2013上海市青浦区高三一模数学试题及答案.pdf

高三数学 共 14 页 第 1 页 青浦区 2012 学年第一学期高三年级期终学习质量调研测试 数学试题数学试题 Q 2013 01 18 满分 150 分 答题时间 120 分钟 学生注意 1 1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分 本试卷包括试题纸和答题纸两部分 2 2 在试题纸上答题无效 必须在答题纸上的规定位置按照要求答题 在试题纸上答题无效 必须在答题纸上的规定位置按照要求答题 3 3 可使用符合规定的计算器答题 可使用符合规定的计算器答题 一一 填空题 本大题满分填空题 本大题满分 5656 分 本大题共有分 本大题共有 1414 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果 每个空格填对得写结果 每个空格填对得 4 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 已知集合 axxBxxA 2 且RBA 则实数a的取值范围是 2 函数 2 log1 2 xxxf的反函数 1 xf 3 抛物线 2 2xy 的焦点坐标是 4 若 642 531 222 cba 222222 CcBbAa 则 2 C化简后的最后结果等于 5 已知正三棱柱的底面正三角形边长为 2 侧棱长为 3 则它的体积 V 6 若圆柱的侧面展开图是一个正方形 则它的母线长和底面半径的 比值是 7 在ABC 中 2 3 ACAB 10 BC 则 ACAB 8 若三个互不相等的实数成等差数列 适当交换这三个数的位置后 变成一个等比数列 则此等比数列的公比为 写出 一个即可 9 如 果 执 行 右 面 的 框 图 输 入4 N 则 输 出 的 数S等 于 10 甲 乙等五名社区志愿者被随机分配到DCBA 四个不同 岗位服务 每个岗位至少有一名志愿者 则甲 乙两人同时参加岗 位A服务的概率是 高三数学 共 14 页 第 2 页 11 已知01cossin 2 aa与01cossin 2 bb ba 直线MN过点 2 aaM与 点 2 bbN 则坐标原点到直线 MN 的距离是 12 已知 1 1 1 2 xa xxa xf x 满足对任意 21 xx 都有0 21 21 xx xfxf 成立 则a的 取值范围是 13 正六边形 111111 FEDCBA的边长为 1 它的 6 条对角线又围成了 一个正六边形 222222 FEDCBA 如此继续下去 则所有这些六边形 的面积和是 14 设Ryx 且满足 4 1 2013 1 4 4 2013 4 3 1 5 3 1 5 yy xx 则 yx 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 2020 分 本大题共有分 本大题共有 4 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在答题题 每题有且只有一个正确答案 考生应在答题 纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 5 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 15 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的渐近线方程 为 A xy2 B xy2 C xy 2 1 D xy 2 2 16 对于原命题 周期函数不是单调函数 下列陈述正确的是 A 逆命题为 单调函数不是周期函数 B否命题为 周期函数是单调函数 C 逆否命题为 单调函数是周期函数 D 以上三者都不对 17 已知复数iz21 0 在复平面上对应点为 0 P 则 0 P关于直线zizl 22 的对称点的 复数表示是 A i Bi C i 1 D i 1 高三数学 共 14 页 第 3 页 18 已知函数 xf是定义在R上的单调增函数且为奇函数 数列 n a是等差数列 0 1007 a 则 20132012321 afafafafaf 的值 A 恒为正数 B恒为负数 C 恒为 0 D 可正可负 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 7474 分 本大题共有分 本大题共有 5 5 题 解答下列各题题 解答下列各题必须在答题纸相应必须在答题纸相应编号的规定编号的规定 区域内写出必要的步骤区域内写出必要的步骤 19 本题满分本题满分 12 分分 本题共有本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 分 分 第第 2 2 小题满分小题满分 6 分分 如图已知四棱锥ABCDP 的底面是边长为 6 的正方形 侧 棱PA的长为 8 且垂直于底面 点NM 分别是ABDC 的 中点 求 1 异面直线PM与CN所成角的大小 结果用反三角函数值 表示 2 四棱锥ABCDP 的表面积 20 本题满分本题满分 14 分分 