（应用数学专业论文）高阶schrodinger方程的加权估计.pdf

华中科技大学硕士学位论文 一 2 j d 一 摘要 自上世纪二十年代以来 s c h r 6 d i n g e r 算子理论一直是现代数学物理研究的中心 课题之一而s d l r 6 d i n g e r 方程的s t r i c h a r t z 时空估计 k a t o 局部光滑性估计及极大 算子估计成为了近二十多年来s c h r 6 d i n g e r 算子理论中的一个重要论题 因为这一论题 的研究既有很强的理论意义又有很丰富的应用背景 高阶s c h r 6 d i n g e r 算子p d v 作为s c h r 6 d i n g e r 算子 y 的一般化 对其进行研究既能丰富s c h r 6 d i n g e r 算子 理论的内容 同时又能进一步加深对s c h r 6 d i n g e r 算子本身的认识 本文的主要目的 就足研究p 为齐次实值椭圆多项式的情形下自由高阶s c h r g d i n g e r 方程的时空加权估 计和极大算子的加权估计 与已有的工作比较 本文的主要特点是处理了尸的等值面 为e 1 紧超曲面或有限型凸超曲面的情形 突破了以往等值面为球面的限制 全文共分两部分 第一部分讨论自由高阶s c h r 6 d i n g e r 方程的时空加权估计 第 二部分讨论自由高阶s c h r 6 d i n g e r 方程的极大算子加权估计 在第一部分中 首先给 川 r 问题研究的背景及其最近的研究成果 其次研究了曲面上平方可积函数的f o u r i e i 变换的平均加权估计 最后利用所得的结论证明了自由高阶s c h r 6 d i n g e r 方程的时空 加权估计 在第二部分中 首先给出了问题研究的背景及其最近的研究成果 然后利 用解算子的核估计研究了初值属于齐次s o b o l e v 空间时 自由高阶s c h r s d i n g e r 方程 的极大算子加权估计 最后利用第一部分得到的曲面f o u r i e r 变换的结论讨论了初值 属于非齐次s o b o l e v 空间时 自由高阶s e h r 6 d i n g e r 方程的极大算子加权估计 关键词 s c h r 6 d i n g e r 方程 s c h r 6 d i n g e r 算子 曲面f o u r i e r 变换 时空加 权估计 极大算子加权估计 s o b o l e v 空间 一 一 i 华中科技大学硕士学位论文 b 一 一 a b s t r a c t s i n c et h e1 9 2 0 s t h e o r yo fs c h r s d i n g e ro p e r a t o r sh a sc o n s t a n t l yb e e nac e n t r a l s 1 u d i e d s u b j e c t o fm o d e r nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s m o r e o v e r s t r i c h a r t z s p a c e t i m ee s t i m a t e s k a t ol o c a ls m o o t h i n ge s t i m a t e sa n dm a x i m a lo p e r a t o r se s t i m a t e so f s c t u 6 d i n g e re q u a t i o n sh a v eb e e n a ni m p o r t a n tt o p i ci nt i l er e c e n tt w e n t yy e a r sb e c a u s e c l ei n v e s t i g a t i o no ft h i st o p i ch a sa b u n d a n ta p p l i e db a c k g l o u n d sa sw e l la sv e r ys t r o n g t h e o r e t i cm e a n i n gt h e s t u d yo fh i g h e r o r d e rs c h r b d i n g e ro p e r a t o rp d v w h i c hi s t h eg e n e r a l i z a t i o no fs c h r s d i n g e ro p e r a t o r a vn o to n l yc a l le n r i c hi t sc o n t e n t sb u t a l s od e e p e ni t su n d e r s t a n d i n g t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st os t u d ys p a c e t i m e a a dm a x i m a lo p e r a t o r sw e i g h t e de s t i m a t e so ff r e eh i g h e r o r d e rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s i l lt h ec a s et h a tpi sar e a lh o m o g e n e o u se l l i p t i c p o l y n o m i a l c o m p a r e dw i t hp a s t r e l a t e dw o r k s t h em o s ti m p o r t a n tf e a t u r eo ft h i sp a p e ri st od e a lw i t ht h ec a s et h a t t h el e v e ls e to fpi sac o m p a c tc 1h y p e r s u r f a c eo rac o n v e xh y p e r s u r f a c eo ff i n i t et y p e w h i c hb r e a k st h r o u g ht h ea s s u m p t i o nt h a tt h el e v e ls e t w a sa s p h e r ei nt h ep a s t f h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s t h ef i r s t p a r ts t u d i e ss p a c e t i m ew e i g h t e de s t i m a t e s t h es e c o n do n es t u d i e sw e i g h t e de s t i m a t e so fm a x i m a io p e r a t o r i nt h ef i r s t p a lt b a c k g t o a d sa n dr e c e n tr e s u l t so ft i l ep r o b l e ma r ep r e s e n t e df i r s t l y t h e na v e r a g e w e i g h t e de s t i m a t e so ff o u r i e rt r a n s f o r m a t i o no ft i l ef u n c t i o n s w h i c ha r es q u a r ei n t e g la b l eo n e so nas u r f a c e a r ed i s c u s s e d f i n a l l yt i l e m a i nr e s u l t sa x eg i v e nb yv i it u e o t t h ec o n c l u s i o na l r e a d ya c q u r i e d i nt h es e c o n dp a r t b a c k g r o u d sa n di e c e n tr e s u l t s o f t h e i l o b l e m a r ei n t r o d u c e d f i r s t l yw e i g h t e de s t i m a t e so fm a x i m a lo p e r a t o ra r e t h e ns t u d i e db yu s i n gk e r n e le s t i m a t e so fs o l u t i o no p e r a t o rw h e ni n i t i a ld a t ab e l o n g s t oh o m o g e n e o u ss o b o l e vs p a c e l a s t l y t h ec o n c l u s i o no ff o u r i e rt r a n s f o r mo fs u r f a c e i nt h ef i r s tp a r ti su s e dt od i s c u s sw e i g h t e de s t i m a t e so fm a x i m a l o p e r a t o rw h e ni n i t i a l d a t ab e l o n g st on o n h o m o g e n e o u ss o b o l e vs p a c e k e yw o r d s s c h r s d i n g e re q u a t i o n ls c h r s d i n g e ro p e r a t o r f o u r i e rt r a n s f o r mo f s u l f a c e s p a c e t i m ew e i g h t e de s t i m a t e s w e i g h t e de s t i m a t e so fm a x i m a lo p e r a t o r s o b o l e vs p a c e i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果 