浙江省11市中考数学试题分类解析汇编 专题10 三角形问题.doc

专题10：三角形问题1. （2015年浙江湖州3分）如图，已知在abc中，cd是ab边上的高线，be平分abc，交cd于点e，bc=5，de=2，则bce的面积等于【 】a.10 b.7 c.5 d.4【答案】c.【考点】角平分线的性质；三角形面积的计算.【分析】如答图，过点作于点，cd是ab边上的高线，.be平分abc，de=2，.bc=5，.故选c.2. （2015年浙江湖州3分）如图，以点o为圆心的两个圆中，大圆的弦ab切小圆于点c，oa交小圆于点d，若od=2，tanoab=，则ab的长是【 】a.4 b. c.8 d.【答案】c.【考点】切线的性质；垂径定理；锐角三角函数定义.【分析】如答图，连接oc，弦ab切小圆于点c，.由垂径定理得.tanoab=，.od=2，oc=2. .故选c.3. （2015年浙江嘉兴4分） 如图，在abc中，ab=5，bc=3，ac=4，以点c为圆心的圆与ab相切，则o的半径为【 】a. 2.3 b. 2.4 c. 2.5 d. 2.6【答案】b. 【考点】切线的性质；勾股定理逆定理；相似三角形的判定和性质.【分析】如答图，设o与ab相切于点d，连接cd，ab=5，bc=3，ac=4，.abc是直角坐标三角形，且.o与ab相切于点d，即.易证. .o的半径为2.4.故选b.4. （2015年浙江金华3分）如图，正方形abcd和正三角形aef都内接于o，ef与bc，cd分别相交于点g，h，则的值是【 】a. b. c. d. 2【答案】c.【考点】正方形和等边三角形的性质；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质，特殊元素法的应用.【分析】如答图，连接，与交于点.则根据对称性质，经过圆心，垂直 平分，.不妨设正方形abcd的边长为2，则.是o的直径，.在中，.在中，.易知是等腰直角三角形，.又是等边三角形，.故选c.5. （2015年浙江丽水3分）如图，点a为边上任意一点，作acbc于点c，cdab于点d，下列用线段比表示的值，错误的是【 】a. b. c. d. 【答案】c.【考点】锐角三角函数定义.【分析】根据余弦函数定义：对各选项逐一作出判断：a. 在中，正确； b. 在中， ，正确； c、d.在中， .故c错误；d正确. 故选c6. （2015年浙江丽水3分）如图，在方格纸中，线段，的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有【 】a. 3种 b. 6种 c. 8种 d. 12种【答案】b【考点】网格问题；勾股定理；三角形构成条件；无理数的大小比较；平移的性质；分类思想的应用.【分析】由图示，根据勾股定理可得：.，根据三角形构成条件，只有三条线段首尾相接能组成三角形.如答图所示，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成三角形的不同平移方法有6种.故选b7. （2015年浙江宁波4分） 如图，abcd中，e，f是对角线bd上的两点，如果添加一个条件，使abecdf，则添加的条件不能为【 】a. be=df b. bf=de c. ae=cf d. 1=2【答案】c.【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定. 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定对各选项进行分析，作出判断：四边形是平行四边形，abcd，ab=cd.abe=cdf.若添加be=df，则根据sas可判定abecdf；若添加bf=de，由等量减等量差相等得be=df，则根据sas可判定abecdf；若添加ae=cf，是aas不可判定abecdf；若添加1=2，则根据asa可判定abecdf.故选c.8. （2015年浙江宁波4分） 如图，o为abc的外接圆，a=72，则bco的度数为【 】a. 15 b. 18 c. 20 d. 28【答案】b.【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理.【分析】如答图，连接ob，a和boc是同圆中同弧所对的圆周角和圆心角，.a=72，boc=144.ob=oc，.故选b.9. （2015年浙江宁波4分）如图，将abc沿着过ab中点d的直线折叠，使点a落在bc边上的a1处，称为第1次操作，折痕de到bc的距离记为；还原纸片后，再将ade沿着过ad中点d1的直线折叠，使点a落在de边上的a2处，称为第2次操作，折痕d1e1到bc的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕d2014e2014到bc的距离记为，若=1，则的值为【 】a. b. c. d. 【答案】d.【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理. 