追及与相遇问题.ppt.ppt

1 2 3 n 追及与相遇问题 1 追及与相遇问题的实质 2 理清三大关系 两者速度相等 它往往是物体间能否追上或 两者 距离最大 最小的临界条件 也是分析判断的切入点 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题 时间关系 速度关系 位移关系 3 巧用一个条件 1 物理分析法 抓好 两物体能否同时到达空间某位置 这一关键 认真审题 挖掘题中的隐含条件 在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景 2 数学分析法 设相遇时间为t 根据条件列方程 得到关于t的方程 通常为一元二次方程 用判别式进行讨论 若 0 即有两个解 说明可以相遇两次 若 0 说明刚好追上或相遇 若 0 说明追不上或不能相碰 3 图象法 将两者的速度 时间图象在同一坐标系中画出 然后利用图象求解 4 相对运动法 巧妙地选取参照系 然后找两物体的运动关系 解答追及 相遇问题常用的方法 1 速度小者追速度大者 1 在解决追及相遇类问题时 要紧抓 一图三式 即 过程示意图 时间关系式 速度关系式和位移关系式 另外还要注意最后对解的讨论分析 2 分析追及 相遇类问题时 要注意抓住题目中的关键字眼 充分挖掘题目中的隐含条件 如 刚好 恰好 最多 至少 等 往往对应一个临界状态 满足相应的临界条件 解题思路 分析两物体运动过程 画运动示意图 找两物体的关系式 列方程求解 1 汽车一定能追上自行车吗 若能追上 汽车经多长时间追上 追上时汽车的瞬时速度多大 例3一辆汽车以3m s2的加速度开始启动的瞬间 另一辆以6m s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过 2 当v汽v自时 两者距离如何变化 汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远 此时的距离是多大 3 画出两车运动的v t图象 并试着用图象法解上述两问题 例3一辆汽车以3m s2的加速度开始启动的瞬间 解 汽车 例3一辆汽车以3m s2的加速度开始启动的瞬间 另一辆以6m s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过 1 汽车一定能追上自行车吗 若能追上 汽车经多长时间追上 追上时汽车的瞬时速度多大 2 当v汽v自时 两者距离如何变化 汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远 此时的距离是多大 解 汽车 乘客 3 画出两车运动的v t图象 并试着用图象法解上述两问题 练一练 甲 乙两车在平直公路上比赛 某一时刻 乙车在甲车前方L1 11m处 乙车速度v乙 60m s 甲车速度v甲 50m s 此时乙车离终点线尚有L2 600m 如图所示 若甲车加速运动 加速度a 2m s2 乙车速度不变 不计车长 求 1 经过多长时间甲 乙两车间距离最大 最大距离是多少 2 经过多长时间甲乙两车相遇 3 试通过计算说明到达终点前甲车能否超过乙车 2 速度大者追速度小者 说明 表中的 x是开始追及以后 后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移 x0是开始追及以前两物体之间的距离 t2 t0 t0 t1 v1是前面物体的速度 v2是后面物体的速度 解 汽车 乘客 此时人和车相距最近 此过程 x人 vt 4 2m 8m 在一条平直的公路上 乙车以10m s的速度匀速行驶 甲车在乙车的后面做初速度为15m s 加速度大小为0 5m s2的匀减速运动 则两车初始距离L满足什么条件时可以使 1 两车不相遇 2 两车只相遇一次 3 两车能相遇两次 设两车相遇时互不影响各自的运动 例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮起时汽车以3m s2的加速度开始行驶 恰在这时一辆自行车以6m s的速度匀速驶来 从后面超过汽车 试求 汽车从路口开动后 在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时距离是多少 甲 乙两车在一平直道路上同向运动 其v t图象如图示 