考研试题分析八(多元函数微分学).pdf

考研试题分析八 多元函数微分学 考研试题分析八 多元函数微分学 例例 1 1991 年数学一 二 由方程2 222 zyxxyz所确定的函数 yxzz 在点处的全微分 1 0 1 dz dydx2 答案 分析 本题是隐函数全微分的题 有两种方法 其一是对方程两边求全微分 解出 另一种方法是先求出dz y z x z 再利用全微分公式dy y z dx x z dz 解法一 对方程两边求全微分可得 xydzxzdyyzdx0 222 zyx zdzydyxdx 将1 0 1 zyx代入上式可得 0 2 1 dzdxdy 由此得到dydxdz2 解法二 设 zyxF2 222 zyxxyz x F 222 zyx x yz y F 222 zyx y xz z F 222 zyx z xy 222 222 zyxxyz zyxyzx F F x z z x 222 222 zyxxyz zyxxzy F F y z z y dzdx zyxxyz zyxyzx 222 222 dy zyxxyz zyxxzy 222 222 将1 0 1 zyx代入上式可得 dydxdz2 例例 2 1998 年数学一 设 1 yxyxyf x z f具有二阶连续导数 则 yx z 2 答案 yxyyxxyf y 1 分析 这是一道基本运算题 求复合函数的导数 依题意 f是一元函数 解答 1 1 2 yxyyxyf x xyf xx z 1 1 2 2 yxyyxxxyf x y xyf x xxyf xyx z yxyyxxyf y 点评 本题中的 yxxyf 其中间变量均是一元 如果考生误认为中间变量 是二元 将出现 yxyx ff 等记号 从而无法化简导致错误 xyf yxy x xyfxyf x xyf xxy y xyfxyf y 都是用表示 而不能将前一式写成 xy f xyf yxyf x x 后一式写成 xyf xxyf y y 对于 yx x 亦如此 yxyx x 而 2000 年数学一第四题 设 x y g y x xyfz 其中具有二阶连续偏导数 具有二阶连续导数 求 fg yx z 2 这个题目从题设条件中就可看出 y x xyf x y g的不同 前者二个中间变量 后者 一个中间变量 要区别开 g x y f y f y x z 2 21 1 g x y g x f y x f x y f y f y x f xyf yx z 32 22 2 212 2 12 2 111 2 1 11 2 g x y g x f y x fxyf y f 32 22 3 112 2 1 11 例例 3 2001 年数学一 设函数在点处可微 yxfz 1 1 1 1 1 f 3 2 1 1 1 1 y z x z xxfxfx 求 1 3 x x dx d 分析 求全导数 应用多元复合函数求全导数的法则求之 关键是弄清复合函数 的复合关系 如果 21 xxfxfxxfxfx 就少复合了一次 解 1 1 1 1 1 1 1 fff 3 3 223 xxfxf dx d xx dx d xx dx d 3 2121 2 xxfxxfxxfxfxxfxfx 取 由于1 x3 1 1 1 1 2 1 1 1 1 21 yx ffff 故 1 3 x x dx d 51 32 32 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 yxyx ffff 例例 4 2002 年数学一 考虑二元函数的下面 4 条性质 yxf 在点处连续 yxf 00 yx 在点处的两个偏导数连续 yxf 00 yx 在点处可微 yxf 00 yx 在点处的两个偏导数存在 yxf 00 yx 若用表示可由性质推出性质Q 则有 QP P A B C D 答案 A 分析 本题考查下面因果关系的认知 3 记住上述因果关系 不难看出应选 A 如果误认为偏导数存在必然为连续函数 就有 就选择了 C 错误在于把 一元函数的情形搬到二元函数中来了 例例 5 2001 年数学二 设函数由方程所确定 则曲线 xfy 1 cos 2 exye yx xfy 在点处 的法线方程为 1 0 答案 022 yx 分析 本题考查隐函数求导和曲线的法线方程 本题应注意的是求法线方程而不 是切线方程 解法一 方程两边对求导 得 x 0 sin 2 2 xyyxyey yx 解得 sin sin 2 2 2 xyxe xyye dx dy yx yx 所以 2 1 0 dx dy 因此法线的斜率为 2 1 法线方程为022 yx 解法二 设 yxF1 cos 2 exye yx sin 2 2 xyyeF yx x sin 2 xyxeF yx y sin sin 2 2 2 xyxe xyye F F dx dy yx yx y x 则 2 1 0 dx dy 因此法线的斜率为 2 1 法线方程为022 