平面向量的数量积在中学数学解题中的妙用.pdf

平面向量的数量积在中学数学解题中的妙用 史建军 张无忌 江苏省丹阳高级中学 212300 向量是解决数学问题的一种重要工具 由于向 量融数 形于一体 因而成为中学数学知识的一个交 汇点 向量的引入 揭示了数学知识之间的纵横联 系 进一步发展和完善了中学数学知识结构体系 拓 宽了研究和解决问题的思维通道 也为激发和培养 学生的探索精神和创新意识提供了更广泛的途径 而向量的数量积作为向量中的一个重要知识点 在 中学数学中有着广泛的应用 本文试图以向量的数 量积为工具 来探究一些问题的解法 1 夹角问题 例 1 2000年全国高考 椭圆 x2 9 y2 4 1的焦 点为 F1 F 2 点 P 为其上一动点 当 F1PF2为钝角 时 点 P 的横坐标的范围是 解析 F1PF2为钝角 cos F1PF2 0 F1PF2 PF1 PF2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 因为 F1 5 0 F2 5 0 设 P x0 y0 则 PF1 5 x0 y0 PF2 5 x0 y0 所以PF1 PF2 5 x0 5 x0 y0 2 0 即 x02 y02 5 0 又点 P x0 y0 在椭圆上 x02 9 y0 2 4 1 所以 x02 9 5 即 3 5 5 x0 3 5 5 评注 解析几何中的 角 通常和直线的斜率 密切相关 因此 解析几何中的 角 的问题 一般有 两种处理方法 1 求出有关的斜率 用 夹角 或 到角 公式 本 题 中 可 用 到 角 公 式 tan F1PF 2 kPF2 kPF1 1 kPF2 kPF1 因 为 F1PF 2 是 钝 角 故 只 需 令 tan F1PF2 0 a b 0 0 2 为直角 x1x2 y1y2 0 a b 0 3 为钝角 x1x2 y1y2 0 a b 0 上的点 设 S AOB t tan AOB 求 t的最小值 分析 由条件 S AOB t tan AOB与 S AOB 1 2 OA OB sin AOB比较可知 t 1 2 OA OB cos AOB 而 OA OB cos AOB OA OB 故可考虑用向量的数量积 解 设 lAB与 x 轴交于点M a 0 则 lAB y k x a 由 y k x a y2 2px 得 y2 2p k y 2pa 0 所以 x1x2 a2 y1y2 2pa 而 S AOB 1 2 OA OB sin AOB 1 2 OA OB tan AOB 332007年第 9期 数 学 教 学 研 究 由题意知 t 1 2 OA OB 1 2 x1x2 y1y2 1 2 a2 2pa 1 2 a p 2 p 2 2 a b 2在不等式的小边 透彻认识这些模式 为有效构造向量提供了导 向 由于不等式 1 的独特结构 使得某些含有乘积 之和或乘方之和的不等式 在应用均值不等式证明 比较困难时 应用 1 可迎刃而解 4 求最值 例 4 若 x 1 2 y 2 2 1 求 3x 4y的最 大值与最小值 解析 由目标式 3x 4y 联想到不等式 1 而 3x 4y应是两个向量对应坐标的乘积之和 先构造 向量 m x 1 y 2 为了与条件吻合 再构造 n 3 4 则 3 x 1 4 y 2 2 3x 4y 11 2 x 1 2 y 2 2 32 42 25 故 5 3x 4y 11 5 即 6 3x 4y 16 故最大值为 16 最小值为 6 图 2 反思 本题也可用几何意 义即截距求解 如图 2 设 3x 4y z y 3 4 x z 4 为一组 平行直线 当取 l1时 z有最大 值 16 当取 l2时 z有最小值 6 拓展与引申 若将例题变 为 若x 1 y 2 5 求 x y的最小值 34数 学 教 学 研 究 2007年第 9期 误解 增解 漏解面面观 李云汤 乔 民 湖南省郴州市第二中学 423000 学生的数学解题能力强弱是检查教师教学效果 的一面镜子 由于在教学中 教师更多的是注意解题 方法的启发和解题技巧的传授 即使要求学生解题 后要作进一步的检查 也只是 强调 的次数多于实 际操作 因此 学生在解题时常常出现增解 漏解 误 解的情况 如何才能提高学生的数学解题能力呢 从近几年的高考试题来看 题海战术 的功效明显 下降 在数学教学中 笔者发现收集学生平时作业 考试中的一些错误并作适当的归类 既能提高学生 的数学解题能力 又能使学生摆脱 题海战术 本文 撷取一些例子加以剖析 希望能起到抛砖引玉的效 果 1 误解 1 1 旧知识 根深蒂固 负迁移造成误解 例 1 已知 a b c为非零向量 且 a b x R x1 x2是方程 ax2 bx c 0的两实数根 求证 x1 x2 错解 因为 a b 则 a b 0 将方程 ax2 bx c 0两边同乘以向量 b得 b ax2 bx c 0 即 b ax2 b2x b c 0 解得 x b c b2 故原方程只有唯一解 即 x1 x2 剖析 将原方程两边同乘以 b 不是同解变 形 因为 b ax2 bx c 0成立 除了 ax2 bx c 0外 还有 b ax2 bx c 所以 b c b2 不一定 是原方程的解 解析 由条件x 1 y 2联想到不等式 1 而x 1 y 2应是两个向量对应坐标的乘 积之和 构造向量 m x 1 y 2 n 1 1 由 m n m n 可得 x 1 y 2 x 1 y 2 2 即 x y 1 5 2 x y 27 2 当且仅当x 1 y 2 5 2 即 x 21 4 时 x y 有 最小值 27 2 5 数列问题 例 5 给定正整数 n和正数 M 对于满足条件 a1 2 a n 1 2 M 的所有等差数列 a 1 a2 试求 S an 1 an 2 a2n 1的最大值 解析 由题意得 S 1 2 n 1 an 1 a2n 1 因为 a2n 1 a1 2an 1 所以 S 1 2 n 1 3an 1 a1 构造向量 m an 1 a1 n 3 1 由 m n m n 得 3an 1 a1 an 1 2 a1 2 32 1 2 10 M S 1 2 n 1 3an 1 a1 1 2 n 1 10 M 当且仅当 m n同向 即 3a1 an 1 且 a1 2 an 1 2 M 时上式取等号 于是当 a1 10 M 10 an 1 310 M 10 时 S取得最大值 1 2 n 1 10 M 从以上例题可以看出 善于观察问题特征 构造 向量并利用向量数量积公式所蕴涵的不等式和等式 关系解题 是一