 由于在教学中学生的大部 分知识的习得都是通过同化而获得的 而且同化性迁移学生也更容易 被学生所掌握 因此我们在教学中应注重这种最为基本的迁移的形 成 但仅有这种迁移是不够的 因为没有顺应性迁移 和重组性迁移 学生的能力就不能