本题共有本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 8 分分 已知数列 n a满足 233 2 1 11 Nnaaa nn nn 1 设 n n n n a b 3 2 证明 数列 n b为等差数列 并求数列 n a的通项公式 2 求数列 n a的前n项和 n S 21 本题满分本题满分 14 分分 本题共有本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 8 分分 已知 1 sin32cos2 xxm cosyxn 满足0 nm 1 将y表示为x的函数 xf 并求 xf的最小正周期 2 已知cba 分别为ABC 的三个内角CBA 对应的边长 若 2 A fxf 对所有Rx 高三数学 共 14 页 第 4 页 恒成立 且2 a 求cb 的取值范围 22 本题满分本题满分 16 分分 本题共有本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 7 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 7 分分 第第 3 3 小题满小题满 分分 2 分分 设直线0 11 ppxkyL 交椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 于DC 两点 交直线 xkyL 22 于点E 1 若E为CD的中点 求证 2 2 21 a b kk 2 写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真 3 请你类比椭圆中 1 2 的结论 写出双曲线中类似性质的结论 不必证明 23 本题满分本题满分 18 分分 本题共有本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 6 分 第分 第 3 3 小题小题 满分满分 8 分分 我们把定义在R上 且满足 xafTxf 其中常数Ta 满足0 0 1 Taa 的函数 叫做似周期函数 1 若某个似周期函数 xfy 满足1 T且图像关于直线1 x对称 求证 函数 xf是偶 函数 2 当2 1 aT时 某个似周期函数在10 x时的解析式为 1 xxxf 求函数 xfy Znnnx 1 的解析式 3 对于确定的TxT 00且时 x xf3 试研究似周期函数函数 xfy 在区间 0 上是否可能是单调函数 若可能 求出a的取值范围 若不可能 请说明理由 高三数学 共 14 页 第 5 页 青浦区 2012 学年第一学期高三年级期终数学参考解答 满分 150 分 答题时间 120 分钟 Q 2013 01 18 一一 填空题 本大题满分填空题 本大题满分 5656 分 本大题共有分 本大题共有 1414 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果 每个空格填对得写结果 每个空格填对得 4 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 2 a 2 2 2 11 xxf x 3 8 1 0 4 2 5 33 6 2 7 2 3 8 2 1 2或 9 5 4 10 40 1 4 4 2 5 3 3 PC P 11 1 12 2 2 3 13 93 4 14 3 1 已知集合 axxBxxA 2 且RBA 则实数a的取值范围 2 a 2 函数 2 log1 2 xxxf的反函数 2 2 11 xxf x 3 抛物线 2 2xy 的焦点坐标是 8 1 0 4 若 642 531 222 cba 222222 CcBbAa 则 2 C化简后的最后 结果等于 2 5 已知 正三棱柱的底面正三角形边长为 2 侧棱长为 3 则它 的体积 V 33 6 若圆柱的侧面展开图是一个正方形 则它的母线长和底面半 径的比值是 2 7 在ABC 中 2 3 ACAB 10 BC 则 ACAB 2 3 8 若三个互不相等的实数成等差数列 适当交换这三个数的位 置 后 变 成 一 个 等 比 数 列 则 此 等 比 数 列 的 公 比 为 高三数学 共 14 页 第 6 页 写出一个即可 2 1 2或 9 如果执行右面的框图 输入4 N 则输出的数S等于 5 4 10 甲 乙等五名社区志愿者被随机分配到DCBA 四个不同岗位服务 每个岗位至少有 一名志愿者 则甲 乙两人同时参加岗位A服务的概率是 40 1 4 4 2 5 3 3 PC P 11 已知01cossin 2 aa与01cossin 2 bb ba 直线MN过点 2 aaM与 点 2 bbN 则坐标原点到直线 MN 的距离是 1 12 已知 1 1 1 2 xa xxa xf x 满足对任意 21 xx 都有0 21 21 xx xfxf 成立 那么a 的取值范围是 2 2 3 13 正六边形 111111 FEDCBA的边长为 1 它的 6 条对角线又围成了一个正六边形 222222 FEDCBA 如此继续下去 则所有这些六边形的面积和是 4 39 14 设Ryx 且满足 4 1 2013 1 4 4 2013 4 3 1 5 3 1 5 