定积分与其它数学知识的交汇与整合.pdf

中 毒i 7 2 0 1 1 年第4 期 高中版 复习参考 定舻分与具它 数学知识钓交汇与整合 4 4 1 0 0 0 湖北省襄阳市第一中学王勇周雪丽 凸显知识交汇 考查综合能力 是高考命题的一个 重要思路 定积分作为高中课改的新增内容 如何将它 与传统知识有机整合 实现新而不难 新而不 凡 是高 考命题值得研究的一个方向 如果此类试题设计得恰到 好处 既可提升 定积分 在整个高中数学体系中的地 位 又可强化相应数学知识的横向联系 使定积分从高 等数学和谐地融入初等数学 下面从实施新课标地区的 高考模拟题中采撷数例并予以深度解析 旨在探索题型 规律 揭示解题方法 1 定积分与方程的交汇与整合 例1 已知以石 甜2 如 c 口 0 且八一1 2 f 0 0 J 八茗 d z 2 求口 b c 的值 分析根据三个条件列出三个方程 解方程组即可 求出口 b C 的值 解析由八一1 2 得 口一b c 2 又f 并 2 a x b f o 6 0 而J 抓髫 d x Jo 似2 h c 出 3 如2 c x 6 c 一2 由 联立解得a 6 b 0 c 一4 点评本题主要考查函数知识问的联系 同时考查 了导数 定积分等基本运算能力 解答本题的方法是 根 据题设条件 列出方程组 通过解方程组求口 b c 的值 2 定积分与函数的交汇与整合 1 例2 在函数 C O S X 菇 一子 虿 I T 的图象上有一 点P c o s t 此函数图象与 茗轴及直线茹 t 围成图形 如图l 中阴影部分 的面 y 锄终 一旦 0 t I T 露 图1 积为S 则S 关于t 的函数关系S g 1 的图象可表示为 J 2 l i 一旦D 丌 t i A 3 l 2 l 一卫0 叮r I i B J 2 1 l 一 一一 一三0 霄t 一 J 心 一 一旦0 1 r I 0一 乙U 解析 由已知条件可得阴影部分的面积 s 冉c 砒 s i 眦 子 s m 1 t 一詈 詈 即5 g t 的图象为 s i n t tE 一詈 詈 的图象 向上平移1 个单位所得 故选C 点评本题考查定积分的几何意义 微积分基本定 理以及三角函数图象变换的能力 例3 用m i n ta b 表示a b 两个数中的最小值 设 以茗 m i n 扛 戈 则由函数以菇 的图象 髫轴 与直线茗 丢和直线x 2 所围成的封闭图形的面积为 解析由题意 得f Y 州 匡竺 在 图2 积为图2 中的阴影部分 包括边界 所求面积 s 胁 衅出 争2 卜似1 2 手 一 n 2 矗 n 2 点评本题是一道信息迁移题 领悟新信息的实质 是正确求解的关键 注意到所给函数是一分段函数 故求 积分时要注意利用积分的性质将其分成几段分别计算 3 定积分与不等式的交汇与整合 0 14 若d 庀并 出 6 x 出 c 庀 i 眦出 则口 6 c 的大小关系是 万方数据 复习参考 十 擞 2 0 1 1 年第4 期 高中版 4 7 A a c bB a b c C c b aD c a b 解析口 x 2 出 弓 l 詈 6 茗3 出 手l 4 c s i m 依 一c o s 茗J 1 一c o s 2 因为1 l c o s 2 2 所以 c 口 1 解析由于 狄茹 出 J 似 6 出 吉 妊 l 扣 6 所以争 6 1 所以庀叭茹 如 庀 似 6 如 口2 茗2 2 如 6 2 如 口2 菇3 尉 6 2 z I l r 1 2 0 6 6 2 争删2 西1 口2 1 击口2 又 口 o 1 口I 2 1 即凡叭茹 2 出 1 点评本题以定积分为媒介 结合定积分的计算作 为条件 再结合相关的计算和重要变形达到证明不等式 的目的 4 定积分与数列的交汇与整合 例6已知等差数列 a 的前 l 项和为S 又知 x l n x l n x l 且S I o JI l n x d x S 2 0 1 7 贝4s 为 A 3 3B 4 6C 4 8D 5 0 解析由 x l n x l n x 1 联想到 x l n x 一茁 1 n x 1 1 l n x 于是S I o Jl l n x d a x h l x X l e l n e e 一 1 x l n l 1 1 在等差数列 口 中 S o S S S S 仍 成等差数列 即1 1 6 3 0 1 7 成等差数列 3 2 1 S 3 0 1 7 解得S 3 0 4 8 故选C 点评在高等数学中 J l n x d x 是一个很常见的计算 式 但是若直接放到高考试题中 难度偏大 于是需给出 提示 x l n x l n x 1 右边多个1 需寻找一个导数为 1 的函数 然后减之 从而联想到了 茁7 1 据此和微积 