第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (4).pdf

1 第四节 多元复合函数的求导法则 习题 8 4 1 求下列函数的全导数 1 v z u lnux exv 2 arcsin zxy 3xt 3 yt 3 uxyyz exy sinzx 4 2 e x uyz 2xt sinyt 2coszt 解 1 ddd ddd zzuzv xuxvx 2 11 ex v xuu 2 e11e1 e 1 lnlnlnln xx x xxxxxx 2 ddd ddd zzxzy txtyt 2 22 1 1 33 1 1 t xyxy 22 3 23 232 333 1 1 3 1 3 1 3 tt tttttt 3 ddd ddd uuuyuz xxyxzx ecos x yxzyx e sin ee cose 1sincos xxxx xxxxxx 4 dddd dddd uuxuyuz txtytzt 222 2e 2ecose 2sin xxx yztt 444 4e sin2cos ecos2esin ttt tttt 4 e 2sin9cos t tt 注意 第 3 小题是三个中间变量 x y z 一个自变量x的情形 其中x既是 自变量 又是中间变量 此题常错误地解答为 2 ddd e sincos ddd x uuyuz xxx xyxzx 该解法的错误在于复合关系不清楚 因而丢掉一项 此类题目也可以将中间变量代入到原函数中 将其化为一元函数 再用一元 函数求导法则求出全导数 例如 第 1 小题也可用如下求法 先写出 e ln x z x 然后 求 d d z x 2 求下列函数的一阶偏导数 1 e u v zu 22 uxy vxy 2 2 lnzxy s x t 32yst 3 arctan zxxy 2 xt etys 解 1 x v v z x u u z x z 2 1 ee 2e uuu vvv u uxuy vv 222222 2222 2 22 ee 2e xyxyxy xyxyxy xyxy xy xyx y 22 224224 2 222 2 e xy xy xyxx yy x yx y 22 443 2 1 2 e xy xy xyx y x y y v v z y u u z y z 2 2 ee 2e uuu vvv uu yx vv 222222 2222 2 22 ee 2e xyxyxy xyxyxy xyxy yx xyx y 22 224224 2 222 2 e xy xy xyxx yy y xxy 22 443 2 1 2 e xy xy yxxy xy 3 2 3 1 ln2 2 y x t yx s y y z s x x z s z 2 2 21 ln 32 3 32 ss st ttst t 2 22 23 ln 32 32 ss st tst t 2 ln2 2 2 y x t s yx t y y z t x x z t z 22 32 22 ln 32 32 ss st tst t 3 4 24 2 2 e e 1 1e t t t zzyxt x sysxyt s d d zzxzy txtyt 2 22 arctan 2e 1 1 t yx xyxts xyxy 24 2 4 2 24 2 2 ee 2 arctan e 1e1e tt t tt t st s tt s t st s 注意 常见错误是最后结果中仍有中间变量出现 3 设f具有一阶连续偏导数 求下列复合函数的偏导数 1 22 e xy zf xy 2 zf x xy xy 3 y zxyf xy x 4 uf x xy xyz 解 1 将中间变量 22 exy xy 依次编号为1 2 则 22 1212 e 2e xyxy z fxyfxfyf xxx 22 1212 e 2e xyxy z fxyfyfxf yyy 2 将中间变量 x xy xy 依次编号为1 2 3 则 4 321321 111ffffff x z 3232 1 1ffff y z 3 2 22 xyf x y xyf x y yyxyf x y xyf x y y x z 11 zy xf xyfxyxxf xyyfxy yxxx 4 将中间变量 x xy xyz依次编号为1 2 3 则 123123 1 u ffyfyzfyfyzf x 3232 fxzf xxzfxf y u 33 fxyxyf z u 4 设f具有二阶连续偏导数 求下列函数的指定的偏导数 1 22 2 zz zf ax by x yx 2 23 222 2 uz uf xyz x y zx 3 22 22 2 uu uf