【分析】根据题意和折叠对称的性质，de是abc的中位线，d1e1是a d1e1的中位线，d2e2是a2d2e1的中位线，.故选d.10. （2015年浙江衢州3分）如图，在abcd中，已知平分交于点，则的长等于【 】a. b. c. d. 【答案】c【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定和性质【分析】四边形abcd是平行四边形，.又平分，. .，.故选c.11. （2015年浙江衢州3分）如图，已知某广场菱形花坛的周长是24米，则花坛对角线的长等于【 】 a. 米 b. 米 c. 米 d. 米【答案】a.【考点】菱形的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】菱形花坛的周长是24，.，.（米）.故选a.12. （2015年浙江衢州3分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，则“人字梯”的顶端离地面的高度是【 】a. b. c. d. 【答案】b【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义【分析】“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60长的绑绳，.，.，解得.，即.故选b13. （2015年浙江绍兴4分）如图，小敏做了一个角平分仪abcd，其中ab=ad，bc=dc，将仪器上的点a与prq的顶点r重合，调整ab和ad，使它们分别落在角的两边上，过点a，c画一条射线ae，ae就是prq的平分线. 此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得abcadc，这样就有qae=pae. 则说明这两个三角形全等的依据是【 】a. sas b. asa c. aas d. sss【答案】d.【考点】全等三角形的判定.【分析】由已知，ab=ad，bc=dc，加上公共边ac=ac，根据三边对应相等的两三角形全等的判定可得abcadc，则说明这两个三角形全等的依据是sss. 故选d.14. （2015年浙江温州4分）如图，在abc中，c=90，ab=5，bc=3，则cosa的值是【 】a. b. c. d. 【答案】d【考点】锐角三角函数定义；勾股定理. 【分析】在abc中，c=90，ab=5，bc=3，根据勾股定理，得ac=4.故选d15. （2015年浙江义乌3分）如图，小敏做了一个角平分仪abcd，其中ab=ad，bc=dc，将仪器上的点a与prq的顶点r重合，调整ab和ad，使它们分别落在角的两边上，过点a，c画一条射线ae，ae就是prq的平分线. 此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得abcadc，这样就有qae=pae. 则说明这两个三角形全等的依据是【 】a. sas b. asa c. aas d. sss【答案】d.【考点】全等三角形的判定.【分析】由已知，ab=ad，bc=dc，加上公共边ac=ac，根据三边对应相等的两三角形全等的判定可得abcadc，则说明这两个三角形全等的依据是sss. 故选d.16. （2015年浙江舟山3分） 如图，在abc中，ab=5，bc=3，ac=4，以点c为圆心的圆与ab相切，则o的半径为【 】a. 2.3 b. 2.4 c. 2.5 d. 2.6【答案】b. 【考点】切线的性质；勾股定理逆定理；相似三角形的判定和性质.【分析】如答图，设o与ab相切于点d，连接cd，ab=5，bc=3，ac=4，.abc是直角坐标三角形，且.o与ab相切于点d，即.易证. .o的半径为2.4.故选b.1. （2015年浙江嘉兴5分）如图，一张三角形纸片abc，ab=ac=5. 折叠该纸片，使点a落在bc的中点上，折痕经过ac上的点e，则ae的长为 【答案】2.5.【考点】折叠问题；等腰三角形的性质；三角形中位线定理.【分析】一张三角形纸片abc，ab=ac，折叠该纸片，使点a落在bc的中点上，折痕是abc的中位线.折痕经过ac上的点e，ab=ac=5，ae的长为2.5.2. （2015年浙江金华4分）如图，直线是一组等距离的平行线，过直线上的点a作两条射线，分别与直线，相交于点b，e，c，f. 若bc=2，则ef的长是 【答案】5.【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质.【分析】直线是一组等距离的平行线，即.又，. .bc=2，.3. （2015年浙江金华4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点a，b，c在同一直线上，且acd=90.图2是小床支撑脚cd折叠的示意图，在折叠过程中，acd变形为四边形，最后折叠形成一条线段.（1）小床这样设计应用的数学原理是 （2）若ab：bc=1：4，则tancad的值是 【答案】（1）三角形的稳定性和四边形的不稳定性；（2）.