分基本定理可求出S 1 再利用等差数列的性质不难 求出S 本题表面考查的是定积分的计算和等差数列 的性质 实质是对创新能力的深入考查 5 定积分与二项式定理的交汇与整合 例7 设j 是一个正整数 1 詈 的展开式中茹3 的系数为去 则函数 y 并2 的图象与y 缸一3 的图象所围 成图形的面积为一 解析 t q 詈 7 令r 3 得p 的系数为 古 由题意得c 矿1 而1 解得 4 由 乏 3 解得函挚 的图象与 4 x 一3 的图象的交点的横坐标分别为 1 3 所求的面积为 s J 3 呵2 胁 2 知石 3 l 点评本题首先利用二项式的展开式的通项公式 求出后值 然后利用定积分的几何意义和微积分基本定 理求出两函数图象所围成图形的面积 体现了在知识交 汇点处设计试题的高考命题思想 6 定积分与极限的交汇与整合 例8 设A 炮 鬲1 砸1 r t 1 去 熹 贝 J A 的 n 曲 n 十Zn j n 十n 值为一 分析将极限式中各项分子变成n 整体上乘以上 再对极限式各项分子 分母同时除以n 即可根据定积分 的定义把其化为函数的定积分 最后用微积分基本定理 可求出定积分的值 解析A 蜘 击 击 熹 磊1 li 之 去 去 旦 一1lira 2 一 鬲 砸 甭扣 赢 i 1 l i m 1 L 壶 1 A 三 壶 l i m 至 1 三 一 1 1 土n 不难看出 被积函数是忐 积分上限是1 T 限是Q 万方数据 4 8 寸 擞 7 2 0 i l 年第4 期 高中版 复习参考 从而有 A 地 击 壶 鬲1 熹 忐出 I n 1 竹 l l n 2 1 n l I n 2 点评 1 要紧扣定积分的定义 久茹 d x l i m 拟气 譬找出函数以茗 确定出 H I 积分上 下限b a 的值 2 用定积分的定义可解决无限项数列求和问题 7 定积分与导数的交汇与整合 例9 由曲线y x 2 和直线茁 O 茗 1 t 2 t 0 1 所围成 图形 如图3 阴影部分 面积的最 小值为 A 1 4B 了1 图3 c 1 2D 了2 解析I s S S j 1 2 X 2 出 J 髫 一l z 出 乩2 茗一r 13 3 茗 I 1 3 一了1 3 十了1 一 2 一了1 t 3 t 3 了4 3 一 2 于1 u 1 由I s 4 t 2 2 扭o 解得I 或 o 舍去 当t 变化时 s S 的变化情况如下表 o 去 l 1 二2 S O S 极小值 当I 丁1 时 s 取得极小值了1 此极小值就是s 的 最小值 S 商 故选A 点评 本题利用定积分的几何意义 定积分的性质 和微积分基本定理求出 s 了4 3 一1 2 十了 lL u t 1 后 再借 助导数知识求出S 在区间 0 1 上的最小值 本题设计 得 小 巧 精 活 是一道难得的好题 例1 0 在曲线y x 2 并 0 上某一点A 处作一切线 使之与曲线以及髫轴所围成图形的面积为去 求切点J 4 的坐标以及过切点A 的切线方程 分析设出切点A 的坐标 利用导数的几何意义写 出切线方程 然后利用定积分求出所围成平面图形的面 积 从而确定切点A 的坐标 使问题解决 解析如图4 设切点 A x o y o 过A 作A B 上并轴于 日 由Y 2 x 知过A 点的切 线方程为 2 x 茹一 即y 2 x o x x 2 0 1 A 汐 0 C B i 图4 令y 0 得算 孚 即c 睾 o 设由曲线与过A 点的切线及舅轴所围成图形的面 积为S 贝l jS S 曲边 一S 枷 而s 蚍矿 纛2 出寺3c 知 s 了1l B c l I A B I 丁1 石 一丁X o 名2 0 4 1 茗0 3 s 了1 茁 一百1 髫 西1 3 西I 所以 l 从而切点 A 1 1 过切点A 的切线方程为y 2 x 1 点评本题将定积分与导数联系起来 解题的关键 是求出曲边A A O B 的面积 8 定积分与几何概型的交汇与整合 例1 1 如图5 在一个长为 叮r 宽为2 的矩形O A B C 内 曲 线y s i n x 0 戈 叮r 与茁轴围 成如图5 所示的阴影部分 向 矩形O A B C 内随机投一点 该 点落在矩形O A B C 内任何一点 图5 是等可能的 则所投的点落在阴影部分的概率是 A 上B 三 c 三D 旦A 叮r盯1 r 0 1 解析由题图可知阴影部分是曲边图形 考虑用定 积分求出其面积 由题意得S 矾 J s i n x d x C O S 出I 一 c o s n 一c o s O 2 再根据几何概型的算法易知所求概率 万方数据 复习参考 中 7 擞 7 2 0 1 1 年第4 期 高中版 4 9 是忐 磊2 i 1 故选A 点评本题考查定积分的几何意义 微积分基本定 