yy xx 则 yx 3 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 2020 分 本大题共有分 本大题共有 4 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在答题题 每题有且只有一个正确答案 考生应在答题 纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 5 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 高三数学 共 14 页 第 7 页 15 设双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虚轴长为 2 焦距为32 则双曲线的渐近线方程 为 D A xy2 B xy2 C xy 2 1 D xy 2 2 16 对于原命题 周期函数不是单调函数 下列陈述正确的是 D A 逆命题为 单调函数不是周期函数 B否命题为 周期函数是单调函数 C 逆否命题为 单调函数是周期函数 D 以上三者都不对 17 已知复数iz21 0 在复平面上对应点为 0 P 则 0 P关于直线zizl 22 的对称点的 复数表示是 B A i Bi C i 1 D i 1 18 已知函数 xf是定义在R上的单调增函数且为奇函数 数列 n a是等差数列 0 1007 a 则 20132012321 afafafafaf 的值 A A 恒为正数 B恒为负数 C 恒为 0 D 可正可负 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 7474 分 本大题共有分 本大题共有 5 5 题 解答下列各题题 解答下列各题必须在答题纸相应必须在答题纸相应编号的规定编号的规定 区域内写出必要的步骤区域内写出必要的步骤 1919 本题满分本题满分 1 12 2 分分 本题共有本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分 分 第第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分 如图已知四棱锥ABCDP 中的底面是边长为 6 的正方形 侧棱 PA的长为 8 且垂直于底面 点NM 分别是ABDC 的 中点 求 1 异面直线PM与CN所成角的大小 结果用反三角函数值 表示 2 四棱锥ABCDP 的表面积 1 解法 一 连结AM 可证CN AM 直线PM与AM所成角等于直线PM与CN所成角 2 分 高三数学 共 14 页 第 8 页 因为PA垂直于底面 所以AMPA 点M分别是DC的中点 6 DC53 AM 在PAMRt 中 8 PA 53 AM 15 58 53 8 tan PMA 15 58 arctan PMA 4 分 即 异 面 直 线PM与CN所 成 角 的 大 小 为 15 58 arctan 6 分 解法二 以A为坐标原点建立空间直角坐标系可得 0 6 3 M 8 0 0 P 0 0 3 N 0 6 6 C 8 6 3 PM 0 6 3 CN 2 分 直线PM与CN所成角为 向量CNPM 与的夹角为 109 5453 45109 45 cos CNPM CNPM 4 分 又 109 5453 coscos 109 5453 arccos 即异面直线PM与CN所成角的大小为 109 5453 arccos 6 分 说明 两种方法难度相当 2 因为PA垂直于底面 所以ABPA ADPA 即PABRt PDCRt PBBC BCAB BCPA 同理PDCD PBCRt PADRt 8 分 底面四边形ABCD是边长为 6 的正方形 所以36 底 S 又 PAB SS 侧PAD S PBC S PCD S 1086048 2 1 2 2 1 2 BCPBABPA 14436108 表 S 所以四棱锥ABCDP 的表面积是 144 12 分 高三数学 共 14 页 第 9 页 2020 本题满分本题满分 1 14 4 分分 本题共有本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 已知数列 n a满足 233 2 1 11 Nnaaa nn nn 1 设 n n n n a b 3 2 证明 数列 n b为等差数列 并求数列 n a的通项公式 2 求数列 n a的前n项和 n S 解 解 1 n n n n n n nn aa bb 3 2 3 2 1 1 1 1 1 3 2 3 2233 1 11 n n n n nnn n aa 2 分 n b 为等差数列 又0 1 b 1 nbn 4 分 nn n na231 6 分 2 设 n n nT3 1 3130 21 则 3 132 3 1 3130 n n nT 1 1 12 3 1 31 31 9 3 1 332 n n nn n nnT 10 分 4 93 32 2 3 1 4 39 111 nnn n nn T 4 12332 222 31 2 nn n nn n TS 14 分 2121 本题满分本题满分 1 14 