用变式问题来激活解题思维.pdf

用变式问题来激活解题思维 簧徽黄山区教 g 局教研宣 2 4 5 7 0 0 凌五志 学生解题时 常常固守熟题中的解题套路和经 1 2 时以戈 E 一1 o u o 兽1uI f o 验 不会抓住问题中条件特点 缺乏数学知识整体 J 观 选择解题的切入点单一 在脱离数学思想指导下 一l 萼 死撞南墙 此情也折射出教学层面 教师平时机 L 械强调典型问题教学 不善于活用不同的数学材料 变式3 已知戈 R 求函数八石 等 的 背景 角度 观点来设计变式问题 没有问题的演化 值域 学生无法通过对比 来甄别解题突破点的差异 因解 简析八髫 取值应保证方程以茗 菇z 一2 x l 转动数学思维的 眼球 z 一l o 在R 上有解 当髫 虿1 时以戈 O 问题1 已知戈 R 求函数八x 等了的由 o 推得八并 L 堕 L 焦 注以一虿1 值域 0 亦在其中 黼 寿2 变i I 4 嗍函肌 筹服大值为 茹 l 求6 的值 奇 知八菇 o 1 简析 因在R 上恒有 l 一弩等 o 铮 x 一 变式1已知茹 r 一1 2 求函数以戈 1 2 6 0 j 6 O j 的值域 变式5 已知戈2 2 1 求以戈 2 等 简析州小觜删茁 胍薯 耵 广 1 利脚 在 一1 1 上单调增 在 1 2 上单调减工 并 s i n9 消元 乌b 隼 上 由一l i n 口 1 1 义I N 一1 o 则 定点A 2 1 连成直线的斜 率 由图1 可知 厂 x Y g t E 一 一1 u 素 于是当菇 一 V 七 0 A 2 1 t 弋 1 图1 万方数据 o 4 1 L J 设计思想与教学建议函数值域问题 类型多 变 看似相近的问题 解题突破口也会迥然不同 鉴 于学生平时对数学知识与方法的学习主要是以单元 式进行 所见问题类型相对独立 极易酿成解题思路 模仿与套用 此处用一个问题和5 个变式来集中展 示 用基本不等式 导数 判别式 数式变形 换元与 消元 参变量 几何化等多种求函数值域的途径 学 会根据特定题境对解题思路进行选择 尝试 思辨 通过比较 发现各有其局限性 就明白函数 方程 不 等式 数形结合 转化等重要数学思想对指导探究解 题方法多样性和针对性的意义 数学观点多元化是 提高解题灵活应变能力的关键 在平时的教学中 教 师可能更多地将单元性知识功能发挥到极致 对学 生讲练问题看起来很多 往往是重技法而轻思想 顾 纵深而忘左右 只注意用当前所学的知识解难题 忽视与旧知识的整合 猎新奇而忘捡拾 向学生讲 授流行市面新颖题型 不注意从学生学习历史反思 漏缺 重演绎轻比较 数学方法僵化于相互孤立的 问题中运用 单门独法 不注意打造变式问题来转动 学生的数学 眼球 通过比较朱鉴别自己的数学观 点 方法是否去谬存真 对中选优 2 打造数学思维的 潜艇 问题2 讨论 n 取值对以x 知3 扣2 l x j二 m 的导函数影响 并指出凡 T t 对八石 图像的数学 意义 简析n 能决定函数图像的性状 当 1 4 n 1 0 时 n 厂 z 在R 上非负以名 是一条递增 1 的曲线 当凡 时 戈 有两零点 菇 是一条 型曲线 m 的变化不改变函数图像的性状 但 1 能影响图像纵向平移 尤其当凡 0J 引 0 碉石l 菇2 两个不同的实根 N f r 1 吉 戈 丁2n 一百1 茗 m 一吉凡以z 状并 曩2 了2n 石1h m 一吉n 嘉 4 n 一 1 2 赭 2 赭 小 熹 4 n 1 2 第l 昔 彰 象l 等 o 时 有厂 算 抓菇 o 厂 戈 还只有一个零点 彰 警l 等 o 时 有八 t 次z z o 以并 有两个零点 鹭 等等 0 时 有以算 厂 第 0 以石 有三个零点 变式2证明以戈 似3 b x 2 C X a a 0 