【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义.【分析】（1）在折叠过程中，由稳定的acd变形为不稳定四边形，最后折叠形成一条线段，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性.（2）ab：bc=1：4，设，则.由旋转的性质知，.在中，根据勾股定理得，.4. （2015年浙江丽水4分）如图，四边形abcd与四边形aecf都是菱形，点e，f在bd上，已知bad=120，eaf=30，则= .【答案】. 【考点】菱形的性质；等腰直角三角形和含30度角直角三角形的性质；特殊元素法的应用.【分析】如答图，过点e作ehab于点h，四边形abcd与四边形aecf都是菱形，bad=120，eaf=30，abe=30，bae=45.不妨设，在等腰中，；在中，. .5. （2015年浙江丽水4分）如图，反比例函数的图象经过点（-1，），点a是该图象第一象限分支上的动点，连结ao并延长交另一支于点b，以ab为斜边作等腰直角三角形abc，顶点c在第四象限，ac与轴交于点p，连结bp.（1）的值为 .（2）在点a运动过程中，当bp平分abc时，点c的坐标是 .【答案】（1） ；（2）（2，）.【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.【分析】（1）反比例函数的图象经过点（-1，），.（2）如答图1，过点p作pmab于点m，过b点作bn轴于点n，设，则.abc是等腰直角三角形，bac=45.bp平分abc，.又，.易证，.由得，解得.，.如答图2，过点c作ef轴，过点a作afef于点f，过b点作beef于点e，易知，设.又，根据勾股定理，得，即.，解得或（舍去）.由，可得.6. （2015年浙江宁波4分）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆ab的高度，站在教学楼的c处测得旗杆底端b的俯角为45，测得旗杆顶端a的仰角为30，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆ab的高度是 m（结果保留根号）.【答案】+9.【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】根据在rtacd中，求出ad的值，再根据在rtbcd中，求出bd的值，最后根据ab=ad+bd，即可求出答案：在rtacd中，.在rtbcd中，.ab=ad+bd=+9（m）.7. （2015年浙江衢州4分）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高为0.6米，是的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度等于 米.【答案】.【考点】三角形中位线定理【分析】，.是的中点，是的中位线.米，米.8. （2015年浙江衢州4分） 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 .【答案】【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】如答图，连接，过点作于点，交于点，则.，.下雨后，水管水面上升了，即，.9. （2015年浙江衢州4分）已知，正六边形在直角坐标系的位置如图所示，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60，经过2015次翻转之后，点的坐标是 .【答案】【考点】探索规律题（图形的变化类-循环问题）；正六边形的性质；含30度角直角三角形的性质 【分析】如答图，根据翻转的性质，每6次为一个循环组依次循环.，经过2015次翻转之后，为第336个循环组的第5步.，在中，.在中，.的横坐标为，纵坐标为.经过2015次翻转之后，点的坐标是10. （2015年浙江绍兴5分）如图，已知点a（0，1），b（0，1），以点a为圆心，ab为半径作圆，交轴的正半轴于点c，则bac等于 度【答案】60.【考点】点的坐标；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】a（0，1），b（0，1），ao=1，ac=ab=2. .bac=60.11. （2015年浙江绍兴5分） 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图1，衣架杆oa=ob=18cm，若衣架收拢时，aob=60，如图2，则此时a，b两点之间的距离是 cm.【答案】18.【考点】等边三角形的判定和性质.【分析】oa=ob=18cm，图2中aob=60，此时abc是等边三角形.此时a，b两点之间的距离是18cm.12. （2015年浙江台州5分）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区a处的位置则椒江区b处的坐标是 【答案】. 