理和几何概型的概率求法 由于定积分能计算曲边图形 的面积 为几何概型试题的命题提供了新的空间 敬请 特别关注 例1 2 如图6 所示 在 一个边长为1 的正方形 A O B C 内 曲线y x 2 和曲线y 缸围成一个叶形图 如图中 阴影部分 向正方形A O B C 内随机投一点 该点落在正 劳 0 l 茹 图6 方形A O B C 内任何一点是等可能的 则所投的点落在 叶形图内部的概率是 A 丁1B 了1c 下1D 百1 解析全部事件的结果构成的区域面积为S 1 阴 影部分的面积为s n 七一茹2 出 争 一 3 I 了1 所以 所投点落在叶形区域内的概率为 故选B 点评本题是定积分与几何概型的交汇综合题 题 目设计得小巧玲珑 韵味十足 体现了高考 出活题 考 能力 的基本要求 所给图形美观和谐 有助于吊起学生 的解题胃I 1 9 定积分与物理的交汇与整合 例1 3 一物体作变速直 线运动 其V t 曲线如图7 所 示 求该物体在 s 一6 s 间的 运动路程 分析 由图可以看出物 图7 体在0 t 1 时作加速运动 1 t 3 时作匀速运动 3 t 6 时也作加速运动 但加速度不同 也就是说0 z 6 时 t 为一个分段函数 故应分三段求积分才能求出 曲边梯形的面积 解析t I 1 2 t 0 t 1 2 1 1 0 在时间区间 口 b 上的定积分 因此 利用微 积分基本定理求出s 移 t d t 而变速直线运动的速度 函数往往是分段函数 故求积分时要利用积分的性质将 其分成几段分别求 例1 4 如图8 所示 一物 体沿斜面在拉力 的作用下 由A 经B c 运动到D 其中 A B 5 0 m B C 4 0 m C D A E 图8 D 3 0 m 变力F f 5 o 茹 9 0 F 晶单位 N2 茹的单 2 0 9 0 x a 作出曲线 y x 2 与直线A B y 6 口 石一曲 的草图 则直线A B 与抛物线所 围成图形如图9 阴影部分所示 其面积 V 飞 彤2 呦I O 菇 图9 s J 扎 6 蒯 k 学2 砒一于13 C 6 b 一口 3 又因为直线A B 与抛物线所围成图形的面积恒等于 了4 即丢 6 一口 3 了4 解得6 一口 2 设线段A B 的中点P 的坐标为 髫 y 则嚣 学舻 a 2 b 2 似 口 1 将 代人 得 y 口2 消去口得y x2 l 2fit 2 所以 l y 线段仰的中点P 的轨迹方程为y x 2 1 点评本题利用定积分的几何意义 微积分基本定 理 线段的中点坐标公式等得到点P 的轨迹的参数方 程 消去参数即得点P 的轨迹的普通方程 例1 6如图 1 0 已知 A 一l 2 为抛物线C Y 2 x z 上的点 直线l 过点A 且与 抛物线C 相切 直线1 2 菇 口 口 1 交抛物线C 于点8 交直线 于点n 1 求直线l 的方程 2 设A B A D 的面积为 s 求l B D I 及S 的值 1 2 D 菇 D f 图1 0 3 设由抛物线C 直线j 1 2 所围成的图形的面积 为s 2 求证 S S 2 的值为与口无关的常数 分析 1 由导数的几何意义求出切线j 的斜率 再由点斜式写出直线Z 的方程 2 求出点A 到直线l 的距离以及曰 D 两点的坐标 从而由三角形的面积公式 可求出S 3 由定积分的几何意义求出s 2 注意讨论口 的取值范围 再证明S S 是常数 解析 1 由y 2 x 2 得Y 4 x Y l 一 一4 直线f 的方程为y 2 4 x 1 即y 4 x 2 2 由 V 2 茗2 解得B J点坐标为 口 2 a 由 2 由 7 解得 点坐标为 口 2 由 L 并 a f x 口 解得D 点坐标为 8 4 a 2 点A 到直线B D I y 一4 x 2 的距离为la lI l 肋f 2 a 2 4 a 2 2 a 1 2 所以S I a l1 3 3 由题意知 当o 一1 时 S a 1 3 s 2 一 4 菇一2 也 J 1 2 x 2 4 茹 2 d x 争 2 x 2 2 x 2 x 2 x I l 季 口 1 3 争 I 一 2 手 口 1 3 s I s 2 当8 一l 时 S I 一 a 1 3 s 2 1 2 石2 一 地一2 如 J I 砰心 2 出 一睾 口 1 s I S 2 综上可知 S S 2 的值为与口无关的常数 这常数 是睾 点评本题考查导数的几何意义 解析几何有关知 识 定积分的几何意义和微积分基本定理 其中第 3 问 用到分类讨论的数学思想方法 从以上各例可以看出 新老知识的 黄金搭档 为 传统知识注入了新鲜血液 同时实现了新知识的 软着 陆 有助于学生丰富数学知识网络 提高知识整合能 力 促进思维方式多元化随着定积分在新课