第4章 不定积分 习题 4- (3).pdf

1 第三节 不定积分的分部积分法 习题 4 3 求下列不定式积分 1 sin dxx x 解 sin dxx x dcoscoscos dxxxxx x cossinxxxC 2 ln dx x 解 ln dx x 1 lndlnlnd ln1 xxxxxxxxxxC x 3 1 ln e d x xx x 解 1 ln e d x xx x 1 e de ln de dlne ln d xxxx xx xxx x x e lnln d e e ln d xxx xxx xC e lne ln de ln d xxx xx xx xC e ln x xC 4 2 ln 1 dxxx 解 2 ln 1 dxxx 22 ln 1 dln 1 xxxxxx 2 22 111 ln 1 12 d 2 11 xxxxxx xxx 2 2 ln 1 d 1 x xxxx x 1 222 2 1 ln 1 1 d 1 2 xxxxx 2 22 ln 1 1xxxxC 5 2 d sin x x x 解 2 d sin x x x 2 cscddcotcotcot dxx xxxxxx x cosdsin cotdcot sinsin xx xxxxx xx cotln sinxxxC 6 2 arctan dxx x 解 2 arctan dxx x 333 11 arctan d arctandarctan 33 xxxxxx 3 3 2 11 arctand 3 3 1 x xxx x 32 2 111 arctan 1 d 361 xxx x 22 3 2 11d 1 arctan 3661 xx xx x 2 32 11 arctanln 1 366 x xxxC 7 2 3 e d x xx 解 2 3 e d x xx 232 332 11 d e ee d 33 xxx xxx 2 33 1 e2e d 3 xx xxx 2 33 12 ed e 39 xx xx 2 333 12 e ee d 39 xxx xxx 3 2 3332 122e22 eee 3927339 x xxx xxCxxC 8 sin ln dxx 解 sin ln dxx sin ln dsin ln xxxx 1 sin ln cos ln dxxxxx x sin ln cos ln dxxxx 3 sin ln cos ln dcos ln xxxxxx sin ln cos ln sin ln dxxxxxx 移项 解出 sin ln dxx sin ln cos ln 2 x xxC 9 arctan dx x 解 arctan dx x 2 arctandarctanarctand 1 x xxxxxxx x 2 2 1d 1 arctan 21 x xx x 2 1 arctanln 1 2 xxxC 10 arccotdx 解 arccotdx 2 arccotdarccotarccotd 1 x xxxxxxx x 2 2 1d 1 arccot 21 x xx x 2 1 arccotln 1 2 xxxC 11 arccos dx x 解 arccos dx x arccosdarccosxxxx 2 arccosd 1 x xxx x 2 2 1d 1 arccos 2 1 x xx x 2 arccos1xxxC 12 3 ecos2 d x x x 解 3 ecos2 d x x x 333 11 cos2 d e ecos2e dcos2 33 xxx xxx 4 33 12 ecos2esin2 d 33 xx xx x 33 12 ecos2sin2 d e 39 xx xx 333 12 ecos2 esin2e dsin2 39 xxx xxx 333 124 ecos2esin2ecos2 d 399 xxx xxx x 移项 解出 3 ecos2 d x x x 3 e 3cos22sin2 13 x xxC 注意 产生循环现象 从而求出积分 是分部积分法的主要作用之一 应当注 意的是 在反复使用分部积分法的过程中 每次所选u均应是同一类函数 如本题两 次都选三角函数作为u 否则不仅不会产生循环现象 反而会一来一往地恢复原状 毫无所得 13 2 arcsin dxx 解 2 arcsin dxx 22 arcsind arcsin xxxx 2 2 1 arcsin2arcsind 1 xxxxx x 22 arcsin2 arcsin d 1xxxx 222 arcsin2 1arcsin1darcsin xxxxxx 222 2 1 arcsin2 1arcsin21d 1 xxxxxx x 22 arcsin2 1arcsin2xxxxxC 14 ln d x x x 解 ln d x x x 111 222 2 ln d 2 lndln xxxxxx 1 2 2ln2d2ln4xxxxxxxC 5 15 ln ln d x x x 解 令ln e de d tt xt xxt ln ln d x x x ln e dln