分析中考数学中的四点共圆_赵宏伟.pdf

青年专号 1 989 年 6 月 蒙 自师专学报 J o u r na l o fM en g z iT e ae h e r s 声 I nstit te V o l 6 J n N 1 198 9 分析中考数学中的四点共圆 关 赵宏伟 弥勒一中 摘要 四点共 国问题充分体 现了直线形的园内接四边 形与圆的 密切联系 通常还 融 会了直 线形和 圆的一些重要性质 通 过 讨四点共圆问题的学习 可以提高分析问题 解决问题 和 综 合运用的能力 在几年的中考中 均出现 了关于圆的综合题 我认为其目的是 首先检查考生掌握 圆的一部分知识情况 其次着重检查考生综合运用知识的能力 云南省在这两年关于 圆 的综合题的证明中 都可以通过四点共圆进行证明 足见四点共圆的重要性 例 1 已知 0 0与 O 产外切于P 过P点作直线交0 0与00 于A B A C是00 的弦 过B点作00 尸 的切线交A C的延长线于D 求证 A P A B 二 AD A C 1987年云南省中考试题 分析 要证等积式A P AB 二 A C AD 则须证 点P B D C共圆 于是连结 P C 得到四边形P BD C 又 因为 00与00 尹 外切于P 两圆相切常作它们的公 切线 不 帝1 9 89年3 月1 2日收至 1 妨过点 P作内公切线P E 交B D于点E 又 因BD切00 产于 点B 联想到切线长定理 E B EP 所以艺 1 乙B 而对顶角乙 1 匕 2 弦切角 乙 2 乙 3 于是 乙3 二 乙B 即四点P B D C共圆 再由割线定理 命题得证 证明略 下面例均省去 证明过程 例 2 已知 ABC D是矩形 延长AD到E 使A E 二 AB F是AB上一 点 延 长 BC到G 使CG 二 AF EF交DG于H 求证 匕DHB 90 0 1988年云南省中考试题 乡 气r 吧 召留 时 仪 分析 令E F交CD于点P 由于四边形A B CD是矩形 所以匕D CG 二90 0 要证 乙DH E 9 0 考虑四点P C G H共 圆 须证乙 1 乙G 因为乙 1 二 匕 2 两直 线平行 内错角相等 于是只须证乙 2 二 G 这个结论 可以通 过证Rt A EF丝Rt C D G 得到 例 3 如图 A B C中BC边上的高AD延长线交外接圆于G DH 二 D G BH的延 长线交A C于E 求证 z BE土A C 2 AH DG BH HE 298 8年云南省中考试 题 分析 1 因为匕 A DC Rt 乙 要证AE土A C 只须证四点D C E H共圆 于是转化为证乙 1 乙C 又因为DH D G BD土HG 所以连结BG 则 BGH是 等 腰三角形 乙 1 二 乙G 而乙C 乙G 故乙 1 二 乙C 2 要证 AH o D G 二 B H HE 只须证Rt AH EoRt BHD 由此可见 圆与四边形是比较重要的 在其它省市也出现 了 这方面的证 明题 例 4 如图 两圆相交于A B 从一 圆上一点P引直线P A P B 交另一圆于C D 过P作P H土CD交于H 则PH必须过 圆P AB 即过P A B三点的圆 的圆心 一九八七年宁波中考试题 分析 令PH交圆PAB于Q 要证P H过圆PAB的圆心 只须证PQ为 圆PAB的直 径 连结AQ 则证乙P AQ Rt乙 在四边形AQH C中 PH土C D 故只须证四点 A Q H C共圆 于是转化为证匕 1 二 艺C 两圆相交常公共弦 不妨连结AB 则四点 A B C D共圆 乙 2 匕C 在圆P A B中 1 二 乙 2 故乙 1 二 乙C 例 5 如图 A D是圆的直径 l是过D点的切线 割线A B A C交l于点B C 交 圆于点E F 1 求证 A E AB AF AC 2 如果使直线1向上平行移动成为 圆的割线 而A B AC与1仍交于点B C 与圆仍交于点E F 那么等式A E AB 二 A F A C是否仍成立 为什么 19 8 6年杭州市 中考试题 A 水以二经 才 分析 1 要证 AE A B AF AC 则证四点B C F E共圆 连结EF 证 乙 1 匕 2 再连结E D 则乙 1 艺 3 又 因为A D为直径 1切圆于D 所以 匕 2 乙 4 90 乙 3 乙 4 二 90 0 乙 2 乙 3 即乙 1 乙 2 2 如下 图 当1向上平移时 等式A E A B A F A C是否成 立 则探索四点E F C B是 否共圆 因为1为 平移 所以1上A D 连结E F D F 则乙 1 乙 2 二 Rt匕 匕D 乙 2 tR乙 故乙 1 二 乙D 又艺E 二 乙D 因此匕 1 二 乙E 四边形B C F E内接 于圆 等式仍能成立 例 6 如 图 0 0与00 相交于A B两点 O过 00 的圆心O 过 A作直线分别 交两 圆于C D 连结CB 求证C D CB 198 6年南京市中考试题 分析 因为四点A C B 0 1共圆 连结0 A 0 B 再连结O C O D 通过观 察 要证e l 二 CB 则证 BO C望 DO C 弦O A 二 O 工B 所以匕 l 二 乙 2 又因为 O I D 二 O I A 匕 3 一 乙D 而 乙 3 二 艺B 四点共 圆 故乙B 二 D 从而 BO C 望 么D O C 于是命题 得证 8 0 AN ALY SIN GTH E QU ESTIO NTHAT FOURPOIN TSCOEX IST WIT HACIRCL E INMA THEMATICSP APEROFTHE MID D LEUNIFE DST ATETEST Zh ao H on gw e i T h e Fi rst S en i or Mid d l e S e h oo l Mil e i ABS TR AC T T h e q les tio n th a t f our p o i n t se oe x i s twith ae i re le giv e s f u lly ex p res s i on t or e l ation b e tw een in s e r ib e d q ua d ri l a t e d an d th eeir e le Th a tq ues tio na ls o eon tain ss o m e imp or t an tp ro p er tie s o f s t r a ightli ne an d eire l e 5 0 s t u