双曲线及其标准方程.ppt

巴西利亚大教堂 北京摩天大楼 法拉利主题公园 花瓶 罗兰导航系统原理 全球卫星定位导航系统 反比例函数的图像 冷却塔 双曲线交通结构可缓拥堵 2 3 1双曲线及其标准方程 1 了解双曲线标准方程的推导过程 2 能根据条件熟练求出双曲线的标准方程 3 掌握双曲线的定义与标准方程 1 椭圆的定义 一 复习提问 MF1 MF2 2a 2a F1F2 2 椭圆的两种标准方程 o F1 y F1 F2 M x y x o F2 M 定义 图形 标准方程 焦点及位置判定 a b c之间的关系 MF1 MF2 2a a b 0 a2 b2 c2 思考问题 一 复习提问 2 3 1双曲线及其标准方程 1 了解双曲线标准方程的推导过程 2 能根据条件熟练求出双曲线的标准方程 3 掌握双曲线的定义与标准方程 观察演示过程中的变量和不变量 1 画双曲线 演示实验 用拉链画双曲线 观察画双曲线的过程思考问题 1 在作图的过程中哪些量是定量 哪些量是不定量 2 动点在运动过程中满足什么条件 3 这个常数与 F1F2 的关系是什么 4 动点运动的轨迹是什么 5 若拉链上被固定的两点互换 则出现什么情况 如图 A MF1 MF2 F2F 2a 如图 B 上面两条合起来叫做双曲线 由 可得 MF1 MF2 2a 差的绝对值 MF2 MF1 F1F 2a 根据实验及椭圆定义 你能给双曲线下定义吗 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 2 双曲线定义 MF1 MF2 常数 小于 F1F2 注意 MF1 MF2 2a 1 距离之差的绝对值 2 常数要小于 F1F2 大于0 0 2a 2c 符号表示 思考1 如何理解双曲线的定义 剖析 常数要小于 F1F2 且大于0 这一条件可以用 三角形的两边之差小于第三边 加以理解 差的绝对值 这一条件是因为当 MF1 MF2 或 MF1 MF2 时 点P的轨迹为双曲线的一支 而双曲线是由两个分支组成的 故在定义中应为 差的绝对值 思考2 说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形 F1 F2是两定点 F1F2 2c 0 a c 当 MF1 MF2 2a时 点M的轨迹 当 MF2 MF1 2a时 点M的轨迹 因此 在应用定义时 首先要考查 双曲线的右支 双曲线的左支 以F1 F2为端点的两条射线 不存在 2a与2c的大小 线段F1F2的垂直平分线 若2a 0 动点M的是轨迹 若2a 2c 动点M的轨迹 若2a 2c 动点M的轨迹 1 动点P到点M 1 0 的距离与到点N 1 0 的距离之差为2 则点P轨迹是 A 双曲线B 双曲线的一支C 两条射线D 一条射线 D 当堂训练 3 双曲线标准方程推导 求曲线方程的步骤 以F1 F2所在的直线为x轴 线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2 设点 设M x y 则F1 c 0 F2 c 0 3 限式 MF1 MF2 2a 5 化简 1 建系 4 代换 代数式化简得 可令 c2 a2 b2 代入上式得 b2x2 a2y2 a2b2 其中c2 a2 b2 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 问题 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上 练习 写出以下双曲线的焦点坐标 二次项系数为正 焦点在相应的轴上 F c 0 F 0 c 若建系时 焦点在y轴上呢 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2c最大 a b 0 c2 a2 b2a最大 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 共性 1 两者都是平面内动点到两定点的距离问题 2 两者的定点都是焦点 3 两者定点间的距离都是焦距 区别 椭圆是距离之和 双曲线是距离之差的绝对值 解 1 已知方程表示椭圆 则的取值范围是 若此方程表示双曲线 的取值范围 解 当堂训练 2 ab 0 是方程ax2 by2 1表示双曲线的 条件 A 必要不充分B 充分不必要C 充要D 既不充分也不必要 C 3 已知下列双曲线的方程 3 4 5 0 5 0 5 1 2 2 0 2 0 4 写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1 a 4 b 3 焦点在x轴上 2 焦点为F1 0 6 F2 0 6 过点M 2 5 利用定义得2a MF1 MF2 3 a 4 过点 1 分类讨论 例 已知圆C1 x 3 2 y2 1和圆C2 x 3 2 y2 9 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B 根据两圆外切的条件 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 这表明动点M与两定点C2 C1的距离的差是常数2 根据双曲线的定义 动点M的轨迹为双曲线的左支 点M与C2的距离大 与C1的距离小 这里a 1 c 3 则b2 8 设点M的坐标为 x y 其轨迹方程为 轨迹问题 变式训练 已知B 5 0 C 5 0 是三角形ABC的两个顶点 且 求顶点A的轨迹方程 解 在 ABC中 BC 10 故顶点A的轨迹是以B C为焦点的双曲线的左支 又因c 5 a 3 则b 4 则顶点A的轨迹方程为 解 由双曲线的定义知点