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；直角坐标系和点的坐标；含30度角直角三角形的性质.【分析】如答图，过点b作bc轴于点c，根据题意，得ab=16，abc=30，ac=8，bh=.a（2，0），即oa=2，oc=.b处的坐标是.13. （2015年浙江温州5分）图甲是小明设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）. 图乙中，ef=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 cm【答案】.【考点】菱形和平行四边形的性质；三角形和梯形面积的应用；相似判定和性质；待定系数法、方程思想数形结合思想和整体思想的应用.【分析】如答图，连接mn、pq，设mn=，pq=，可设ab=，bc=.上下两个阴影三角形的面积之和为54，即.四边形demn、afmn是平行四边形，de=af=mn=.ef=4，即.将代入得，化简，得.解得（舍去）.ab=12，bc=14，mn=5，.易证mcdmpq，解得.pm=.菱形mpnq的周长为14. （2015年浙江义乌4分）如图，已知点a（0，1），b（0，1），以点a为圆心，ab为半径作圆，交轴的正半轴于点c，则bac等于 度【答案】60.【考点】点的坐标；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】a（0，1），b（0，1），ao=1，ac=ab=2. .bac=60.15. （2015年浙江义乌4分） 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可. 如图1，衣架杆oa=ob=18cm，若衣架收拢时，aob=60，如图2，则此时a，b两点之间的距离是 cm.【答案】18.【考点】等边三角形的判定和性质.【分析】oa=ob=18cm，图2中aob=60，此时abc是等边三角形.此时a，b两点之间的距离是18cm.16. （2015年浙江舟山4分）一张三角形纸片abc，ab=ac=5. 折叠该纸片，使点a落在bc的中点上，折痕经过ac上的点e，则ae的长为 【答案】2.5.【考点】折叠问题；等腰三角形的性质；三角形中位线定理.【分析】一张三角形纸片abc，ab=ac，折叠该纸片，使点a落在bc的中点上，折痕是abc的中位线.折痕经过ac上的点e，ab=ac=5，ae的长为2.5.17. （2015年浙江舟山4分）如图，在直角坐标系中，已知点a（0，1），点p在线段oa上，以ap为半径的p周长为1. 点m从a开始沿p按逆时针方向转动，射线am交轴于点n（，0）. 设点m转过的路程为（）. 随着点m的转动，当从变化到时，点n相应移动的路径长为 【答案】.【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质.【分析】以ap为半径的p周长为1，当从变化到时，点m转动的圆心角为120，即圆周角为60.根据对称性，当点m转动的圆心角为120时，点n相应移动的路径起点和终点关于轴对称.此时构成等边三角形，且. 点a（0，1），即oa=1，.当从变化到时，点n相应移动的路径长为.1. （2015年浙江杭州8分）如图，在abc中，已知ab=ac，ad平分bac，点m、n分别在ab、ac边上，am=2mb，an=2nc，求证：dm=dn.【答案】证明：am=2mb，an=2nc，.又ab=ac，.ad平分bac，.又ad=ad，.dm=dn.【考点】全等三角形的判定和性质. 【分析】要证dm=dn只要即可，两三角形已有一条公共边，由ad平分bac，可得，只要再有一角对应相等或即可，而易由ab=ac，am=2mb，an=2nc证得.2. （2015年浙江杭州8分）如图1，o的半径为r(r0)，若点p在射线op上，满足opop=r2，则称点p是点p关于o的“反演点”，如图2，o的半径为4，点b在o上，boa=60，oa=8，若点a、b分别是点a，b关于o的反演点，求ab的长.【答案】解：o的半径为4，点a、b分别是点a，b关于o的反演点，点b在o上， oa=8，即.点b的反演点b与点b重合.如答图，设oa交o于点m，连接bm，om=ob，boa=60，obm是等边三角形.，bmom.在中，由勾股定理得.【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理. 【分析】先根据定义求出，再作辅助线：连接点b与oa和o的交点m，由已知boa=60判定obm是等边三角形，从而在中，由勾股定理求得ab的长.3. （2015年浙江杭州12分）如图，在abc中(bcac)，acb=90，点d在ab边上，deac于点e（1）若，ae=2，求ec的长（2）设点f在线段ec上，点g在射线cb上，以f，c，g为顶点的三角形与edc有一个锐角相等，fg交cd于点p，问：线段cp可能是cfg的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由【答案】解：（1）acb=90，deac，debc.