尽我所知 除文中已经标明引用的内容外 本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果 对本文的研究做出贡献的个人和集 体 均已在文中以明确方式标明 本人完全意谚 到 本声明的法律结果由本人承 担 学位论文作者签名 王华 日期 工o 年牛月 d h 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和 借阅 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 痒进行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 保密口 在 一年解密后适用本授权书 本论文属于 不保密口 请在以上方框内打 学位论文作者签名 王率 f i 期 2 侔争月3 0 日 指导教师签名 鼋杠 日期 知 j 年r 月7 f 1 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 s i m o n l l l 曾说过 二十世纪最辉煌的科学成就当属二十年代的非相对性量子力学 2 的发现 它不仅改变了物理学家对事物的看法 而且为数学 化学 生物学及电子 学等学科的发展提供了广阔的前景 而s c h r s d i n g e r 方程则是非相对性量子力学中最 基本的方程 该方程与其对应的s c h i 5 d i n g e r 算子一 v 是现代数学物理研究的中 心课题之一 它与泛函分析 调和分析 复分析及微分几何等数学领域有着广泛的联 系 这也是几十年来s c h r s d i n g e r 算子理论的研究之所以常盛不衰的原因之一 而围 绕着s c h r 6 d i n g e r 算子的研究主要集中在一 十i 的自伴性 谱分析和粒子的散射性 态 这方面的基本工作可参见f 3 8 1 近二十多年来 关于s c h r 6 d i n g e r 方程的s t r i c h a r t z 时空估计 k a t o 局部光滑性 估计及极大算子估计一直是s c h r s d m g e r 算子研究中的重要课题 自由s c h r s d i n g c r 方 程的s t r i c h a r t z 时空估计自从s t r i c h a r t z 9 i 开创以来有了很大的发展 如g i n i b r e 和 e l o 1 0 对s t r i c h a r t z 估计指标范围的推广 k e e l 和t a o 等人f 一1 5 对临界指 标问题的解决 v i l e l a 等人 1 6 2 4 对s t r i c h a r t z 加权估计的工作及s t r i c h a r t z 估 计对非线性s c h r 6 d i n g e r 方程解的性态的应用f 2 5 3 3 i 但对一般s c h r s d i n g e r 方程 s t l i c h a r t z 估计的研究则是在f 3 4 3 6 1 等中 c a r l e s o n 猜想最初由c a r l e s o n 3 7 1 提出 基本解决思想是将其转化为极大算子的 估汁 在一维情形下 该问题已经得到圆满解决 参见f 3 7 4 0 而在高维情形下 此 猜想现在仍然为公开问题 与之相关的研究工作参见 1 8 4 l 一5 6 特别地 s j s l i n 4 3 首次运用局部光滑性估计与极大算子估计的关系对c a r l e s o n 问题的结论进行了改进 局部光滑性估计的研究源于k a t o 5 7 1 关于k d v 方程的工作 此类估计不仅可以用于 非线性色散方程定解问题的研究 同时可以改进著名的c a r l e s o n 猜想 与 4 3 一致 的结论同时由v e g a 1 s 1 运用极大算子的加权估计给出 对极大算子加权估计的最近工 作可参见 5 8 5 9 高阶 或广义 s c h r s d i n g e r 算子p d 1 7 作为s c h r s d i n g e r 算子一 十1 的一般 化 因其固有的复杂性而使得相关的研究与s c h r 6 d i n g e r 算子的研究相比有一定的难 度 虽然如此 关于高阶s c h r s d i n g e r 算子理论的研究仍然取得了许多重要的成果 如 1 华中科技大学硕士学位论文 一6 4 1 对微分算子谱理论的研究 4 0 6 5 6 8 对自由高阶s c h r 6 d i n g e r 方程解算 子的 一 估计和s t r i c h a r t z 估计的研究及 2 4 5 8 5 9 对自由高阶s c h r s d i n g e r 方程 解算子的时空加权估计和极大算子加权估计的研究 全文共分两部分 具体安排如下 第一部分是关于p 为齐次实值椭圆多项式的情形下自由高阶s c h i 5 d i n g e r 方程解 算子的时空加权估计 事实上 该估计的研究与p 的等值面 以下记为e 的几何性 态有关 结论的证明关键在于给出曲面上平方可积函数的f o u r i e r 变换的平均加权估 计当盐面 为单位球面时 w a n g 1 9 j 利用球面调和函数及b e s s e l 