图中 OPQ和 OQT的 面积 分别为x1和x2 x2 x1 初始时 甲车在乙车前方x0处 A 若x0 x1 x2 两车不会相遇B 若x0 x1 两车相遇2次C 若x0 x1 两车相遇1次D 若x0 x2 两车相遇1次 ABC 分析 汽车追上自行车之前 v汽v自时 x变小 解法一物理分析法 两者速度相等时 两车相距最远 速度关系 v汽 at v自 t v自 a 6 3 2s x v自t at2 2 6 2 3 22 2 6m 解法二用数学求极值方法来求解 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远 x x1 x2 v自t at2 2 位移关系 x 6t 3t2 2 由二次函数求极值条件知 t b 2a 6 3s 2s时 x最大 xm 6t 3t2 2 6 2 3 22 2 6m 解法三用相对运动求解更简捷 选匀速运动的自行车为参考系 则从运动开始到相距最远这段时间内 汽车相对参考系的各个物理量为 初速度v0 v汽初 v自 0 6 6m s 末速度vt v汽末 v自 6 6 0 加速度a a汽 a自 3 0 3m s2 解法四用图象求解 1 自行车和汽车的v t图象如图 由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小 所以由图上可以看出 在相遇之前 在t时刻两车速度相等时 自行车的位移 矩形面积 与汽车位移 三角形面积 之差 即斜线部分 达最大 所以 t v自 a 6 3 2s 2 由图可看出 在t时刻以后 由v自线与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时 两车的位移相等 即相遇 所以由图得相遇时 t 2t 4sv 2v自 12m s 2 什么时候汽车追上自行车 此时汽车的速度是多少 解 汽车追上自行车时 二车位移相等 位移关系 则vt at 2 2 6 t at 2 2 t 4s v at 3 4 12m s 思考 若自行车超过汽车2s后 汽车才开始加速 那么 前面的1 2两问如何 例2 A火车以v1 20m s速度匀速行驶 司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2 10m s速度与A火车同方向匀速行驶 A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动 要使两车不相撞 a应满足什么条件 两车恰不相撞的条件是 两车速度相同时相遇 由A B速度关系 由A B位移关系 方法一 物理分析法 方法二 图象法 代入数据得 若两车不相撞 其位移关系应为 其图像 抛物线 的顶点纵坐标必为正值 故有 方法三 二次函数极值法 代入数据得 不相撞 0 方法四 判别式法 以B车为参照物 A车的初速度为v0 10m s 以加速度大小a减速 行驶x 100m后 停下 末速度为vt 0 以B为参照物 公式中的各个量都应是相对于B的物理量 注意物理量的正负号 方法五 相对运动法 例3 一车从静止开始以1m s2的加速度前进 车后相距x0为25m处 某人同时开始以6m s的速度匀速追车 能否追上 如追不上 求人 车间的最小距离 一 数学分析法 依题意 人与车运动的时间相等 设为t 当人追上车时 两者之间的位移关系为 x车 x0 x人 即 at2 2 x0 v人t 由此方程求解t 若有解 则可追上 若无解 则不能追上 代入数据并整理得 t2 12t 50 0 b2 4ac 122 4 50 1 56 0 所以 人追不上车 二 物理分析法在刚开始追车时 由于人的速度大于车的速度 因此人车间的距离逐渐减小 当车速大于人的速度时 人车间的距离逐渐增大 因此 当人车速度相等时 两者间距离最小 at v人t 6s 在这段时间里 人 车的位移分别为 x人 v人t 6 6 36m x车 at 2 2 1 62 2 18m x x0 x车 x人 25 18 36 7m 二 数学分析法 s 1 2 1 t2 25 6t 1 2 1 t2 6t 25 14 0 s t 例4 在平直公路上有两辆汽车A B平行同向行驶 A车以vA 4m s的速度做匀速直线运动 B车以vB 10m s的速度做匀速直线运动 当B车行驶到A车前x 7m处时关闭发动机以2m s2的加速度做匀减速直线运动 