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第六章 定积分 6 1 定积分的概念与性质 曲边梯形是指这样的四边形 它的一边是曲线弧 另三边是直线 其中两条直边相 互平行 第三直边与它们垂直 称为底边 个分点内任意的用上有定义在设函数定义1 1 6 nbabaxf 1iii xx 点在每个小区间上任取一 lim 0 max 1 01 存在极限取法如何若不论区间分割如何令记 n i iiii ni xfx 上的定积分在区间则称此极限值为函数baxf 个小区间分成将区间nba bxxxxxa nii 110 2 1 1 nixxx iii 小区间长度为 上可积在区间这时称函数baxf lim 1 0 n i ii b a b a xfdxxfdxxf 即记作 2 1 1 n i iinii xfSnixf 求和作积 112110nnii xxxxxxxx 有下面几个重要结论关于函数的可积性 可积函数必有界a 上的连续函数可积有限闭区间bab 有界函数可积上只有有限个间断点的在有限区间bac 定积分的几何意义 0 1 xf若连续函数 x o xfy y b a b a b a dxxfSS xbabxaxxfydxxf 即如图面积 轴所围成的曲边梯形的以及直线表示由曲线则定积分 0 2 xf若连续函数 y x o xfy ab 0 面积的负值 表示该曲边梯形定积分轴下方所围曲边梯形在由 b a dxxfxbabxaxyxfy 3 上既取正值又取负值在若baxf 轴下方另外部分在轴上方图形的某些部分在则函数xxxf b a xfy o y x 就是这些面积的代数和 的值则定积分负号规则相应的赋予正此时所围的面积按上述 b a dxxf 1 6是任意常数上可积在设性质 baxgxf 上可积在那么baxgxfxgxf b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf 而且 上可积在则设性质 2 6baxfbac 3 则一定成立个积分存在只要以下何三点在数轴上的位置如不论cba 上都可积和在bccaxf b c c a b a dxxfdxxfdxxf 3 6 b a b a dxxgdxxfbaxxgxfbaxgxf则并且上可积在设性质 0 0 1 6 b a dxxfbaxxfbaxf则且上可积在设推论 2 6 abMdxxfabm baxMxfmMmbaxf b a 则 使得且存在常数上可积在设推论 4 6 b a b a dxxfdxxfbaxfbaxf且上可积在则上可积在设性质 5 6abcfdxxfbacbaxf b a 使得则至少存在上连续在设积分中值定理性质 5 6 abcfdxxfbacbaxf b a 使得则至少存在上连续在设 的加强形式积分中值定理性质 6 2 微积分基本定理 baxdttfxF x a 变上限积分 b x baxdttfxG 变下限积分 统称为变限积分 1 6上的连续函数是则上可积在设定理badttfxFbaxf x a baxxfdttfxF x a 且 2 6上连续可导在则上连续在设定理badttfxFbaxf x a 为变限积分求导公式通常称baxxfdttfxF x a 3 6baxbxbxaabaxbxabaxf 上可导且在上连续在设推论 xaxafxbxbfdttf xb xa 则成立 则有上的任意一个原函数在是上连续在设定理 3 6baxfxFbaxf aFbFdxxf b a 莱布尼茨公式称为牛顿即通常记 aFbFxFdxxfxFaFbF b a b a b a cos cos cos 11 2 导数求导数求导数求例 xxx x tdttxtdtxtdt 2 常见题型 arctan sin lim 2 0 0 2 xx dtex x t x 求例 1 lim 0 2 22 x dtet x xt x 求例 1 1 0 1 0 1 0 xfdxxfdttfxxfxf及求上连续且满足在设例 1 1 1 1 1 0 1 02 2 xfdxxfdxxf x x xf及求设例 2008 lim 2 级考题上的连续函数是其中例 xf ax dttfx x a ax 2009 sin lim 1 cos 0 2 级考题例 xx dte x t x 2010 1ln 1 lim 6 0 0 2 2 级考题求极限例 