xyyz y zy 4 22 2 ln 2 zz zf xxxy x yx 解 1 将中间变量 ax by依次编号为1 2 则 11 f aaf x z 11 2 11 2 2 faf x af a xx z 1211 2 fabf y af a yyx z 5 2 f xxf x u 22 fxfxfxff x xx u 2 2 2 42222 2 fxyyf xf x yyx u 422 2 2 fxyzzfxyfxy zzyx u 824 4 3 3 将中间变量 2 xy 2 yz 依次编号为1 2 则 222 1212 2 u fxyfyzfxyfz yyy 2 12 2xyfz f 2 2 2 2 2 112 2 1 2 2 f y zf y xyfxy y fzfxy yy u 22 11112 22 xfxy fxyfyz yy 222 2122 zfxyfyz yy 222 111122122 22 2 2 xfxy fxyfzzfxyfz 2224 1111222 244xfx y fxyz fz f 2 2 2 2 2 2 12 2 1 2 f z zfz z f z xyfzfxy zzy u 2 2 2 22 2 2 2 12 yz z fzf zyz z fxy yzfzf zyzfxy2222 22 2 212 222 2 12 2 224f zfyzf zxy 注意 二阶偏导数常错求为 6 2 2 2 2 2 112 2 1 2 2 f y zf y xyfxy y fzfxy yy u 22 4 11 3 1 2 22 22 111 2222fzfxyf xzfzyfxyf x 在求多元复合函数的二阶偏导数时 要特别记住抽象的多元复合函数的偏导函 数与原来的函数具有相同的复合结构 此题产生错误的原因是没有认识到 1 f 2 f 与f有一样的复合结构 当它们继续对自变量 x或y 求偏导数时 必须再次运用复 合函数的求导法则 这是一个很容易出错的问题 应特别注意 4 将中间变量ln 2xxxy 依次编号为1 2 则 2 ln1 2 ln 2121 fxfyx x fxx x f x z 12 1ln 2x ff 2 1212 2 1ln 2 1ln 1ln 2 z x ffx fxff xxxxx 11112 1 1ln ln 2 fxfxxfxy xxx 2122 2 ln 2 fxxfxy xx 2 ln1 2 2 ln1 ln1 1 222112111 fxffxfxf x 221211 2 1 4 ln1 4 ln1 1 ffxfxf x 2 ln1 2 ln1 2121 2 f y f y xffx yyx z 1222 1ln 2 2 2 x fxyfxy yy 12221222 1ln 1 2 1 1ln 2x ffx ff 5 证明函数 ctxctxu 满足弦振动方程 22 2 22 uu c xt 证 因为 7 1 1 u xctxctxctxct x 2 2 1 1 u xctxctxctxct xx xctxct u xctcxctccxctcxct t 2 2 u cxctcxct tt cxctccxctc 2 cxctxct 所以 22 22 22 uu ccxctxct xt 6 若 f u v的二阶偏导数连续 且满足拉普拉斯方程 22 22 0 ff f uv 证明 函数 22 2 zf xyxy 也满足拉普拉斯方程 22 22 0 zz z xy 证 令 22 uxy 2vxy 则 zf u v 2222 zfufvffff xyxy xuxvxuvuv 2 2 22 zff xy xuvx 2222 22 22 22 2 22 fffff xxyyxy uu vv uuv 222 22 22 2484 ffff xxyy uu vuv 2 2 zfufvff yx yuyvyuv 22 ff yx uv 2 2 22 zff yx yuvy 8 22 2 2 2 2 2 fff yyx uu vu 22 2 2 2 2 ff xyx v uv 222 22 22 2484 ffff yxyx uu vuv 所以 222222 22 222222 4 4 zzffff zxy xyuvuv 22 2222 22 44 44 0 ff xyxyf uv 7 作自变量变换 ux vxy 求方程 0 zz xy xy 的解 解 z x y u v的复合关系如下 d 1 d zzuzvzzzz yy xuxvxuvuv zzvzz xx yvyvv 将 zz xy 的表示式代入方程0 zz xy xy 得 0 zzz xyy x uvv 即0 z x u 由变换ux 可得0 z u u 于是有 0 z u 所以此方程的