总是中心对称图形 简证令O X 3 b x 2 d a x X o 3 C t 戈 一 d 由两边一 二阶导数对应相等 比较系数 得石 一麦 c 3 2 2 b m d 3 蜕2 蹦 正于是 对称中心 x d 变式3 探究以戈 r 13 r 1 2 似 m 有 三个零点 且相邻两个零点距离相等 简析因中间的零点 z 0 为图像的对称中 心 根据变式2 z o 一曼 一下1 c7 3 a x 2 b x o j n上 一虿1 展开 了1 并 3 一吉 石 虿1 得n 一百1 l5 0 使以z 能局部的 关于直线戈 对称 万方数据 简析N f x 一 占 f 石o 占 2 石o 6 a 8 2 6 a e 2 0 若 厂 菇 关于直线x 茗 对称 贝0 过 茗o 占 I x o 占 点的切线斜率 戈 占 应互为相反 数 所以不存在充分小区 y o A 兮 一 l 一 一2 x o 2 X 图2 间使 厂 z 能局部轴对称 且 型的三次函数叮形 象地刻画为 升得快 降得慢 两边 瘦 中间 胖 变式6探究 厂 z a x 3 如2 c x d a 0 平移过程中系数变化规律 简析令平移向量为x o Y o 平移后的函数 Z 名 a 戈一z o 3 b z 一茗o 2 c 戈一戈o d 设Z 石 a x 3 b x 2 c7 石 d7 由两式一 二阶 导数对应等同 比较系数得b b7 3 a x c C 3 a x d d a x 一b x j 蹦 一y 0 孛 b b 2 3 a c c 尤其当x 0 时 仅改变 d d Y 变式7探究 对在指定闭区间上和给定值域 的三次函数是否唯一 简析令八x k 3 2 3 一k x k O 当 戈 可4 脬一 j 0 时 得髫 轰 因八 甄3 T 1 以戈 0 得算 0 y 巧 y 胪X 弧 x 一 11 图3 3 万3 穹在 喾 期和 磊 鑫M 洲值 域都为 一1 1 分别取后 1 k 亨 对应的函 数z 戈 以 菇 在 一吾 季 上的值域都为 一1 1 所以不唯一 且当k 在1 k 芋范围做增大变 化时 图3 中的上 菇 向以 算 收缩 会有无数个这样 的函数以算 在 一虿3 三2 上的值域都为 一l 1 变式8对任意的算 1 2 恒有一6 a x 3 一 菇2 一髫一1 一2 成立 求n 的范围 简析对任意的x 1 2 有一6 口菇3 一算2 一戈一1 一2 成立 一丢 丢 上 口 一1 1 三f 一 净一5 t 3 t 2 t 口 一t 3 t 2 t t 上 菇 茗X l 1I 因在此区间上不等式左边关于t 的函数最 大值为 右边函数最小值为詈 所以 口 詈 变式9 证明 定义域为 1 2 形如八算 a x 3 一z 2 一戈一1 满足值域为l 一6 一2 1 的八茗 不存 在 简证因p1 一2 或彤1 一6 对口无 虮2 一6t f 2 一2 解以石 不可能在 1 2 上单调一致 柯 z 3 a x 2 2 x 一1 有两个零点 戈l 0 菇2 0 因x l 石2 与X l z 不同号 知戈 与菇 互为异号 只可能正根代 表的零点在 1 2 中 设并 1 2 贝妒 并 o j 口2 去 蠢j 口 1 但必须有 2 八2 1 一6 等言 音 矛盾 所以以戈 不存在 设计思想与教学建议学生接触什么样的数 学问题 对数学思维能力的发展有很大关系 数学呈 题方式应体现 用变式问题诱发学习者的好奇心 理 问题的形成应与数学直觉能力相关 可萌发对问 题的探究意识 如三次函数是否有对称性 怎样求得 对称中心 函数解析式各项系数变化对图像的性状 位置 零点个数有怎样的影响 对结论的猜想是否有 确定性 存在性和多样性等 提出这些问题不仅是函 数重点问题 而且符合学习心理的需求倾向 变 式问题设计应强凋重点知识 