yx 例例 6 1994 年数学二 在椭圆上求一点 使其到直线44 22 yx0632 yx的距离最短 分析 点到直线 yx0632 yx的距离 632 13 1 yxd 因此问题变成 了求函数在限制条件下的极值问题 d44 22 yx 解 问题可以转化成求函数 yxf 2 632 yx 4 在限制条件下的极值问题 构造拉格朗日函数 44 22 yx yxL 2 632 yx 44 22 yx 那么 02 632 4 xyx x L 08 632 6 yyx y L 044 22 yx L 消去 解得 5 3 5 8 5 3 5 8 2211 yxyx 于是 13 11 13 1 2211 yxyx dd 由问题的实际意义知最短距离是存在的 因此 5 3 5 8 即为所求的点 例例 7 2002 年数学一 设有一小山 取它的底面所在的平面为xoy坐标面 其底部所占的区域为 75 22 xyyxyxD 小山的高度函数为 xyyxyxh 22 75 1 设为区域上一点 问在该点沿平面上什么方向的方向导数 最大 若记此方向导数的最大值为 试写出的表达式 00 yxMD yxh 00 yxg 00 yxg 2 现欲利用此小山开展攀岩活动 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作 为攀登的起点 也就是说 要在D的边界线上找出使 1 中的 达到最大值的点 试确定攀登起点的位置 75 22 xyyx yxg 分析和解法一 1 高度函数在点处的梯度是 yxh 00 yxM jyxixyyxgradh yx 2 2 0000 00 由梯度的几何意义知 沿此梯度方向 高度函数的方向导数取最大值 并 且这个最大值就是此梯度的模 于是 yxh 5 00 yxg 2 00 2 00 2 2 yxxy 00 2 0 2 0 855yxyx 2 令 2 yxgyxf xyyx855 22 依题意 只需求二元函数在约束条件下的最大值点 yxf75 22 xyyx 令 yxLxyyx855 22 75 22 xyyx 则 0 2 810 yxyxLx 0 2 810 xyxyLy L075 22 xyyx 消去 解得 35 35 35 35 5 5 5 5 44332211 yxyxyxyx 于是得到 4 个可能的极值点 35 35 35 35 5 5 5 5 4321 MMMM 又150 450 4321 MfMfMfMf 故 5 5 5 5 21 MM可以作为攀登起点 分析和解法二 把山看作曲面 山岗某一处坡度的大小就是曲面在该处的切平面与水平面的夹 角的大小 也就是切平面的法线与轴的夹角 锐角的那个 的大小 山曲面 z z yxh 在点处的切平面法向量是 yxM 1 yx hh 设它与轴的夹角 锐角 的那个 为 z 那么 855 1 2 2 1 1 1 cos 222222 xyyxyxxyhh yx 由此可见 为了要在的边界线上找出使D75 22 xyyx 最大 只要 cos最 小 也只要二元函数在条件下找最大值 以下同 解法一 xyyx855 22 75 22 xyyx 例例 8 1994 年数学四 某养殖场饲养两种鱼 若甲种鱼放养 万尾 乙种鱼放养xy 万尾 收获时两 种鱼的收获量分别为 xyx 3 和 0 24 yyx 6 求使产鱼总量最大的放养数 解 设总产量为 则 zz xyyxyx 2243 22 由极值的必要条件 得方程组0223 yx x z 0244 xx y z 0 方程组的唯一解 2 2 34 2 23 22 0 22 0 yx 记 2 2 2 x z A 2 2 yx z B 4 2 2 y z C 有 因此在处有极大值 又由问题的 实际意义 知最大值是存在的 所以即最大值 0 0 2 4 222 yx 02 24 0 2 3 3 0000 0 000 yyyx x xyx 综上所述 和分别为所求甲和乙两种鱼的放养数 0 x 0 y 例例 9 2005 年数学四 设二元函数则 1ln 1 yxxez yx 0 1 dz 答案 dyeedx 2 2 分析 利用二元函数的全微分公式dy y z dx x z dz 再在 y z x z 中以 0 1 yx代入 解 应用二元复合函数求偏导数法则得 1ln yxee x z yxyx y x xe y z yx 1 1 所以 dxyxeedz yxyx 1ln dy y x xe yx 1 1 7 以代入得 0 1 yx dyeedxdz 2 2 0 1 例例 10 2005 年数学四 设具有二阶连续偏导数 且 uf y x yf x y fyxg 求 yx g y x g x 2 2 2 2 2 解 利用复合函数偏导数的链锁法则 可得 y x f x y f x y x g 2 2 2 x g y x f yx y f x y x y f x y12 4 2 3 1 y x f y x y x f x y f