，ae=2，解得.（2）若，此时线段cp1为cfg1的斜边fg1上的中线.证明如下：，.又，. .又，. .线段cp1为cfg1的斜边fg1上的中线.若，此时线段cp2为cfg2的斜边fg2上的高线.证明如下：，又deac，. . cp2fg2.线段cp2为cfg2的斜边fg2上的高线.当cd为acb的平分线时，cp既是cfg的fg边上的高线又是中线.【考点】平行线分线段成比例的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的判定；分类思想的应用.【分析】（1）证明debc，根据平行线分线段成比例的性质列式求解即可.（2）分，和cd为acb的平分线三种情况讨论即可.4. （2015年浙江嘉兴8分）如图，正方形abcd中，点e，f分别在ab，bc上，af=de，af和de相交于点g.（1）观察图形，写出图中所有与aed相等的角；（2）选择图中与aed相等的任意一个角，并加以证明.【答案】解：（1）与aed相等的角有.（2）选择：正方形abcd中，又af=de，.【考点】开放型；正方形的性质；平行的性质；全等三角形的判定和性质.【分析】（1）观察图形，可得 结果.（2）答案不唯一，若选择，则由可得结论；若选择，则由正方形abcd得到abcd，从而得到结论；，若选择，则一方面，由可得，另一方面，由正方形abcd得到adbc，得到，进而可得结论5. （2015年浙江嘉兴12分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏ob与底板oa所在的水平线的夹角为120时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架后，电脑转到位置（如图3），侧面示意图为图4.已知oa=ob=24cm，于点c，=12cm.（1）求的度数；（2）显示屏的顶部比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏与水平线的夹角仍保持120，则显示屏应绕点按顺时针方向旋转多少度？【答案】解：（1）于点c，oa=ob=24，oc=12，.30.（2）如答图，过点作交的延长线于点.，.，.显示屏的顶部比原来升高了 cm.（3）显示屏应绕点按顺时针方向旋转30.理由如下：如答图，电脑显示屏绕点按顺时针方向旋转度至处，.电脑显示屏 与水平线的夹角仍保持120，.，即.显示屏应绕点按顺时针方向旋转30.【考点】解直角三角形的应用；线动旋转问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值.【分析】（1）直接正弦函数定义和30度角的正弦函数值求解即可.（2）过点作交的延长线于点，则显示屏的顶部比原来升高的距离就是，从而由求出即可求解.（3）根据旋转和平行的的性质即可得出结论.6. （2015年浙江湖州8分）如图，已知bc是o的直径，ac切o于点c，ab交o于点d，e为ac的中点，连结de.（1）若ad=db，oc=5，求切线ac的长；（2）求证：ed是o的切线.【答案】解：（1）如答图，连接cd，bc是o的直径，即.ad=db，oc=5，.（2）证明：如答图，连接od，e为ac的中点，.ac是o的切线，.，即.ed是o的切线.【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定和性质；切线的判定和性质.【分析】（1）作辅助线：连接cd，由bc是o的直径，根据直径所对的圆周角是直角的性质得到，从而易得.（2）作辅助线：连接od，一方面，根据等腰三角形等边对等角的性质得到，另一方面，由ac是o的切线，根据切线的性质得到，从而得到证明.7. （2015年浙江湖州10分）问题背景：已知在abc中，ab边上的动点d由a向b运动(与a，b不重合)，点e与点d同时出发，由点c沿bc的延长线方向运动(e不与c重合)，连结de交ac于点f，点h是线段af上一点（1）初步尝试：如图1，若abc是等边三角形，dhac，且点d，e的运动速度相等，求证：hf=ah+cf小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点d作dgbc，交ac于点g，先证gh=ah，再证gf=cf，从而证得结论成立；思路二：过点e作emac，交ac的延长线于点m，先证cm=ah，再证hf=mf，从而证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)（2）类比探究：如图2，若在abc中，abc=90，adh=bac=30，且点d，e的运动速度之比是，求的值；（3）延伸拓展：如图3，若在abc中，ab=ac，adh=bac=36，记，且点d、e的运动速度相等，试用含m的代数式表示(直接写出结果，不必写解答过程).【答案】解：（1）证明：选择思路一：如题图1，过点d作dgbc，交ac于点g，abc是等边三角形，.adg是等边三角形. .dhac，.dgbc，.