函数的性质给出 j 证明 我们在这里利用h s r m a n d e r 6 9 7 0 1 迹引理将其推广到曲面 为g 1 紧超曲 面的情形 而当 为齐次实值椭圆多项式的等值面时 显然满足此曲面条件 第二部分是关于p 为齐次实值椭圆多项式的情形下自由高阶s c h r s d i n g e r 方程极 人算子的加权估计 我们首先讨论了初值属于齐次s o b o l e v 空间时极大算子的估计 这里我们研究的是 为有限型凸超陆面的情况 突破了 5 8 j 中 是球面的情形 为 厂得到此种情形下的极大算子的加权估计关键是给出解算子核的r i e s z 位势估计 对 此我们可利用f 6 7 中的方法处理 最后我们讨论了初值属于齐次s o b o l e v 空间时极大 算子的估计 对此估计的研究我们主要利用了 5 9 中的方法及第一部分中关于曲面所 得的结论 2 华中科技大学硕士学位论文 2 2 d 2 2 a 2 2 p 2 2 2 一 2 高阶s c h r 6 d i n g e r 方程的时空加权估计 2 1 引言 一些常用记号 d i o o z l o o x 分别以s s c c 1 c 护 护表示r j 的速降函数 缓增分布 连续函数 连续可微函数 紧支光滑函数 和p 次可积函 数空间 c 的支集记为s u p p 咖 即为集合 z r 西 0 的闭包 光滑函数 的等值面记为 即为 r p f 1 s 的f o u r i e r 变换记为f 曲或西 即 f k ei x 咖 z 如 b 一 相应的f o u r i e r 逆变换记为f 一1 曲或 疗s f p 和 5 r 分别表示齐次和非齐次s o b o l e v 空间 疗5 r 2 r 铲l 觚 陡 日5 r s i2 r 1 十 2 i f o 2 嘶 o u 表示r 卅1 上的函数空间 r r z z 忪 z f j j 厶 厶 i z t 1 9 d x d 1 则对自由s c h r 6 d i n g e r 方程有 厶 厶i 嘉f 删2 揣剑l 州知 e 上面的时空加权估计首先是由v e g a 1 8 给出的 但w a n g 1 9 给出了一个例子说 明n 0 时上述定理不成立 由此提出了这样一个问题 寻找适当b 和s 的值 使得 自由s c h r 6 d i n g e r 方程有如下的时空加权估计 厶肌e 1 2 揣 c i l f l t 定理2 1 4 若b 礼 2 或者7 6 2 则对自由s c h r s d i n g e r 方程有 厶小e 1 2 揣纠i 刑 4 华中科技大学硕士学位论文 上述定理可参见 2 0 2 2 1 它很好的回答了上面提出的问题 而s i m o n 2 3 说明 了估汁中最好的常数c 为j 即对e 0 常数j 被j e 替换后所得的不等式并不能 对所有的 成立 当 吲 a 1 即p d 一 时 w a l t h e r 2 4 1 考虑了广义s c h r s d i n g e r 方程 2 11 的时空加权估计 推广了 1 6 2 0 2 1 中的结论 定理2 1 5 设q 2 0 墨r j 1 b 1 s a r 一 f j i x 方程 2 1 1 1 有 厶 小 卜剐 南声爵 l i f l l 扣 本章主要目的是将上述定理推广到p 为m 阶齐次实值椭圆多项式的情形 我们 一e 要利用了尸等值面 的几何性态 下 节均假定尸为m 阶齐次实值椭圆多项式 不失一般性 以下不妨假设当 0 时 p 0 否则当 0 时 有 p f o 对 此 我们能做类似的处理 2 2 主要结论 下面的一个引理实际上是由h s r m a n d e r 6 9 7 0 给出的 引理2 2 1 设f 为g 1 紧超曲面 看 l 铘 j 则镌 s u p1 丘酗i 叫瓜 酬驯2 出 c l i f f l 其中d a 表示在r 上诱导的曲面面积元 引理2 2 2 设l b 扎 r 为c 1 紧超曲面 若9 工2 r 则有 厶 l 上矿 9 口 如 1 2 丽d 2 2 s c 上 9 证明 首先我们将不等式的左边按积分区域分解成两部分 5 华中科技大学硕士学位论文 幽 酬训2 研d x 丘 f re i x y g 州吣汗牙d x 几 顸舭酬2 啬 r i i 当b 1 这一事实 由l 和i i 的估计 得 厶 f fe i x y g 9 曲 1 2 研d x i i i c 门g 引理得证 口 引理2 2 3 i 设 0 s o 0 若b o 2 p o 则不等式 l m 一 1 一6 出 5c 厶 1 5 i f z 2 2 1 成立当且仅当s o 礼 一 且n 札 i i 设a20 s o 0 若2 p o 则不等式 厶 i m 叫z sc 厶 坩 i f 2 2 2 6 华中科技大学硕士学位论文 g i i 自 t 自 目 j 口 l e 2 成立当且仅当8 0 n 一j a 且o 1 注l 上述引理可参见 5 9 事实上 上述不等式 2 2 1 可推广到更一般的情形 即不等式右边的l 2 加权范数可用 加权范数替换 q p o 当权 1 i x l 2 5 被 权 1 2 半替换时 2 2 1 成立的充要条件为s 2n 1 i 1 一 i a 且 同样不等式 222 也可推广到更一般的情形 因为定理3 2 5 的证明要用到这个推广 