则从此时开始A车经多长时间可追上B车 分析 画出运动的示意图如图所示 A车追上B车可能有两种不同情况 B车停止前被追及和B车停止后被追及 究竟是哪一种情况 应根据解答结果 由实际情况判断 解答 设经时间t追上 依题意 vBt at2 2 x vAt 10t t2 7 4t t 7st 1s 舍去 B车刹车的时间t vB a 5s 显然 B车停止后A再追上B B车刹车的位移xB vB2 2a 102 4 25m A车的总位移xA xB x 32m t xA vA 32 4 8s 思考 若将题中的7m改为3m 结果如何 答 甲车停止前被追及 错解 4t 7 10t 2t2 t 1 舍 t 7 例5 汽车正以10m s的速度在平直公路上做匀速直线运动 突然发现正前方10m处有一辆自行车以4m s的速度同方向做匀速直线运动 汽车立即关闭油门 做加速度为6m s2的匀减速运动 问 汽车能否撞上自行车 若汽车不能撞上自行车 汽车与自行车间的最近距离为多少 汽车在关闭油门减速后的一段时间内 其速度大于自行车速度 因此 汽车和自行车之间的距离在不断的缩小 当这距离缩小到零时 若汽车的速度减至与自行车相同 则能满足汽车恰好不碰上自行车 分析 画出运动的示意图如图所示 物理分析法解 1 汽车速度减到4m s时运动的时间和发生的位移分别为t v自 v汽 a 4 10 6 s 1sx汽 v自2 v汽2 2a 16 100 12 7m这段时间内自行车发生的位移x自 v自t 4m因为x0 x自 x汽所以 汽车不能撞上自行车 汽车与自行车间的最近距离为 x x0 x自 x汽 10 4 7 m 7m 数学分析法 x x0 x自 x汽 10 4t 10t 1 2 6t2 3t2 6t 10 84 0 无解不相遇 s t 典例二 追及类问题 例2 摩托车先由静止开始以25 16m s2的加速度做匀加速运动 后以最大行驶速度25m s匀速运动 追赶前方以15m s的速度同向匀速行驶的卡车 已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1000m 则 1 追上卡车前二者相隔的最大距离是多少 2 摩托车经过多少时间才能追上卡车 解析 1 对摩托车由静止开始匀加速至vm 25m s 用时t1 vm a 16s 发生位移x1 vm2 2a 200m 显然未追上卡车 则追上卡车前二者共速时 间距最大 如图所示 即x x0 x卡 x摩 x摩 v2 2a x卡 v v a 由 联立得x 1072m 1 通过运动的分析 找隐含条件2 利用二次函数求极值的方法3 因追及相遇问题至少涉及两个物体的运动问题 对描述它们的物理量必须选同一参考系 基本思路是 分别对两物体研究 画出运动过程示意图 列出方程 找出时间关系 解出结果 必要时进行讨论 2 追上时 由运动情景图 如图所示 分析可知 x摩 x卡 x0vm2 2a vm t t1 x0 vt解得t 120s 答案 1 1072m 2 120s A B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶 当B车在A车前84m处时 B车速度为4m s 且正以2m s2的加速度做匀加速运动 经过一段时间后 B车加速度突然变为零 A车一直以20m s的速度做匀速运动 经过12s后两车相遇 问B车加速行驶的时间是多少 答案 6s 典例三 用图象求解追及问题 例3 甲 乙两车在公路上沿同一方向做直线运动 它们的v t图象如图所示 两图象在t t1时相交于P点 P在横轴上的投影为Q OPQ的 面积 为S 在t 0时刻 乙车在甲车前面 相距为d 已知此后两车相遇两次 且第一次相遇的时刻为t 则下面四组t 和d的组合可能是 A t t1 d SB t 1 2 t1 d 1 4 SC t 1 2 t1 d 1 2 SD t 1 2 t1 d 3 4 S D 解析 甲做匀速运动 乙做匀加速运动 速度越来越大 甲 乙同时异地运动 当t t1时 乙的位移为S 甲的位移为2S且v甲 v乙 若两者第一次相遇在t t1时 则由d S 2S可得d S 不过不会出现第二次相遇 所以A错误 若两者第一次相遇在t 1 2 t1时 乙的位移为 1 4 S 甲的位移为S 由d 1 4 S S可得d 3 4 S 所以D正确 B C错误 1 v t图象中 由于位移的大小可以用图线和坐标轴