，即.选择思路二：如题图1，过点e作emac，交ac的延长线于点m，abc是等边三角形，.dhac，emac，.，.又，.（2）如答图1，过点d作dgbc，交ac于点g，则.，.由题意可知，.dgbc，.，即.（3）.【考点】开放型；双动点问题；等边三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）根据思路任选择一个进行证明即可.（2）仿思路一，作辅助线：过点d作dgbc，交ac于点g，进行计算.（3）如答图2，过点d作dgbc，交ac于点g，由ab=ac，adh=bac=36可证：，由点d、e的运动速度相等，可得.从而可得.8. （2015年浙江金华8分）如图，在矩形abcd中，点f在边bc上，且af=ad，过点d作deaf，垂足为点e.（1）求证：de=ab；（2）以d为圆心，de为半径作圆弧交ad于点g，若bf=fc=1，试求的长.【答案】解：（1）证明：deaf ，aed=90.又四边形abcd是矩形， adbc，b=90.dae=afb，aed=b=90.又af=ad，adefab（aas）.de=ab.（2）bf=fc=1，ad=bc=bf+fc=2.又adefab，ae=bf=1.在rtade中，ae=ad. ade=30.又de=，.【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质；含30度角直角坐标三角形的性质；勾股定理；弧长的计算.【分析】（1）通过应用aas证明adefab即可证明de=ab.（2）求出ade和de的长即可求得的长.9. （2015年浙江丽水6分）如图，已知abc，c=rt，acdebd，连接ad，ae分别交fg于点m，n，求证：点m，n是线段fg的勾股分割点；（3）已知点c是线段ab上的一定点，其位置如图3所示，请在bc上画一点d，使c，d是线段ab的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（4）如图4，已知点m，n是线段ab的勾股分割点，mnambn，amc，mnd和nbm均是等边三角形，ae分别交cm，dm，dn于点f，g，h，若h是dn的中点，试探究，和的数量关系，并说明理由.【答案】解：（1）点m，n是线段ab的勾股分割点， am=2，mn=3，若mn为斜边，则，即，解得.若bn为斜边，则，即，解得.bn的长为或.（2）证明：点d，e是线段bc的勾股分割点，且ecdebd，.在abc中，fg是中位线，ad，ae分别交fg于点m，n，fm、mn、ng分别是abd、ade、aec的中位线.bd=2fm，de=2mn，ec=2ng.，即.点m，n是线段fg的勾股分割点.（3）如答图1，c，d是线段ab的勾股分割点.（4）.理由如下：设，是的中点，.，均为等边三角形，.，.，.点，是线段的勾股分割点，.，又. 在和中，.，.，.【考点】新定义和阅读理解型问题；开放型和探究型问题；勾股定理；三角形中位线定理；尺规作图（复杂作图）；等边三角形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）根据定义，分mn为斜边和bn为斜边两种情况求解即可.（2）判断fm、mn、ng分别是abd、ade、aec的中位线后代入即可证明结论.（3）过点c作ab的垂线mn，在mn截取ce=ca；连接be，作be的垂直平分线pq交ab于点d.则点c，d是线段ab的勾股分割点.（作法不唯一）（4）首先根据全等、相似三角形的判定和性质证明amc和nbm是全等的等边三角形，再证明.18. （2015年浙江温州8分）如图，点c，e，f，b在同一直线上，点a，d在bc异侧，abcd，ae=df，a=d.（1）求证：ab=cd；（2）若ab=cf，b=30，求d的度数.【答案】解：（1）abcd，b=c.ae=df，a=d，abedcf（aas）.ab=cd.（2）ab=cd，ab=cf，cd=cf. d=cfd.b=c=30，d=30.【考点】全等三角形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理.【分析】（1）要证ab=cd，只要abedcf即可，由已知有一边一角对应相等，在，而可由abcd得到另一组对应角相等，从而根据aas可证.（2）由ab=cd，ab=cf经过等量代换可得cd=cf，根据等边对等角的性质可得d=cfd，从而根据三角形内角和定理可求得d的度数.19. （2015年浙江义乌8分）如图，从地面上的点a看一山坡上的电线杆pq，测得杆顶端点p的仰角是45，向前走6m到达b点，测得杆顶端点p和杆底端点q的仰角分别是60和30.（1）求bpq的度数；（2）求该电线杆pq的高度（结果精确到1m）.备用数据：，【答案】解：如答图，延长pq交直线ab于点c，（1）端点p点的仰角是60，即pbc=60，bpq.（2）设pq=，则qb=qp=，在bcq中，bc=，qc=，在acp中，ca=cp，解得.pq=，即