形式 所以我们只给出此种情形的详细证明 引理2 2 4 设o 0 o 若1s q p o o 则不等式 厶 i m 一 如 sc z h m j 22 3 成立当且仅当s o n 1 一 1 一 i a 且n n 证明 由 7 3 定理31 知 若 一 z 则不等式 2 2 3 成立等价于 i 芝2 f 5 2 it n t 一 d f j l 5 2 一5 旷 n 一1 d t 专 0j o u 其中0 为i p 中单位球的体积 旷为目的共轭指标 即i 1 古5 l 为了保证i 中积分的可积性必需 n 且s o 芳 由简单计算可得 i s u u8 2 守十2 号p l 式成立当且仅当一2 等 2 磐笋 0 即s n 1 一 1 一 引理得证 口 面我们给出本章的主要结果 定理2 2 5 设q22 0sr 1 b n 若s m r 一 则对方程 证明 令 厶 厶桫即 重 雨d t 2 衍d x s c i i f l l 直s 州 t 二志 叫十c p k r 瓜心 j 盯8 7 华中科技大学硕士学位论文 山c o a r e a 公式 7 4 l 及变量代换有 当q 2 0 曼 i 1 1 1 s p f x 训 t l f l 尸脚m 0 丽i 0 0 0 一 o i 1 一i 1 时 应用引理2 2 3 e 击 n 击g f 嘉 f 亏j 专两4 2 f 2 d 2 e 击z w n 2 击g f 击 i 专 丽d 盯 2 d f 繁上e i l 击x y a 时州时v 南州v 对上述不等式两边再对变量z 取l 2 范数得 l i s p 川l 聃 e l l 怯 r t 通过变量替换及简单的计算 令 川 n c 2 掣 2 0 厶 l 叫z 击洲击夕 南蛐胪研d x 2 c f 学 2 0 厶 啦 n f 击洲嘉 i 网1d 划2 两d c c 争1 厶 击y 南州驯2 矸d t 困而只需要证明 删 川勘南 u r a 峨2 舯 兰c f 纠正 训2 d 口 2 2 4 8 州 蚍 州 志和南 而埔 p 曲 h z v 沙兰球导疆 筹堡喇 止n 球兰 厶厶 c c 华中科技大学硕士学位论文 然后两边对2 进行积分即可得定理2 2 5 由于p 为齐次椭圆多项式 所以对比 e j v p l 0 故 为紧超曲面 利 用引理22 2 知 不等式 2 24 显然成立 故定理的结论成立 口 下面的引理本质上是y a o 7 5 1 利用 7 1 中一个关于曲面上f o u r i e r 变换的结论得 山的 引理2 2 6 设击 景 i 一去 f 是一个大于 2 礼 m 一1 的正整数 若曲面 上 的每一点的主曲率至少有f 个不消失 则对方程 21 1 有其s t r i c h a r t z 时空估计 e i t p d 川胂 sc 1 1 l l l 2 定理2 2 7 设q 1 2 0 曼r 击 l b n 0s 0s 1 击 盖 一南 f 是一 个大于 2 n m 一1 的正整数 若曲面 上的每一点的主曲率至少有2 个不消失 则 对方程 211 有 厶 小舻 刮 南 嚣潺d x 者剑1 刑聃 其中赤 等 若 面1 等十 8 0 m r 一 口 注2 因为定理的证明与1 2 4 中的定理2 8 的证明类似 只是我们在证明中应用 r 更一般的引理2 2 6 所以我们在这里省略其证明 9 华中科技大学硕士学位论文 2 一 3 1 引言 3 高阶s c h r s d i n g e r 方程的极大算子加权估计 对于一给定的相函数p 我们分别定义方程 21 1 局部和全局极大算子为弗 s 芦 昂 z 一s a p 炉 d 川z kf s 0 l 的一般情形 有类似 的结论成立 参见s j s l i n 4 3 j 对此种 般情形下的全局极大算子s 芦的可积性有如下 定理 参见 5 8 定理3 1 1 设2 茎q 4 若p f 蚓n a 1 则有 上1 s 芦川z i 一1 d z i 1 c l l f l l 疗 注3 当g 4 时 此定理的结论与k e n i g p o n c e 和w g a 4 0 l 的结论一致 本章 的日的之一就是将上述定理推广到高维且p 为m 阶齐次实值椭圆多项式的情形 我 f 主要利用了p 等值面 的几何性态 维情形下 b o u r g a i n m o y u a 和t a o 等人 5 0 5 5 在这方面作出了很大的贡 献 他 给出了 5 r 2 时 局部极大算子昂局部可积的充分条件 也就是条件 一 j 1 一 其中e 为某个小于j 1 的正数 高维情形下 当p c 矧8 n l 时 s j 6 1 i n 4 3 j 运用解 e i t p 1 z 的局部光 滑性估计得出f 片5 r s i 1 为局部极大算子 s 局部可积的充分条件 对于解 算子局部光滑性估计与极大算子估计的关系可参见f 4 3 5 6 一 1 0 华中科技大学硕士学位论文 高维情形下与f 4 3 致的结论同时由v e g a 1 8 j 运用全局极大算子s 芦的加权估 计得出 也可参见 1 9 2 2 j 对于广义s c h r 6 d i n g e r 方程 2 1 1 的全局极大算子s 芦的 加权估计已由h e i n i g 和w a n g 5 9 考虑 现给出其中的两个主要定理 定义3 1 2 设9 为单位球面s 1 上的连续函数 