基本方法的数学价值 如利用导函数来刻画函数的性状 求极值和值域 简 化运算 辨别对称性等 变式问题的设计应拓展 学生数学语言应用与发展能力 如利用导函数来刻 画数学过程 展开 转化 简化问题 优化结论 又如 怎样选用优美的数学语言去表示特定数学现象 象 描述函数图像对称 平移时解析式的特征 用变 式系列问题来设台阶作铺垫 有助于对数学本质认 识不断地由浅入深 如对三次函数的零点 值域问题 从判别到对满足结论的条件的探究等 为数学思维 能力的发展提供渐进 有序的持续发展途径 变 式问题的设计应有利于拓展学生的解题视角 提高 对解题思维方法的选择 优化 反思和批判意识 如 建立函数与导函数关系式 用降次的方法简化运算 万方数据 中学数学杂志2 0 1 0 年第9 期 嚣撕 锹嬲燃膨彬琵脶渺K 卅 导函数也能甄别图像对称的必要条件 以及对笼统 复杂的问题怎样建立具体而又简洁的模型来探究区 间与值域的关系等 象变式1 4 5 7 就是为发展数 学解题思维选择 优化意识 而变式8 9 却是看似相 似 但问题的性质不同 极易混淆 通过两者对比来 明辨 虽然两者解题工具都是三次函数知识 但满足 不等关系的函数与取到固定值域的函数的数学目标 与过程都不是一回事 从而养成慎密严谨的数学思 考习惯 认真检查 反思自己的解题思路 否定和批 判错误的数学认识 杜绝机械模仿套用解题思路的 习惯 三次函数是检验学习函数思想 方法 发展数学 能力的一块砺石 也是高考命题的热点题材 理应得 到教学研究的高度藿视 建议教师适时地用系列变 式问题进行组题教学 建立既有纵向的深入又有横 向的比较能拓展解题思维途径 培养一种具 潜艇 型思维品质 对同一数学本质的问题的认识逐步深 化 纵向沉入 同时对分辨不同类型与本质的问题 反应敏捷 能思辨和选用有效的解题策略 横向比 较 好比潜艇沉得深又游得快 高中数学教学有一种很普遍的现象 教起知识 很简单 题例解法讲不完 新颖问题又不断 学生眼 花又缭乱 疑难错误在泛滥 有一个关键原因 教师 在进行例题 习题教学中角色是搬运工和勤杂工 盲 从高考新题 杂乱无章的照搬 铺天盖地地童讲 使 得数学思维培养处在混乱无序状态 利用变式组题 方式进行题例教学 使其能按培养目标来规划 按功 能需求来设计 凸显变式组题在发展解题思维方面 的高效 集约优势 9 7 9 9 9 9 一一 一一一 7 9 9 7 7 7 9 9 7 7 7 9 7 一一 7 7 7 一 一 一一 7 j l 欢迎订阅i l中国人民大学基础教育系列刊i I 5中国人民大学书报资料中心是国内最早从事搜集 整理 精选 编辑人文社会科学信息资料的学i 术出版单位 中心出版的期刊精选了我国人文社科研究最新成果 是各级各类教育科研单位不可或缺 的权威的工具性资料 其学术影响力 公信力国内外公认 中心所出版的基础教育系列期刊 精选全国j I 报刊中有关教育教学的优秀理论成果和实践经验的文章 注重内容的集优性 实效性和可操作性 是 一线教师学习课改精神 把握考试动向 寻求教学指导的最佳选择 是教研工作者可信赖的好帮手 l主要栏目 专题聚焦 前沿视点 课程教材 教学新探 学习方略 考试研究 教师发展 国外教育j l 邮发价格 ii 代号 刊物名称予l 期 单价全年价 8 0 3 3 4 教育学 月刊 1 8 0 02 1 6 0 0 2 5 9 7 中小学教育月刊 l O o o1 2 0 0 0 2 5 9 1 中小学学校管理月刊 8 0 09 6 0 0 2 5 9 9 高中语文教与学月刊 6 0 07 2 0 0 l 8 0 3 3 6 初中语文教与学月刊 6 0 07 2 0 0 2 6 1 5 高中数学教与学月列 6 o o7 2 0 0 l 8 0 3 3 5初中数学教与学月列 6 0 07