x dte x t x 01 1 0 2 xfdxxfxxxfxf求上连续且在设例 6 3 定积分的换元积分法与分部积分法 4 6满足条件且上连续在设定理txbaxf 1 上变化在上变化时在当batxt 2 内保持定号上连续且在 t 3 dtttfdxxfba b a 则 5 6成立则下面的分部积分公式上连续可导在设定理baxvvxuu b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu 二 定积分的分部积分法 一 定积分的换元积分法 常见题型 23 1 0 dxxx例 1 2 3 2 1 2 2 dx x x 例 1 51 1 3 3 022 dx xx 例 4 1 1ln dxx求例 2 0 cos dxx求例 ln 2 1 e dx x x 例 ln2 2 1 3 dx x x 求例 1 0 xfxetdttxfxf x x 求且满足上的连续函数是设例 x u dxxfxfxdueuxfxf 0 1 0 sin 与求且满足内连续在设例 1 0 xfxexfdtxtfxf x 求且满足为连续函数设例 cos1 sin 2 0 2 dx x xx 例 sin 1 0 dxxfdt t t xf x x 求设例 sin 00 dxxfdt t t xf x 求设例 1 1 2 3 ln 02 dx e e x x 求例 2008 1 1 1 032 级考题例dx x 2009 arctan 1 0 级考题例dxx 2009 1 sin 2sin 2 0 4 级考题例dx x x 2010 6 1 3 级考题求积分例dxe x 2010 cossin 2 2 0 2 级考题求是连续函数设例dxxfxxdttxfxtxf x x 2009 1 1 arctan 2 1 2 2 1 2 0 级考题求已知连续且满足设函数例dxxffxdttxtfxf x 6 4 定积分的应用 一 平面图形的面积 1 b a dxxfSxfyxbxax所围成的平面图形面积轴及由 2 xgyxfybxax 及曲线曲线由 b a dxxgxfS所围成平面图形的面积 3 d c dyySyxydycy 所围成平面图形的面积轴及由 4 yxyxdycy 及曲线曲线由 d c dyyyS 所围成平面图形的面积 二 旋转体的体积 轴旋转所围成的平面图形绕轴及连续曲线由xxfyxbxax 1 22 b a dxxgxfV x 体积为轴旋转一周所得旋转体所围成的平面图形绕 b a dxxfV 2 一周所得旋转体体积为 2 xgyxfybxax 由 0 xgxfbaxgxf上连续且满足在其中 4 yxyxdycy 由 轴旋转一周所得旋转体所围成的平面图形绕y 22 d c dyyyV 体积为 0 yydcyy 上连续且满足在其中 所围成的平面图形轴及连续曲线由 3 yxydycy 2 d c dyyVy 体积轴旋转一周所得旋转体绕 所围成的轴及连续曲线对于由 0 5 xfyxabbxax 2 b a dxxfxVy 体积轴旋转一周所得旋转体平面图形绕 所围成的轴及连续曲线对于由 0 6 yxycddycy 2 d c dyyyVx 体积轴旋转一周所得旋转体平面图形绕 22 所围成平面图形的面积与求由曲线例yxxy 常见题型 2 23 Sxyxxy所围成的平面图形面积与求由曲线例 求图中阴影部分的面积例 2 xy 2 xy y x 0 ln 体积轴旋转一周所得旋转体轴与绕所围成的平面图形分别求由例yxyexxy ln ln Sxxyxy积轴所围成的平面图形面及该切线与曲线的切线求过原点作曲线例 10 1 0 10 的最大值与最小值 求所围成平面图形面积为与设由例tStSteyxxxey tx 0 1 3 体积轴旋转一周所得旋转体轴与绕所围成的平面图形分别求由例yxyxxy 6 5 体积轴旋转一周所得旋转体所围成的平面图形绕求由例yyxxy 0 0 cos 体积轴旋转一周所得旋转体所围成的平面图形绕求由例yyxxxy 2008 2 3 2 1 0 2 0 2 级考题为曲顶的柱体体积以为底计算以 体体积 轴旋转一周得到的旋转围绕计算 的面积计算 围成的平面区域是由曲线设区域例 yxyxfD OxD D yxxeyD x 2009 2 1 1 ln 1 级考题的体积轴旋转一周所得旋转体绕求平面区域的面积求 所围成的图形是由平面区域例 xDD yxyxD 