且f 为g 的零点 如果0 为 和 间的夹角 其中f es n 且 嬲学 嬲警一o 则称f 为卢阶正则零点 定理3 1 3 设7 7 2 1 o 0 o b n 若尸为 i l l 阶的齐次多项 式 且l v 尸l 在单位球面s 1 上仅有有限个零点6 相应的正则阶为啦 i 一 m 1 曼isf n t i 术 l a t l x 寸s 时成立 而s 2 时不成立 厶 i z 1 2 i z i 一 1 i x l 山d z c i i i i 肛 定理3 1 4 设札 2 0 r nsn 1 若p f 则 i c 述估计对 时成立 而5 0 使得对任一fee 和 t 7 s 有 v j 毋 l 占 则称曲面r 为有限型k 的 i i 若对任一 1 1 有 fc 叩 r i 一 v o 或者 fc e r l 一 v 咖 so j j 称曲面r 为凸的 注4 上述定义可参见 7 6 7 7 显然 从定义我们知道 芝2 并且如果r 为型k 的 那么它也足型k 7 k 的 当p p 1 时 r 为一有限型不超过m 的 光滑紧超曲面 参见z h e n g y a o 和f a n 6 7 以下不加说明均假定2 k 曼m 且a 为 j e 整数 t l 景 面m 2 地 掣 在给出主要结果之前 我们先称述下面几个引理 其中第一个引理参见 5 8 引理3 2 2 设0 a 7 z z 础 若f x 蚓一 g x s 则有 1 f 9 z 墨c i z l 一 i l 1 1 2 华中科技大学硕士学位论文 引理3 2 3 设n 芝2 s n h 若 为k 型的凸超曲面 则存在独立于x 的 常数r 满足 f 尸一1 e p f 一5 f c 1 证明 令妒 g o r s u p p oc 1 o o 且当o 2 时 妒 f 1 砂 f p 者 f 因为s 0 我们已经给出了引理中估计的证明 因为积分 e l 9 5 f 蚓 x 武 j r 相对于e 是连续的 所以估计对 0 仍然成立 引理得证 口 定理3 2 5 设n 2 s n h 若 为k 型的凸超曲面 2 q 警 则有 厶 i s 州茁 i 挚一 如 c i l f l l 郇 证明 设t r n r 为可测函数 嘉 为引理3 2 4 中定义的紧 吏集光滑函数 令 砬川z 厶 x z 1 2 1 2 一列硝删 州讯 d f 1 4 e l f e 叮 z e u 没 o 列 明证 华中科技大学硕士学位论文 其中矿 口 p 为p 的共轭指标 即 1 专 1 因为局部估计 l l s 芎 z 1 4 1 2 1 警一 d z sc i i i i 卉 成立的充要条件为r 能延拓成t 的一致有界的映射 l 2 l 所以只需证明算子 一 有界 设 r 茁 厶 x 圳 p 剐硝州删 忖 v 洲淞 网为 l i m 兄 z 只c 0 d 1f a t o u 引理知 只须证r l 2 p 对t 和 一致有界 简单的计算可得r w 的伴随算子为 麟 厶 x z 榉剐卅啦川 i w 洲z 出 困此只需证r l 9 l 2 对t 和 一致有界 由f u b i n i 定理得 r l r t v f g 1 2 d 兰 r 咄 i k z y l i g z l l g y l 捌g 321 其中 k 剐 x 枷 讲一芳 l y l 2 笋t r e 讹训忡卜 州忖8 d 我们将证明下面的核估计 存在独立于g 和n 的常数c 满足 r r i k n z y l l g z l l g y l d d ys c i l y l l i 一 一旦证明了核估计 则兄知的一致有界性即可由核估计与 3 21 得到 为证明核估计不妨假设9 c 铲 令戈 z x z 5 h 一号 戈 9 z 用 t 表示r i e s z 位势 参见 7 8 d 如 z 印厶i 一y l n z f y d o 卢 时成立 厶 州z m 一 出 c u l l 肛 3 3 1 证明 由h 5 1 d e r 不等式 s 芦 z 2 s t u r p 旧 功 z f 曼 z t i 厶 护 舡 l 打t r 毛 去 厶 1 十产 1 d r 厶 1 十r 2 叫 e 舻 b 2 打 1 曼c 厶 1 r 2 3 w 吲 她 陆 其中s o j 1 e 肝f 1 9 z 表示t e2 9 z 函数的f o u r i e r 变换 1 6 n 一 02 一 般正j 成鹕怀 理 定 s而 华中科技大学硕士学位论文 自 一 由c o d i e a 公式及f u b i n i 定理 对v 妒 s f r e u p d f f z 妒 r 打 厶 州 z 洲出 2 厶 厶 扩锗删瓜 d 洲 出 2 厶 m 妒 p 洲f 2 n 上0 r 兰一1 e 2 7 击z r 去9l d o l v j 妒 r d t 由妒 s 的任意性 所以 e i t p d f f 加枷一 1 胪b 唢南 揣 其中y o 为区间 o o 上的特征函数 由上述计算可得 厶 m m 1 z 5 c z 1 t 2 叶和厶 l 坝r 击 尚1 2 i z i d x d r 5 c 触 r 2 叶警一2 厶 憎一m lv d o 删 y 1 2 i i d x d r 由于p 为椭圆多项式 所以对比 有i v p i 0 故 为紧超曲面 又因为 l a 0 所以 怎t s t y x 1 2 