3-1 离散型随机变量联合分布列和边际分布列.ppt

第三章多维随机变量及其分布 一 多维随机变量及其联合分布列 二 边际分布 边缘分布 列 三 条件分布列 四 小结 第一节离散型随机变量联合分布和边际分布 一 多维随机变量及其联合分布列 1 定义 实例1炮弹的弹着点的位置 X Y 就是一个二维随机变量 二维随机变量 X Y 的性质不仅与X Y有关 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系 实例2考查某一地区学前儿童的发育情况 则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量 H W 说明 若二维随机变量 X Y 所取的可能值是有限对或无限可列多对 则称 X Y 为二维离散型随机变量 2 二维离散型随机变量 2 1 定义 2 2 二维离散型随机变量的联合分布列 注 二维随机变量 X Y 的联合分布列也可表示为 2 3 联合分布的性质 二 边际 边缘 分布列 1 x1xi 联合分布列 及边缘分布列 1 把三个相同的球等可能地放入1 2 3号盒子中 记X Y分别为落入1号盒与2号盒的球数 求 X Y 的联合分布律与边缘分布律 即填下表 例1 2 把3个红球和3个白球等可能地放入1 2 3号盒中 每盒可容球无限 记X与Y分别为落入1号盒的白球数与红球数 求 X Y 的联合分布律和边缘分布律 即再填上表 通过这两张表你能得到什么结论 解 1 本题中 其联合分布与边缘分布如下表所示 0 pi 1 p j 见下表 解 2 pi 1 p j 1 与 2 有相同的边缘分布 但它们的联合分布却不同 联合分布可以唯一地确定边缘分布 边缘分布却不能唯一确定联合分布 例2某校新选出的学生会6名女委员 文 理 工科各占1 6 1 3 1 2 现从中随机指定2人为学生会主席候选人 令X Y分别为候选人中来自文 理科的人数 解X与Y的可能取值分别为0 1和0 1 2 求 X Y 的联合分布律和边缘分布律 由乘法公式 或由古典概型 相仿有 故联合分布律与边缘分布律为 01 012 3 156 151 15 3 152 150 pi p j 1 3 2 3 1 6 158 151 15 解 且由乘法公式得 例3 X Y 所取的可能值是 解 抽取两支都是绿笔 抽取一支绿笔 一支红笔 例4从一个装有3支蓝色 2支红色 3支绿色圆珠笔的盒子里 随机抽取两支 若X Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数 求 X Y 的分布律 故所求分布律为 例5一个袋中有三个球 依次标有数字1 2 2 从中任取一个 不放回袋中 再任取一个 设每次取球时 各球被取到的可能性相等 以X Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 求 X Y 的分布律与分布函数 X Y 的可能取值为 解 故 X Y 的分布律为 例6设盒中有2个红球和3个白球 从中每次任取一球 连续取两次 记X Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出 X Y 的分布律与边缘分布律 解 1 有放回摸球情况 P X 0 Y 0 X Y 的取值有如下四种情况 0 0 0 1 1 0 1 1 P X 0 P Y 0 3 5 3 5 9 25 P X 0 Y 1 P X 0 P Y 1 3 5 2 5 6 25 P X 1 Y 0 P X 1 P Y 0 2 5 3 5 6 25 P X 1 Y 1 P X 1 P Y 1 2 5 2 5 4 25 例6设盒中有2个红球和3个白球 从中每次任取一球 连续求两次 记X Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出 X Y 的分布律与边缘分布律 所以有放回摸球情况下 X Y 的分布律与边缘分布律为 例6设盒中有2个红球和3个白球 从中每次任取一球 连续求两次 记X Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出 X Y 的分布律与边缘分布律 解 2 不放回摸球情况 P X 0 Y 0 X Y 的取值有如下四种情况 0 0 0 1 1 0 1 1 P X 0 P Y 0 X 0 3 5 2 4 3 10 P X 0 Y 1 P X 0 P Y 1 X 0 3 5 2 4 3 10 P X 1 Y 0 P X 1 P Y 0 X 1 2 5 3 4 3 10 P X 1 Y 1 P X 1 P Y 1 X 1 2 5 1 4 1 10 例6设盒中有2个红球和3个白球 从中每次任取一球 连续求两次 记X Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出 X Y 的分布律与边缘分布律 所以不放回摸球情况下 X Y 的分布律与边缘分布律为 由上例 在有放回摸球与不放回摸球两种情况下 X Y 的边缘分布律完全相同 但 X Y 的分布律却不相同 这表明 X Y 的分布律不仅反映了X与Y两个分量的概率分布 而且反映了它们之间的关系 说明 若两个分量的概率分布完全相同 但分量之间的关系却不相同 则它们的分布律也会不同 由条件概率公式 定义 设 X Y 是二维离散型随机变量 对于固定的j 为在Y yj条件下随机变量X的条件分布列 若P Y yj 0 则称 自然地引出如下定义 三 条件分布列 条件分布列具有分布列的以下特性 10P X xi Y yj 0 同样对于固定的i 若P X xi 0 则称 为在X xi条件下随机变量Y的条件分布列 即条件分布列也是分布列 例7一射手进行射击 击中目标的概率为p 射击到击中目标两次为止 设以X表示首次击中目标所进行的射击次数 以Y表示总共进行的射击次数 试求X和Y的联合分布列以