2010 2 1 2 1 2 2 级考题体的体积轴旋转一周所得的旋转围绕求的面积求 所围成的图形和直线是由抛物线设平面区域例 yDD xxyD 三 定积分在经济学中的简单应用 为产量其中总收益函数设总成本函数qqRRqCC 0 q MRdqqR 00 0 即为固定成本数量表示产量为零时总成本其中CCMCdqqC q 0 0 0 00 CdqMCMRCMCdqMRdqqCqRqL qqq dq dR MR dq dC MC 边际收益函数则边际成本函数 2100 11114 50 2 试求厂商最大利润 别为边际成本与边际收益分万元为生产某产品的固定成本例 qMR qqMC 常见题型 833 31836 6 2 试求厂商最大利润 别为边际成本与边际收益分万元为生产某产品的固定成本例 qMR qqMC 6 5 反常积分初步 一 无穷限积分 2 6上有定义在区间设函数定义 axf lim收敛则称无穷限积分存在若极限 a b ab dxxfdxxf lim发散则称无穷限积分不存在若极限 a b ab dxxfdxxf 上可积在且对任意实数baxfabb lim b aba dxxfdxxf记作限积分的值且定义极限值为该无穷 无数值意义这时它只是一个符号 上的无穷限积分在无穷区间为则称符号 axfdxxf a 3 6上有定义在区间设函数定义bxf 上可积在且对任意实数baxfbaa lim b aa b dxxfdxxf记作限积分的值且定义极限值为该无穷 上的无穷限积分在无穷区间为则称符号bxfdxxf b lim收敛则称无穷限积分存在若极限 bb aa dxxfdxxf lim发散则称无穷限积分不存在若极限 bb aa dxxfdxxf 无数值意义这时它只是一个符号 4 6上有定义在区间设函数定义 xf 都收敛与积分若对任意实数 c c dxxfdxxfc 收敛则称无穷限积分 dxxf c c dxxfdxxfdxxf记作 发散则称至少有一个发散与当 dxxfdxxfdxxf c c 6 6具有相同的敛散性与性质 ba abdxxfdxxf 0 7 6具有相同的敛散性常数与性质 AdxxfdxxAf aa 8 6收敛则收敛与如果性质 aaa dxxgxfdxxgdxxf aaa dxxgdxxfdxxgxf且 9 6莱布尼茨公式的牛顿无穷限积分性质 a dxxf 上的一个原函数在是设 axfxF lim limxFFxF xx 记存在且 aFFxFdxxf a a 则 连续可导在设法无穷限积分的分步积分 axvxu 其中上式中有两项收敛 a a a dxxuxvxvxudxxvxu则 连续在设函数无穷限积分的换元法 axf 上连续可导在函数 tx 0 0 ttt 或有如果对 lim taatt t 且有时当 aa dtttfdxxf那么 二 瑕积分 7 6上有定义在若函数定义baxf 0 0上可积在且对任意baxfab lim 0 收敛则称瑕积分存在若极限 b a b a dxxfdxxf 上的瑕积分在为称baxfdxxf b a 的瑕点为则称时无界在但xfaaxxf lim 0 b a b a dxxfdxxf 即并以此极限值为其值 lim 0 发散则称瑕积分不存在若极限 b a b a dxxfdxxf 8 6上有定义在若函数定义baxf 0 0上可积在且对任意 baxfab lim 0 发散则称瑕积分不存在若极限 b a b a dxxfdxxf lim 0 b a b a dxxfdxxf即并以此极限值为其值 lim 0 收敛则称瑕积分存在若极限 b a b a dxxfdxxf 上的瑕积分在为称baxfdxxf b a 的瑕点为则称时无界在但xfbbxxf 都收敛时与那么规定两个积分 b c c a dxxfdxxf 无界时当即内部一点在若函数定义xfcxbcacbaxf 收敛称瑕积分 b a dxxf b c c a b a dxxfdxxfdxxf 且 是相互独立的与其中 lim lim 00 b c c a dxxfdxxf 发散称中有一个发散与只要 b a b c c a dxxfdxxfdxxf 注 无穷限积分的性质6 6 6 7 6 8 6 9对瑕积分仍然成立 注 对于瑕积分 解题时要先指出瑕点 特别地 牛顿 莱布尼茨公式 换元法 分部积分法 被积函数的原函数在瑕点处的值按照原函数在瑕点处的极限值计算 莱布尼茨公式的牛顿瑕积分性质 b a dx