叫圳 c 触 严r 争2f i t 击y 斤蒜 6 c 厶 等筹 陬1 州 m 汗d c 1 i 1 2 罟 i i i 幢 1 2 d f j c 1 i 1 2 j i 1 2 埏 c m f l l h g 1 7 华中科技大学硕士学位论文 现在我们呆证明当s 2 时 不等式 3 3 1 不成立 我们首先注意到 州 2 2 7 r 濯嗯扩 e m 瓜 d it f h h 兰 2 f r 依 武f i f f 假设对 s 不等式 33 1 成立 将上述估计代入 331 得 厶 i f z 1 2 i z 一 1 十h 一6 出 c 厶 1 2 5 l z 1 2 如 而它又等价于 厶 i m m 一 1 附6 d z c 厶 1 5 i f z 但由引理2 2 3 此不等式成立的充要条件为s 也就是说当s 2 则下述估计对s 礼 j 一 i a 时 成立 而s 2 由h s l d e r 不等式 芝嚣i 州z i 2 一 厶 l i 蜓 2 一 厶 1 2 一5 埏 厶 1 蚓2 5 l f 1 2 埏 c 1 i 川h s 由此不等式及不等式 3 3 1 应用带权的插值定理 7 9 即得推论 口 定理3 3 3 设n 2 l n 0 n 6 n 若p 为m 阶实齐次多项式 且集合 i 尸 js 1 的l e b e s g u e 测度有限 则下述估计对s j a 时成立 而s i a 时不成立 厶i s t f z i 一 1 一b 出 sc i l f l l 肌 1 8 华中科技大学硕士学位论文 证明 为方便起见 我们定义算子s 孙 qc 舯 s z n 川 一8 t e u r p 2 n e 啦州删豫 d js 令q t l 尸 薯 l 1 n 2 i p l 曼1 所以 s 萝 s 赢 z s 弱 z 3 3 2 对f q 1 由p 的齐次性及e u l e r 公式有m p v 尸 f 故当 0 时 v 尸 0 由 5 9 j 定理32 知 对0 a 0 n 一1 0 n l 1 0 b l l f o 有 小s 训m 汗雨蒜煺c 2 1 i p f 1 2 v p 又由e u l e r 公式j 导 i 尸佳 蚓 而 m 所以 厶 l s 茹 z 1 2 h 斗 仙 1 砘如 5 曼c 厶 1 l d 2 5 乒 i 2 武 5 c l l f l l n 笋 c 1 1 i 1 华 二产 适当选择a l b l 使得地2 e 足够小 用n 替换o o n i 即知当1 n 0 6 n s 时 有 厶 l s 岛 川z 一8 1 坩6 d 5 c i i 1 1 一 3 删 因为q 2 的l e b e s g u e 测度有限 所以应用 5 9 1 引理3 1 知当1 a 0 十b n s 0 时 有 厶 i s t z m 一 1 十坩 d z 5 c i l f l l 黔 3 删 由不等式 3 3 2 3 3 3 和 334 知 在定理给出的条件下 若s 显然有 1 i 筇川z m i 一 1 坩6 出 5 曼c i l f l l 肛 1 9 华中科技大学硕士学位论文 而对于s 2 则下述估计对s n 一 十 时成立 而s n 一 时不成立 厶 l 一 1 十l x l 妇 2 sc 日 注5 事实上 我们现在并不能说明定理3 3 3 中的测度有限条件比定理3 13 中 的正则零点条件弱 推论3 3 4 的证明可运用推论3 32 的证明 定理3 3 3 的结论及 权插值定理得到 华中科技大学硕士学位论文 致谢 作者非常感谢导师郑权教授 在硕士阶段的学习中 我无时无刻不感受到郑老师 深厚的数学功底 开阔的学术思路 广博的学识 严谨的治学态度 忘我的工作精神 这些值得我永远学习 同时 郑老师为人师表的作风给了我很大的启示 让我学到很 多做人的道理 也将使我终生受益 本论文的完成也凝聚了郑老师很多的心血 作者在华中科技大学学习生活了三年 在这三年的人生之路求学之路上得到了众 多师长们的关怀和帮助 在此特向他们致以衷心的感谢 在作者攻读硕士学位期间 生活上一惯得到了师兄尧小华 李良攀和同学唐岚的 炎心与帮助 在学术上也进行了许多有益的交流和讨论 此外 李淼 黄永忠 董旺 远 张亮 方全蕾 宋春合等各位师姐师兄师弟也给予了作者诸多的支持和关怀 作 者在和他们的交往中学到了他们许多的优良品质 同时 作者也一惯得到了硕士研究 生班同学的支持和鼓励 在此一并对他们说一声谢谢 最后 谨以此文献给我的父母 兄嫂 姐姐和姐夫 是他们用无私的爱为我个人的 发展营造了宽松便利的学习生活环境 深深地感谢他们多年来一直理解我 支持我 关心我并给我勇气和力量去面对和克服各种困难 2 1 华中科技大学硕士学位论文 参考文献 1 b s i m o ns c h r s d i n g e ro p e r a t o r si nt h et w e n t i e t hc e n t u r y j m a t hp h y s 2 0 0 0 4 1 3 5 2 3 3 5 5 5 f 2 ldl a n d a u e ml i f s c h i t z q u a n t u mm e c h a n i c s n o n r e l a t i v i s t i ct h e o d r n e w y o r k p e r g a m o