xy g 2 2 y g y x f y x y x f y x y x f y x x y f x 3 2 222 1 y x f y x x y f x 3 2 2 1 于是 yx g y x g x 2 2 2 2 2 y x f y x x y f x y x y f x y 2 2 2 2 y x f y x x y f x y 2 2 2 x y f x y2 例例 11 2004 年数学三 函数由关系式 vuf ygxyyxgf 确定 其中函数可微 且 yg 0 yg 则 vu f 2 答案 2 vg v g 分析 第一种解法可令解出 vy uyxg vuyyvuxx 代入 8 ygxyyxgf 以求出 再计算所求的偏导数 vuf 第二种解法是 在题给的等式两边求偏导 使出现待求的 vu f 2 从而解之 解法一 令即 vy uyxg vy yg u x a 代入原式得 vg vg u vuf 两边对求偏导得 u 1 vgu f 两边对v求偏导得 2 2 vg vg vu f 解法二 在等式 ygxyyxgf 两边对求偏导 2 次 得 x 0 1 2 ygfygf uuu 但按已知 0 yg 所以 0 uu f 在等式两边对求偏导 得 1 ygfuy 0 ygfygxfygf uvuuu 以代入 并解出得 0 uu f uv f 2 yg yg f yg yg f uuv 其中vuyx 满足方程组 从而 a 2 vg vg fuv 例例 12 2003 年数学三 设具有二阶连续偏导数 且满足 vuf 1 2 2 2 2 v f u f 又 9 2 1 22 yxxyfyxg 求 2 2 2 2 y f x f 分析 利用求偏导数的链锁法则求二元复合函数的偏导数 解 v f x u f y x g v f y u f x y g v f v f x vu f xy u f y x g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v f v f y vu f xy u f x y g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x g 2 2 y g 2 2 22 2 2 22 v f yx u f yx 22 yx 例例 13 2003 年数学一 已知函数在点 0 0 的某个邻域内连续 且 yxf1 lim 222 0 0 yx xyyxf y x 则 A 点 0 0 不是的极值点 B 点 0 0 是的极大值点 yxf yxf C 点 0 0 是的极小值点 yxf D 根据所给条件无法判断点 0 0 是否为的极值点 yxf 答案 A 解 由在点 0 0 的连续性及 yxf1 lim 222 0 0 yx xyyxf y x 知 0 0 0 f 且 1 222 yx xyyxf 其中0lim 0 0 y x 则 222222 yxyxxyyxf 令xy 得 44 22442 xoxxxxxxf 令xy 得 44 22442 xoxxxxxxf 10 从而在 0 0 点的邻域内始终可正可负 又 yxf0 0 0 f 由极值定义可知 在点 0 0 没有极值 故应选 A yxf 例例 14 2004 年数学一 设是由方程确定的函数 求 yxzz 0182106 222 zyzyxyx yxzz 的极值点极值 分析 是求二元函数的极值问题 应用隐函数求偏导法则求两个偏导数 并求出 函数的驻点 再求二阶偏导数 判断是否为极值点 解法一 方程 0182106 222 zyzyxyx 两边分别对yx 求偏导得 02262 x z z x z yyx a 0222206 y z z y z yzyx b 令 0 0 y z x z 得 0103 03 zyx yx 故 3 yz yx 将上式代入 可得 0182106 222 zyzyxyx 3 3 9 z y x 或 3 3 9 z y x 方程两边分别对 ayx 求偏导得 02222 2 2 2 2 2 x z z x z x z y 022226 22 yx z z x z y z yx z y x z 方程两边对 by求偏导得 11 02222220 2 2 2 2 2 y z z y z y z y y z y z 所以 3 5 2 1 6 1 3 3 9 2 2 3 3 9 2 3 3 9 2 2 y z C yx z B x z A 故 0 36 1 2 A 从而点 9 3 是的极小值点 极小值为 yxz 3 3 9 z 类似地 由 3 5 2 1 6 1 3 3 9 2 2 3 3 9 2 3 3 9 2 2 y z C yx z B x z A 可知 0 36 1 2 ACB又0 6 1 A 所以点 3 9 是的极大值点 极大 值为 yxz 3 3 9 z 解法二 令 182106 222 zyzyxyxzyxF 应用隐函数求偏导法则得 zy y