4 分分 本题共有本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 已知 1 sin32cos2 xxm cosyxn 满足0 nm 1 将y表示为x的函数 xf 并求 xf的最小正周期 2 已知cba 分别为ABC 的三个内角CBA 对应的边长 若 2 A fxf 对所有Rx 恒成立 且2 a 求cb 的取值范围 解 解 I 由0 nm得0cossin32cos2 2 yxxx 2 分 高三数学 共 14 页 第 10 页 即xxxycossin32cos2 2 1 6 2sin 212sin32cos xxx 4 分 所以1 6 2sin 2 xxf 其最小正周期为 6 分 II 因为 2 A fxf 对所有Rx 恒成立 所以3 2 A f 且ZkkA 2 2 6 8 分 因为A为三 角形内角 所以 A0 所以 3 A 9 分 由正弦定理得Bbsin 3 34 Ccsin 3 34 CBcbsin 3 34 sin 3 34 3 2 sin 3 34 sin 3 34 BB 6 sin 4 B 12 分 3 2 0 B 1 2 1 6 sin B 4 2 cb 所以cb 的取值范围为 4 2 14 分 2222 本题满分本题满分 1 16 6 分分 本题共有本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分 第分 第 3 3 小题小题 满分满分 2 2 分分 设直线0 11 ppxkyL 交椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 于DC 两点 交直线 xkyL 22 于点E 1 若E为CD的中点 求证 2 2 21 a b kk 2 写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真 3 请你类比椭圆中 1 2 的结论 写出双曲线中类似性质的结论 不必证明 解 解 1 解法一 设 11 yxC 22 yxD 00 yxE 02 1 22222 1 22 1 22 2 2 2 2 1 bapaxpakxkab b y a x pxky 2 分 高三数学 共 14 页 第 11 页 2 1 22 2 1 21 2 kab pak xx p kab pak kyy2 2 2 1 22 2 1 121 2 1 22 2 2 kab pb 4 分 又 21 21 2 21 0 21 0 2 2 xx yy k yy y xx x 2 1 2 2 2 pak pb 2 2 21 a b kk 7 分 解法二 点差法 设 11 yxC 22 yxD 00 yxE 1 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 2 1 2 2 2 2 2 2 b y a x 两式相减得0 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx 即0 2 2 2 210 2 210 b yyy a xxx 3 分 2 2 2 0 2 0 2 21 21 1 ka b ya xb xx yy k 2 2 21 a b kk 7 分 2 逆命题 设直线pxkyL 11 交椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 于DC 两点 交 直线xkyL 22 于点E 若 2 2 21 a b kk 则E为CD的中点 9 分 证法一 由方程组02 1 22222 1 22 1 22 2 2 2 2 1 bapaxpakxkab b y a x pxky 10 分 因为直线pxkyL 11 交椭圆 于DC 两点 高三数学 共 14 页 第 12 页 所以0 即0 222 1 2 pbka 设 11 yxC 22 yxD 00 yxE 则 2 1 22 2 121 0 2kab pakxx x 2 1 22 2 21 0 2kab pbyy y 12 分 xky kk p x xky pxky 2 12 2 1 又因为 2 2 21 a b kk 所以 0 2 1 22 2 2 0 2 1 22 1 2 12 y kab pb xky x kab pka kk p x 故 E 为 CD 的中点 14 分 证法二 设 11 yxC 22 yxD 00 yxE 则 1 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 2 1 2 2 2 2 2 2 b y a x 两式相减得0 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx 即 21 2 21 2 21 21 1 yya xxb xx yy k 9 分 又 0 0 2 2 2 21 x y k a b kk 0 0 21 21 y x xx yy 即 0 0 21 2211 x pkx xx pxkpxk 12 分 0 1 21 1 2 x p k xx p k 得 021 2xxx 021 2 yyy 即E为CD的中