n 1 9 6 5 3 jm 1 r e e d b s i m o n m e t h o d so fm o d e r nm a t h e m a t i c a lp h y s i si i f o u r i e ra n a l y s i s s e l f a d j o i n t n e s s n e wy o r k a c a d e m i cp r e s s 1 9 7 5 f 4 m r e e d b s i m o nm e t h o d so fm o d e r nm a t h e m a t i c a lp h y s i sl i i s c a t t e r i n g t h e o y n e wy o r k a c a d e m i cp r e s s 19 7 9 5 m r e e d b s i m o n m e t h o d so fm o d e r nm a t h e m a t i c a lp h y s i si v a n a l y s i so f o p e r a t o r s n e w y o r k a c a d e m i cp r e s s 1 9 7 8 6 b s i m o n s c h r s d i n g e rs e m i g r o u p b u l l a m c r m a t hs o c 1 9 8 2 ns 7 4 4 7 5 2 6 7 1 bs i m o n o p e r a t o r sw i t hs i n g u l a rc o n t i n u o u ss p e c t r u mi g e n e r a lo p e r a t o r s a n n o f m a t h 1 9 9 5 1 4 1 1 3 1 1 4 5 8 e b d a v i e s h e a tk e r n e l sa n ds p e c t r a lt h e o r y c a m b r i d g e c a m b r i d g eu n i v p r e s s 1 9 8 9 9 r s s t r i c h a r t z r e s t r i c t i o n so ff o u r i e rt r a n s f o r m st oq u a d r a t i cs u f a c e sa n d d e c a yo fs o l u t i o n so fw a v ee q u a t i o n s d u k em a t h j 1 9 7 7 4 4 7 0 5 7 1 4 1 0 jg i n i b r e g v e l o t h eg l o b a lc a u c h yp r o b l e mf o rt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o nr e v i s i t e d a n ni n s th p o i n c a i da n a l n o nl i n d a i r e 1 9 8 52 3 0 9 3 2 7 11 m k e e l tt a o e n d p o i n ts t r i c h a r t ze s t i m a t e s a m e r jm a t h 1 9 9 8 1 2 0 9 5 5 9 8 0 12 s j m o n t g o m e r y s m i t h t i m ed e c a y f o rt h eb o u n d e dm e a no s c i l l a t i o no fs o l u t i o n so ft h es c h r s d i n g e ra n dw a v ee q u a l i o nd u k em a t h j 1 9 9 8 9 1 3 9 3 4 0 8 1 3 t t a o s p h e r i c a l l ya v e r a g e de n d p o i n t s h i c t l a r t ze s t i m a t e sf o rt i l et w o d i m e n s i o n a ls c h r s d i n g e re q u a t i o nc o m mp a l t i md i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 0 0 0 2 5 1 4 7 一1 4 8 5 华中科技大学硕士学位论文 1 4 a s t e f a n o v s t r c h a r t ze s t i m a t e sf o rt h es c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hr a d i a ld a t a p r e p r i n t 15 s m a c h i h a r a mn a k a m u r a k n a k a n i s h i to z a w a e n d p o i n ts t r