dlndln e t t t tt ttttt 1 lndlnln ln ln lntttttttCxxxC t 16 2 lnsin d cos x x x 解 2 lnsin d cos x x x lnsin dtantan lnsintan dlnsinxxxxxx 1 tan lnsintancos d sin xxx x x tan lnsinxxxC 17 3 cos d sin xx x x 解 3 cos d sin xx x x 2 cos dcot dcot sinsin xx xxxx xx 2 cotcot d cot xxx xx 22 3 cos cot cot d sin xx xxxx x 22 3 cos cot csc1 dd sin xx xxxxx x 2 3 cos cotcotd sin xx xxxxx x 移项 解出 3 cos d sin xx x x 2 1 cotcot 2 xxxxC 18 arcsin 2 arcsin e d 1 x x x x 解 令arcsin xt arcsin 2 arcsin e d 1 x x x x arcsin arcsin edarcsin x xx e dd e ee d tttt ttttt 6 arcsinarcsin eearcsinee ttxx tCxC arcsin e arcsin1 x xC 19 2 arcsin d 1 xx x x 解 令arcsin sin dcos dxt xtxt t 2 arcsin d 1 xx x x sin cos dsin ddcos cos tt t ttt ttt t 2 coscos d1arcsinttt txxxC 注意 视被积函数的情况交替使用换元积分法与分部积分法是计算不定积分经 常会遇到的情况 一般有先分部后凑微分 先换元后分部或先分部后换元 本例中 是先换元后分部 20 arctane d e x x x 解 法1 arctane d e x x x arctane d e xx earctaneedarctane xxxx 2 ee earctaned 1e xx xx x x 22 2 1ee earctaned 1e xx xx x x 2 2 11 earctaned 1e 2 1 e xxx x x 2 1 earctaneln 1e 2 xxx xC 法2 令 d e ln d x t t xtx t arctane d e x x x 22 111 arctan darctand 1 t ttt tttt 2 11 arctan d 1 t tt ttt 2 11 arctanlnln 1 2 tttC t 7 2 1 earctaneln 1e 2 xxx xC 21 2 cosdx x 解 令 2 d2 dxt xtxt t 2 cosdx x 2 2cosd2cos dsintt tttt 2 sin cos2 sin d cos tttttt sin22 sin cossin dttttttt 2 sin2sin2 d2 1cos dttt tttt 22 1 sin2cos22cosd 2 tttttt t 移项 解出 2 cosdx x 2 2cosdtt t 2 11 sin2cos2 22 ttttC 11 sin2cos2 242 x xxxC 22 2 arctan d 1 xx x x 解 令 2 arctan tan dsecdxt xtxt t 2 arctan d 1 xx x x 2 2 tan secdsectan ddsec 1tan tt t tttt ttt t sec sectan secsec dsecd sectan ttt ttt tttt tt d sectan secsecln sectan sectan tt ttttttC tt 22 1arctanln 1 xxxxC 23 dxfxx 解 dxfxx d d x fxxfxfxxxfxf xC 8 24 3 ed x x 解 令 323 d3 dxt xtxtt 3 ed x x 22222 3e d3d e 3 ee d 3 e2e d tttttt tttttttt 22 3 e2d e 3 e2 e2 e d ttttt ttttt 3 21 2 33 3 e2 e2e 3 22 e tttx ttCxxC 25 2 ln d 1 x x x 解 2 ln d 1 x x x 2 ln1 d 1 ln d 1 1 x xx xx ln1 dln 11 x x xx ln1 d 1 1 x x xxx ln11 d 11 x x xxx ln ln 1ln 1 x xxC x 1 ln ln 1 x x C xx 26 2 e sind x x x 解 2 e sind x x x 1cos211 ede de cos2 d 222 xxx x xxx x e1e11 e dsin2e sin2e sin2 d 24244 xx xxx xxx x e11 e sin2e dcos2 248 x x